基于社會網絡分析的國際數學家論文合著現象研究

顧海東 閆統江

【摘要】利用社會網絡分析方法，研究國際數學領域作者合作關系。選擇以著名數學家Paul Erd?s為核心的龐大的國際數學家合著網絡進行實證研究。構建可視化合著網絡以研究國際數學領域的合著現象。通過實證研究，揭示出國際數學領域作者合著網絡的特點現狀，評價了數學家在合著網絡中的地位，指出了合著網絡中核心作者，發現了合著網絡中的聯系緊密的團體。

【關鍵詞】社會網絡分析 數學 合著網絡 可視化

Study of Co-authorship of International Mathematicians Based on Social Network Analysis

China University of Petroleum（East China），College of Science，Department of Computational and Applied Mathematics ?GU Hai-dong ?YAN Tong-jiang

Abstract：This paper is focus on the status of the collaboration in the international mathematics field by using the method of social network analysis. Choose the enormous international mathematician coauthoring network centering the notable mathematician Paul Erd?s to study. Build visualizable coauthoring network to study the international mathematical coauthoring phenomenon. Through the study，it reveals the features and the status of the coauthoring network，evaluates the status of mathematician in the network，distinguishes key authors in the network，and discovers several subgroups with close links between their members.

Key words：Social Network Analysis;Mathematics;Coauthoring network Visualization

1.引言

隨著現代科學技術蓬勃發展，學科專業化程度越來越高，一些前沿尖端問題的解決往往需要跨學科跨領域的專家合作。國際科研合作日趨頻繁，其中的一個重要標志就是論文合著現象向多角度，多領域的延伸。因此，對現代科研領域合著現象的研究無疑有助于更好地了解現代科學發展趨勢。

研究合著現象，其本質就是研究作者之間的關系，而社會網絡分析方法正是以研究關系見長的一種方法。本文擬采用社會網絡分析方法，分析以20世紀數學家、最偉大的學者共同作者Paul Erd?s為核心的龐大的國際數學家合著網絡，以研究近現代國際數學領域的合著現象。Erd?s作為合作者的角色在數學領域很驚人，體現在他龐大復雜的合著者網絡（見網站http：//www.oakland.edu/enp/）。

2.研究方法

2.1 數據來源

本文選擇以Paul Erd?s為核心的龐大的國際數學家合著網絡，以研究國際數學領域的合著現象。數據來源是奧克蘭大學（OAKLAND UNIVERSITY）Erd?s數工程項目（見網站http：//www.oakland.edu/enp/），該工程專門研究國際數學家之間的合作。原始數據來自Erd?s1文件（見網站https：//files.oakland.edu/users/grossman/enp/Erdos1.html）。 Erd?s1文件列出了511位Erd?s數為1的數學家（與Erd?s直接合作過的數學家）及其合作者的姓名。

2.2 研究工具

為了是社會網絡分析更簡單易行，很多學者都致力于開發應用于社會網絡分析的軟件或程序。社會網絡分析軟件有多種，在國際社會網絡分析網（INSNA）的網站上列出的可用于社會網絡分析的程序/軟件多達54種[1]。其中一些是可視化軟件，用于對社會網絡進行可視化，一些具有分析的功能。中國社會科學院社會學研究所主辦的中國社會學網（http：//www.sociology.cass.cn/）的“研究工具”專欄列出了一些常用的社會網絡分析軟件[2]，主要包括：KrackPlot、STRUCTURE、GEGOPY、Pajek、Stocnet和UCINET等。其中，UCINET是研究者使用較多的社會網絡分析軟件。

論文作者合著研究所形成的網絡具有復雜性網絡的特性，這種特性可以通過具有交互性、多維性和可視性的可視化技術生動、形象地呈現出來[3]。UCINET軟件集成了NETDRAW，MAGE，PAJEK三種可視化方法。本文的數據分析主要是通過UCINET軟件完成的。

3.研究結果分析

3.1 Erd?s數為1的數學家合著網絡

本文在構建合著網絡時，用1表示兩位作者之間存在合著關系，用0表示兩位作者之間不存在合著關系[4]。對Erd?s1文件進行數據提取，建立由511位Erd?s數為1的數學家構成的合作關系網絡。表1是構建的Erd?s數為1的數學家合著網絡的矩陣的部分。

