壓縮映射原理及其應用

王佳歡

摘要：壓縮映射原理對泛函分析理論的發展起著重要的作用，本文介紹了壓縮映像原理的證明，并在此基礎上闡釋了該原理在解決數列收斂、隱函數存在、微分方程解的唯一存在性三方面的應用。

關鍵詞：壓縮映射 度量空間 收斂 存在性 唯一性

引言

壓縮映射原理就是解決某類映射不動點的存在性和唯一性的問題，這些不動點可以由迭代序列求出。我們首先會介紹壓縮映射原理（亦被稱為Banach），在此基礎上，會進一步介紹利用壓縮映射原理求解數學分析中數列的收斂性、隱函數存在性、微分方程解的存在唯一性的問題。

1. 定義

1.1.壓縮映射

1.1.1.

設T是度量空間X到X中的映射，如果對任意的 ，都有

（0< <1是常數），則T是X上的壓縮映射。

1.1.2.幾何意義

壓縮映射即點x和點y經過映射T后，它們像的距離縮短了。

1.2.不動點

設T是度量空間X到X中的映射，如果有 ，使得

則稱 為映射的一個不動點。

2. Banach壓縮映射原理

設 是一個完備度量空間，T是X上的一個壓縮映射，則T有唯一的不動點，即存在唯一的 ，使得 .

證明：（思路：利用迭代序列，先證其為Cauchy點列即任意的 >0，存在正整數N=N（ ），當n，m>N時有

，

再證x是不動點即 ，最后證明該點的唯一性即設 有 使得 ）

任取x0 ，令x1=T x0，x2=T x1，… ，xn=T xn-1

先考慮相鄰兩點的距離

再考慮任意兩點間的距離n>m

0< <1

是Cauchy點列

X是完備度量空間

，使得

x是不動點

若還有 ，使得 則

0< <1

不動點存在且唯一

3. 壓縮映像原理的應用

3.1.數列收斂性

3.1.1.定理

設 是 上的一個壓縮系數為k（0

證明：（利用壓縮映像的定義）

， n，

（ ， ）

取

， n，

數列 收斂

3.1.2.例題

3.1.2.1.

設 ， ，n=1，2，…證明數列 收斂。

證明：

顯然 ，

是壓縮映像

由壓縮映像原理知 收斂

3.1.2.2.

設 ， ，n=1，2，…證明數列 收斂.

證明：

是壓縮映像

由壓縮映像原理知 收斂

3.2.隱函數存在定理

設 在帶狀區域 上處處連續，處處有關于y的偏導數 ，且如果存在常數m，M，適合 ，則方程 =0在閉區間 上有唯一的連續函數 ，使得

證明：（思路：空間 映射 壓縮 定理）

在 中考慮映射 ，對任意 ，由連續函數的運算性質有

T是 到 的一個映射

任取 ， ，由微分中值定理，存在0< <1，使得 ，令

則0< <1，

，0< <1

映照T是壓縮的

由Banach壓縮映射原理， 上有唯一的不動點 使得

顯然這個不動點 適合

3.3.微分方程解的存在唯一性定理

設 在矩形 連續，設 ， ，又 在R上關于x滿足Lipschitz條件（即存在常數k，使得對任意的 ， 有 ）， 在區間 （ ）上有唯一的滿足初始條件 的連續函數解.

證明：（思路同隱函數存在定理）

設 表示在區間 上的連續函數全體，

對 成完備度量空間。又令 表示 中滿足條件 （ ）的連續函數的全體組成的子空間。

閉 是完備度量空間

令映射

，如果 ，當 時， ，而 是R上二元連續函數

積分在映射中有意義

又 對一切

T是 到 的一個映射

由Lipschitz條件，對 中的任意兩點x（t），v（t）有

令 ，則由 ，有0< <1

T是壓縮的

由Banach壓縮映像定理，T在 中由唯一的不動點（即 ，使得 即 且 ）

即x（t）是滿足初值條件的連續解

假設 也是 滿足初值條件的連續解，則 ，

T的不動點是唯一的

有唯一解

參考文獻：

[1]夏道行，嚴紹宗，吳卓人，舒五昌：實變函數論與泛函分析[M]（下），1985；

[2]鄭維行，王聲望：實變函數與泛函分析概要[M]（第二冊），1980；

[3]關肇直，張恭慶，馮德興：線性泛函入門[M]，1979；

[4]葉懷安，《泛函分析》[M]，安徽教育出版社，1984。