“利用三角函數解決坡度問題”的教法與學法設計

張明光

在初中數學教學中，坡度問題是很現實的實際問題，是應用三角函數解決實際問題很好的素材，也是中考的重要內容，但坡度問題的計算量較大，學生計算能力又很弱，所以很容易出錯. 從認知規律看，學生已經具有初步的探究能力和邏輯思維能力. 但直角三角形的應用題型較多，有關坡度問題的情境學生又不是很熟悉，而且含有很多專有名詞，學生理解起來比較困難，導致建立直角三角形模型上可能會有困難，從而不能把實際問題轉化為數學問題. 故將本節課難點設為：建立直角三角形模型，把實際問題轉化為數學問題.

基于以上分析，將本節課教學目標設定為：

（1）應用三角函數解決有關“坡度”的問題，進一步理解三角函數的意義. （2）經歷探索實際問題的求解過程，進一步體會三角函數在解決問題過程中的應用.（3）經歷實際問題數學化的過程，在獨立思考探索解決問題方法的過程中，不斷克服困難，增強應用數學的意識和解決問題的能力.

一、教法設計

1. 教學結構及教學基本思路

本節課的主要內容是一個關于坡度的實際問題，本節課采用“研究體驗式”教學，通過問題情境自然引入新課，通過對實際問題的探究、拓展，體驗實際問題的解決過程，體會數學的應用價值，體會數學思想在解題中的應用，提高解題能力，培養數學建模意識，通過課堂練習鞏固知識. 具體思路如下：（1）問題情境：讓學生了解坡度與坡角的關系，為后繼解題排除知識的干擾. （2）數學活動：出示問題，學生獨立思考后小組討論交流. 讓學生先分析解決，體會實際問題的解決需要建立數學模型來刻畫實際問題. （3）鞏固練習：及時鞏固新知，安排兩道簡單的練習題供學生獨立解決. （4）解決問題：運用所學的知識解決生活中的實際問題，體現數學的應用價值. （5）變式訓練：對數學活動進行變式，給學生的思維提供拓展的空間. （6）課堂小結：師生共同總結，完成本課.

2. 重、難點的突破方法

通過創設問題情境，提煉新概念為后續的學習做好必要的準備，降低問題1的思維量；通過讓學生主動經歷探索問題解決的過程，加深對知識的理解；通過例題教學，及時發現問題并加以糾正；通過課堂練習，提高學生解決問題的能力，突現本節課的重點.

通過引導學生審題、畫圖分析，教師點撥，逐步建立數學模型；通過幫助學生根據需要作出輔助線，從而將梯形中的計算問題化歸為解直角三角形問題；通過在問題1教學后引導學生加以總結：梯形、斜三角形的高是將其轉化為直角三角形的輔助線. 解直角三角形本質上是解邊角關系，其他幾何圖形的邊角關系問題也可以通過作輔助線化歸為解直角三角形問題來解決. 通過讓學生說思路、寫過程調動學生探究學習的積極性；通過師生、生生間的合作與交流，達成學生對疑難問題的理解與解決，從而突破難點.

3. 教輔手段的使用

本節課主要運用講學稿、小黑板、計算器等一些簡易媒體輔助教學，以提高課堂容量，給學生更多的思考時間和施展空間.

4. 導入和過渡設計

由于問題1的情境學生不是很熟悉，含有很多專有名詞，學生理解起來要花費較多時間，會讓部分學生產生畏難情緒，影響學習新課的信心. 因此本節課由關于坡度的實際問題情境引入幾個新概念，為后面對問題的探究做好準備，同時也能自然導入新課. 接下來的探究活動，通過巧妙設計問題串，為學生思考做好鋪墊. 問題1解決后，對問題1進行簡單的變式訓練，問題解決后，由學生總結有關坡度問題的解決策略. 接著是對問題1的拓廣與延伸，讓學生進一步感受應用三角函數解決更深層次的問題，體會數學問題之間的聯系，更深刻地認識問題，提高解決問題的能力. 學習完上述內容之后安排兩道課堂鞏固練習對所學知識進行檢測. 最后師生共同小結完成本課. 各個環節層層深入、環環相扣，過渡自然，構成一個完整的整體.

5. 尊重學生個體差異，因材施教

應用題對學生來說是難點，課標對這一節的內容要求不高，由于學生在認知水平和學習興趣上有較大差異，為了能充分調動全體學生參與課堂，因此本節課上有針對性地設計了各層次學生的問題，比如問題情境中的坡度問題、課堂練習1，問題1中設計問題串，把一個大問題分解成幾個小問題，以滿足不同層次的學生. 對學生感到困難的計算，讓學生自己體驗，同時選能力較強的學生上黑板書寫解題過程，供其他學生學習、參考. 適時地安排了小組合作交流活動，帶動每名同學參與學習. 對于能力較強的學生，可以把對問題的思考、分析交給他們，一方面可以活躍課堂，另一方面也能鍛煉他們的能力. 通過拓廣與延伸，讓學有余力的同學進一步探索，培養他們思維的靈活性和深刻性.

二、學法設計

1. 學生學習本課應采用的方法

我們常說“授之以魚”不如“授之以漁”，因此，在教學中要特別重視學法指導. 我采用以下的學習方法：（1）讓學生在“做中學”，使學生動起來，大膽表述、質疑，讓學生自主分析問題、發現問題、解決問題，經歷觀察、探究、建立數學模型等活動，達成對問題的更深理解.（2）分組討論、交流，努力營造自主探究、協作互動的課堂氛圍，達成對疑難問題的理解、解決. （3）多給學生寫的機會，在書寫過程中感受知識的應用，提高解題的規范性和正確率.

2. 培養學生能力應采用的方法

學生是課堂的主人，為了在課堂上培養學生的能力，得到真實的學情反饋，本節課上能讓學生說的就讓學生說，能讓學生做的就讓學生做. 特別是本節內容，學生已經掌握了一定的解題技巧，但還不成熟，學生的計算能力還要進一步加強，因此教師要把課堂放手讓給學生，多讓學生上黑板板演，并引導大家點評、發現問題. 這樣不僅能調動學生學習的熱情，還能培養學生良好的思考習慣與學習能力.

3. 學生主體地位的體現

教學中堅持以學生為主體，注重所學內容與現實生活的聯系，注重使學生經歷觀察、交流等探索過程，并通過追問與設計問題的形式，讓學生在解決實際問題的任務中發現了新問題，并讓學生帶著問題探索、交流，在思考中產生新認識，獲得新的提高. 在突破難點的同時培養學生勤于思考、勇于探索的精神，增加學生的學習興趣和享受成功的喜悅.