本文采用的是UCINET中的NETDRAW方法，通過該方法把511位Erd?s數為1的數學家間的合著情況以網絡圖的方式呈現出來，圖1即為這511位數學家間的合作網絡圖，該圖是點度中心度作為衡量指標呈現出來的，及點度中心度越大的作者，他的節點就越大。

3.2 確定核心作者群

由于構建的Erd?s數為1的數學家合著網絡十分龐大復雜，且不便于分析，也無法突出重點。為了更直觀的觀察數學領域的合作情況，需要對511位合作作者做進一步的限定，以期觀察數學領域中較為重要的作者和合作團體的特點。所以，本文選取Erd?s數為1的數學家中的核心作者。根據普賴斯定律：在同一主題中，半數的論文是一群高生產力作者所寫，這一作者集合數量約等于全部作者總數的平方根。511位數學家中，最高發文量為361篇。根據公式（1）可以得出數學領域核心作者最低發文數。

（1）

式中：m為核心作者中最低產作者發表論文數;為核心作者中最高產作者發表論文數。

在Erd?s數為1的數學家群體中，=361，計算出核心作者的發表文獻數量在15以上，因此可以定義發表文獻數量在15以上的作者為核心作者共有362位[5]。用UCINET中NETDRAW方法把511位Erd?s數為1的數學家中的核心作者間的合著情況以網絡圖的方式呈現出來，圖2即為這362位核心作者間的合作網絡圖，該圖是點度中心度作為衡量指標呈現出來的，及點度中心度越大的作者，他的節點就越大。

3.2.1 核心-邊緣結構分析

在UCINET中進行核心-邊緣結構分析的菜單路徑為Network>Core/Peripher y>Categorical。

核心-邊緣結構分析的結果將60位數學家置于核心位置，另外451位數學家置于邊緣位置。核心數學家作者群中，發表文獻數量最多的作者發表了361篇文獻，最少的僅發表了15篇文獻。而由普賴斯定律，這60位數學家也被認為是核心作者。綜合普賴斯定律和核心-邊緣結構分析的結果，這60位數學家是真正的核心作者。

用UCINET中NETDRAW方法把511位Erd?s數為1的數學家中的真正核心作者間的合著情況以網絡圖的方式呈現出來，圖3即為這60位真正核心作者間的合作網絡圖，該圖是點度中心度作為衡量指標呈現出來的，及點度中心度越大的作者，他的節點就越大。

3.2.2 中心性分析

（1）點度中心性

UCINET中進行點度中心性分析的菜單路徑為Network>Centrality>Degree。下表是利用UCINET對60位真正的核心作者的合著網絡進行點度中心性分析的結果。由于篇幅關系，僅列出部分結果，下同。

表2 點度中心度排名

Ranking Name Degree Nrm Degree Share

1 ALON，NOGAM. 35.000 59.322 0.041

2 RODL，VOJTECH 30.000 50.847 0.035

3 FUREDI，ZOLTAN 28.000 47.458 0.033

4 GRAHAM，RONALDLEWIS 28.000 47.458 0.033

.

.

. .

.

. .

.

. .

.

. .

.

.

59 KLUGERMAN，MICHAEL RICHARD 5.000 8.475 0.006

60 POMERANCE，CARLBERNARD 5.000 8.475 0.006

在表2中Degree那一列是絕對點度中心度，NrmDegree那一列是相對點度中心度。從結果可以看出，點度中心度最高的是ALON，NOGAM，其絕對點度中心度是35。根據點度中心度的定義，表明其與網絡中其他35個結點有直接聯系，也就是說，ALON，NOGAM曾與35位數學家合作發表過論文。絕對點度中心度的最低值是5。

表3是這60位核心數學家作者發表論文數量排名。對比點度中心度排名（表2）和發表論文數量排名（表3），發現兩者具有很大的相似性，說明發表論文數量比較多的作者和他人的合作也比較頻繁。

表3 發表論文數量排名

Ranking Name papers

1 ALON，NOGAM 361

2 HARARY，FRANK* 316

3 TUZA，ZSOLT 177

4 GRAHAM，RONALDLEWIS 177

.

.

. .

.

. .

.

.

59 SARKOZY，GABORN 15

60 KLUGERMAN，MICHAELRICHARD 13

但是，點度中心性僅僅考慮的是一個作者與其他作者之間的直接聯系，而忽視了他與整個網絡中所有作者的聯系。也就是說，即使一個作者與其他很多作者都有直接聯系，但是和這個作者有直接聯系的作者和其他作者都沒有什么聯系，即使這個作者有很高的點度中心度，但是這種情況只存在于“本地”網絡中。從整個網絡的角度看，點度中心性的意義就不是很大了[6]。

（2）中間中心性

在UCINET中進行中間中心性分析的菜單路徑是Network>Centrality>Free

man Betweenness>Node Betweenness。下表是利用UCINET對60位真正的核心作者的合著網絡進行中間中心性分析的結果。

表4 中間中心度排名

Ranking Name Betweenness nBetweenness

1 ALON，NOGAM. 347.797 10.164

2 GRAHAM，RONALDLEWIS 201.608 5.892

3 FUREDI，ZOLTAN 188.937 5.521

4 PACH，JANOS 171.863 5.022

.

.

. .

.

. .

.

. .

.

.

59 CHEN，GUANTAO 0.762 0.022

60 KLUGERMAN，MICHAELRICHARD 0.000 0.000

從表4可以看出，中間中心度最高的是ALON NOGAM，其次是 GRAHAM RONALDLEWIS 和FUREDI ZOLTAN等人。這些作者的中間中心性比較高，說明他們掌握了比較多的研究資源。同時，結果表明，有一部分作者的中間中心度接近0，這些作者幾乎不具備控制資源的能力。統計排序這60位真正核心作者的中間中心度，發現是均勻遞增的，最高和最低相差比較大。說明這60位作者控制資源的能力良莠不齊。

（3）接近中心性

計算接近中心性時，網絡必須是完全連通圖，及每個結點都和網絡中其他所有結點有聯系。因此，在計算接近中心性之前，我們必須先進行成分分析，因為成分是網絡中最大的連通子圖。

在UCINET中進行成分分析的菜單路徑是Network>Regions>Components

>Simple graph。

通過對合著網絡進行成分分析，發現網絡只有一個成分，及整個網絡就是一個完全連通圖，所以可以直接計算接近中心度。

在UCINET中進行接近中心性分析的菜單路徑是Network>Centrality>

Closeness。下表是利用UCINET對60位真正的核心作者的合著網絡進行接近中心性分析的結果。

從表5可以看出，ALON NOGAM的接近中心度值最小，說明他能以最短的路徑到達其他作者，在網絡中處于比較核心的地位。

綜上，比較表2至表5，可以發現接近中心性和中間中心性分析指數都比較高的作者是和比較多的作者合作過并且發表論文數量較多的學者。

表5 接近中心度排名

Ranking Name In Farness Out Farness

1 ALON，NOGAM. 83.000 83.000

2 RODL，VOJTECH 88.000 88.000

3 FUREDI，ZOLTAN 90.000 91.000

4 GRAHAM，RONALDLEWIS 91.000 ? 91.000

.

.

. .

.

. .

.

. .

.

.

59 SCHULMAN，LEONARDJ.Y. 136.000 136.000

60 KLUGERMAN，MICHAELRICHARD 140.000 140.000

ALON NOGAM的點度中心度最高，說明與他有合著關系的數學家也是最多的。他在中間中心性和接近中心性分析結果中都位居第一，其發表論文數量也位于第一位。ALON NOGAM是著名的以色列數學家，在組合數學和理論計算機科學領域做出卓越貢獻，曾獲得Erd?s獎、Feher獎、Pólya獎、G?del獎等國際著名獎項。

RODL VOJTECH的點度中心度第二高，及與他合作的數學家數量第二多。他在接近中心性分析中排第二，在中間中心性分析中排第五。RODL VOJTECH是杰出的捷克數學家，他在組合數學領域享有盛譽，曾獲得Pólya獎。

FUREDI ZOLTAN在點度中心性分析，中間中心性分析和接近中心性分析中均排名第三。FUREDI ZOLTAN是知名的匈牙利數學家，在分形幾何和組合數學均有建樹，同時是匈牙利科學院院士。

GRAHAM RONALDLEWIS在點度中心性分析和接近中心性分析中排第四，在中間中心性分析中排第二，發表論文數量排名第三。GRAHAM RONALDLEWIS美國著名數學家，在排程理論、拉姆齊理論、計算幾何學和低差異數列均有建樹。他曾經是美國數學學會主席，AT&T首席科學家。2003年榮獲美國數學學會頒發的Steele獎。

3.2.3 凝聚子群分析

利用UCINET中的CONCOR法進行凝聚子群分析。CONCOR是一種迭代相關收斂法（convergent correlation）。經過多次迭代計算之后，CONCOR利用樹形圖表達各個位置之間的結構對等性程度，并且標記出各個位置擁有的網絡成員。

下圖4就是利用UCINET中的CONCOR法得到的凝聚子群樹形圖。

由圖4可以清楚的看出60位Erd?s數為1的真正核心作者被分成8個小團體。

團體1，AJTAI，MIKLOS;SZEMEREDI，ENDRE;SERESS，AKOS;BABAI，LASZLO;HAJNAL，ANDRAS;SOS，VERATURAN;STRAUS，ERNSTGABOR;LINIAL，NATHAN;LOVASZ，LASZLO;CHVATAL，VACLAV（VASEK）;ROTHSCHILD，BRUCELEE;RUZSA，IMREZ;KOMLOS，JANOS;SARKOZY，ANDRAS;SIMONOVITS，MIKLOS。

絕大部分都是匈牙利數學家，研究領域集中在組合數學和圖論。其中大部分匈牙利數學家都在匈牙利科學院數學研究所工作學習過。

團體2，WINKLER，PETERMANN;GRAHAM，RONALDLEWIS;

TROTTER，WILLIAMTHOMAS，JR;ALON，NOGAM;SPENCER，

JOELHAROLD;SAKS，MICHAELEZRA;FISHBURN，PETERC;FUREDI，ZOLTAN;CHUNG，FANRONGKING（GRAHAM）;ODLYZKO，ANDREWMICHAEL;TETALI，PRASAD;FRANKL，PETER。

絕大部分是美國數學家，研究領域集中在組合數學和離散數學。他們大多來自美國東海岸和西海岸的高校，如哈佛大學，麻省理工學院，紐約大學，普林斯頓大學，賓夕法尼亞大學，羅格斯大學，佐治亞理工學院，加州理工學院，加州大學伯克利，加州大學洛杉磯和加州大學圣地亞哥等。GRAHAM，RONALDLEWIS，CHUNG，FANRONGKING（GRAHAM），TROTTER，WILLIAMTHOMAS，JR和SPENCER，JOELHAROLD等人都在拉姆齊理論方面有深入研究。值得一提的是GRAHAM，RONALDLEWIS和CHUNG，FANRONGKING（中國臺灣）是夫妻，二人都在加州大學圣地亞哥任教。GRAHAM，RONALDLEWIS曾任美國數學學會主席，被授予終生成就獎，被稱贊為“現代離散數學快速發展的主要推動者”。

團體3，ARONOV，BORIS;SCHULMAN，LEONARDJ.Y.;GODDARD，WAYNEDEAN;PACH，JANOS;KLEITMAN，DANIELJ。

這五人都致力于計算幾何的研究，其中兩人來自紐約大學，兩人來自麻省理工學院，還有一位來自克萊姆森大學。五人中只有PACH，JANOS不是美國人，他出生于匈牙利一個著名的學者家庭，他叔父是匈牙利最著名的數學家之一。他本人現在身為紐約大學庫朗數學研究所教授還擔任國際知名學術期刊離散和計算幾何主編。

團體4，SZEKELY，LASZLOA;POMERANCE，

CARLBERNARD。

SZEKELY，LASZLOA來自南加州大學數學系。POMERANCE，CARLBERN

-ARD是國際著名的數論學家，在哈佛大學取得數學博士學位，被達特茅斯學院聘為杰出教授，2012年當選美國數學學會會員。

團體5，PYBER，LASZLO;KOHAYAKAWA，YOSHIHARU;

LUCZAK，TOMASZ;KOSTOCHKA，ALEXANDRV;GYORI，ERVIN;RODL，VOJTECH;BOLLOBAS，BELA。

這七位數學家雖然來自不同國家和研究機構，但研究領域都集中在組合數學和圖論。其中LUCZAK，TOMASZ和RODL，VOJTECH都來自埃默里大學。PYBER，LASZLO和GYORI，ERVIN都來自匈牙利科學院。

團體6，WORMALD，NICHOLASCHARLES;HELL，PAVOL;NESETRIL，JAROSL-AV。

HELL，PAVOL和NESETRIL，JAROSLAV都曾在捷克的布拉格查理大學學習數學。HELL，PAVOL后來加入加拿大籍，在西蒙菲莎大學執教。WORMALD，NICHOLASCHARLES是澳大利亞數學家，莫納什大學數學教授，曾擔任加拿大國家首席教授在滑鐵盧大學。這三人都致力于組合數學和圖論的研究。

團體7，BURR，STEFANANDRUS;CHARTRAND，

GARYTHEODORE;HARARY，FRANK;OELLERMANN，

ORTRUDR。

這四位數學家均來自不同的科研機構，但都主要致力于圖論的研究。HARARY，FRANK還被譽為“現代圖論之父”。

團體8，SCHELP，RICHARDH;GOULD，RONALDJ;

CHEN，GUANTAO;JACOBSON，MICHAELSCOTT;FAUDREE，RALPHJASPER，JR;GYARFAS，ANDRAS;ROUSSEAU，CECILCLYDE;TUZA，ZSOLT;

WEST，DOUGLASBRENT;LEHEL，JENO;SARKOZY，GABORN。

SCHELP，RICHARDH;CHEN，GUANTAO（中國）;FAUDREE，RALPHJASPE -R，JR;ROUSSEAU，CECILCLYDE和LEHEL，JENO均來自孟菲斯大學。其他數學家也大多來自美國中部各高校。他們的研究領域集中在組合數學和圖論。

通過凝聚子群分析，可以得出數學同其他學科一樣，合作關系受地理位置影響大，同一地域或者同一機構的學者，更容易構成合作關系。團體1就主要由匈牙利科學院數學研究所的數學家構成。團體2和團體8盡管都是美國數學家，但是團體2的數學家來自美國東、西海岸的各大高校，而團體8的數學家來自以孟菲斯大學為主的中部各大高校。由此可見美國數學領域作者合作團體分為兩大類，東、西海岸合作團體和中部合作團體。

以上數學家研究領域集中在組合數學，圖論，計算幾何，離散數學，數論。通過調查分析，可以發現這60位Erd?s數為1的真正核心作者大多數來自美國和匈牙利，這與Paul Erd?s身為一名美國籍匈牙利數學家有直接聯系。

4.結論

本文利用社會網絡分析方法，借助UCINET軟件工具，選擇以Paul Erd?s為核心的龐大的國際數學家合著網絡進行研究分析，以研究國際數學領域的合著現象。數據來源是奧克蘭大學（OAKLAND UNIVERSITY）Erd?s數工程項目（見網站http：//www.oakland.edu/enp/），該工程專門研究國際數學家之間的合作。

首先，構建Erd?s數為1的數學家合著網絡。然后，為更直觀的分析該領域合作情況，根據普賴斯定律和核心-邊緣結構分析確定核心作者群。接著，通過中心性分析，確立了國際數學領域有重要影響力的作者。同時還發現，點度中心度排名與發表論文數量排名有很大的相似性，說明發表論文比較多的數學家同他人的合作也比較頻繁。最后，通過凝聚子群分析，發現數學領域作者合作關系受地理位置影響大。核心作者之間合作密切，并且研究領域集中在組合數學、圖論、計算幾何、離散數學和數論。

通過本研究，一方面為新進入數學領域的研究人員，提供知識交流的指導，另一方面，為數學家加強合作交流提供參考。

參考文獻

[1]Computer Programs for Social Network Analysis[EB/OL].[2014-02-18].http：//www.insna.org/INSNA/soft-inf.html.

[2]社會網絡模型[EB/OL].[2014-02-20].http//www.sociology.cass.cn/shxw/software/network.htm.

[3]張秀梅，吳魏.科研合作網絡的可視化及其在文獻檢索中的應用[J].情報學報，2006（1）：9-13.

[4]王志亮.社會網絡分析方法在科研協作網中的應用研究[D].大連：大連理工大學管理學院，2005.

[5]李鑠，張志強.情報研究中核心著者的影響力評價方法研究[J].情報雜志，2010（10）.

[6]Thomas Krichel，Nisa Bakkalbasi.A social network analysis of research collaboration in the economics community[EB/OL].http：//openlib.org/home/krichel/papers/nancy.pdf，2007：1-24.

基金項目：本文系國家自然科學基金項目（項目編號：61170319）;山東省自然科學基金項目（項目編號：ZR2010FM017）研究成果之一。

作者簡介：

顧海東（1993—），男，江蘇大豐人，大學本科，現就讀于中國石油大學（華東）理學院數學與應用數學專業，主要從事應用數學研究。

閆統江（1973—），男，山東鄆城人，博士后，中國石油大學（華東）副教授，計算數學系主任，主要從事代數學和密碼學研究。