基于譜分解的聚類方法在風電場/群輸出功率特性分析中的應用

李藝欣 常太華 張琦

【摘要】隨著風能規模化利用的進一步推廣，區域電網中風電的滲透率不斷增加，電網對風電的合理調度日益重要。大型風電場/群的輸出功率是關于多臺機組的高維非線性模型。本文考慮風電場/群內風機的類型、位置等因素，根據風電場/群中風機的輸出功率特性數據，采用基于馬爾科夫轉移矩陣的譜分解聚類方法對風電場/群進行充分降維，并提出相應的評價指標用于分析和優化聚類結果。最后，選取華北某大型風電場中任意20臺風機的輸出功率數據進行仿真實驗，實驗結果表明：該方法能夠有效的根據風電場內風機的輸出功率特性將其劃分為4個集群。同時，采用波動性指標進行評價并得到了輸出功率最平穩的一類機群;采用誤差帶指標對其中一個集群進行優化，顯著降低了該集群的輸出功率標準差。

【關鍵詞】風力發電;風電場/群;功率特性分析;馬爾科夫鏈;聚類分析

1.引言

我國規模化風能利用發展十分迅速，至2012年，我國風電的總裝機同比增長20.8%[1，2]。由于風能的隨機性和間歇性導致風電場輸出功率波動，難以保證平穩的電力輸出，使得電網對風電場的調度及并網造成了很多困難，也對電力系統的發電和運行計劃的制定帶來極大挑戰[3]。隨著大規模風電并網，其滲透率日益增加并對電網的影響越來越大。為了解決這個問題，分析風電場/群的功率輸出特性以優化電網調度是十分必要的。

現代風電場/群通常由數十至上百臺風機組成，其總輸出功率是關于多臺機組的高維非線性模型，建模時一般將風電場/群整體特性做簡化處理。文獻[4]采用了集總建模法對風電場進行等值建模，但對于風電機組之間風速差異較大的風電場，基于集總建模法的等值模型會存在較大的誤差[5]。文獻[6]中使用K-means聚類算法對風電場進行了動態等值建模。然而K-means算法有兩個主要的缺點：一是運算結果對集群的數量的選擇是十分敏感的，即K變化時，聚類結果會出現很大的差異;另外就是K-means算法不能很好的解決集群是非線性這類聚類問題[7，8]。為了解決K-means算法的問題，一些新的聚類算法被應用于系統建模中。文獻[9]中通過提取每臺機組的運行特征值建立特征矩陣，進而對該矩陣使用模糊聚類分析，將具有相同或相似特性的機組劃分為同一集群，以達到簡化風電場模型的目的。文獻[10]中使用了聚類樹算法對雙饋機組風電場進行動態等值建模。指出與傳統建模相比，聚類分析的方法更適用于大容量風電場的等效建模。

為了有效的克服集群離散非線性以及對集群數量敏感等問題，本文使用了一種基于馬爾科夫轉移矩陣譜分析的聚類方法。首先，根據每臺風機輸出功率時間序列建立了馬爾科夫轉移矩陣;然后對該馬爾科夫轉移矩陣進行譜分解來確定主導特征值和集群的數量，進而由主導特征值計算任意兩臺風機的擴散距離決定聚類的結果;最后引入波動性和誤差帶兩個指標對聚類結果進行分析評價。

2.基礎理論

目前存在的聚類算法一般都對集群大小有強制限制，容易陷入局部收斂及實現復雜等問題[11]。譜分解只需解決矩陣特征值分解問題，可以有效的克服上述問題。馬爾科夫鏈是估計系統離散狀態之間轉移概率的隨機過程[12]，便于與譜分解結合使問題簡化。

2.1 馬爾科夫轉移矩陣

S為隨機試驗的樣本空間，t為時間變量，定義一個具有平穩分布的隨機過程x（t），t={1，…，m}。則一個隨機過程的樣本集合為X={x1，…，xn}。根據文獻[13]，定義矩陣：

（1）

其中是代表數據結構接近程度的寬度參數。

將矩陣A行標準化：

（2）

則矩陣P為馬爾科夫轉移矩陣，代表著任意兩個過程按照局部相似劃分到一個集群中的概率。

2.2 譜分解

構建矩陣P的目標是為了找到劃分的集群的數量。對馬爾科夫轉移矩陣進行譜分解也就是分析特征值和特征向量進而發現數據的幾何結構特點。假定馬爾科夫鏈是非周期和不可約的，根據馬爾科夫鏈的性質可知，存在平穩分布且滿足：

（3）

即是矩陣P的特征值為1的左特征向量。同時，對于遍歷不可約馬爾科夫鏈，應滿足下式：

（4）

其中n為馬爾科夫轉移矩陣P的階數。

設表示矩陣P的第i個特征值，表示矩陣P的第i個特征值的左特征向量，表示矩陣P的第i個特征值的右特征向量。將所有特征值降序排列：

那么馬爾科夫矩陣P的譜分解形式為：

（5）

則其低階模型為：

（6）

為了得到很好的低階近似模型Pa，參數q的選擇有兩種情況：

1）矩陣P有q個主導特征值（q

2）如果矩陣P沒有明顯的主導特征值，若q滿足i，其中q滿足則低階近似模型Pa是由和它們對應的左、右特征向量組成的。

2.3 擴散距離的計算

令X=（x1，x2，...，xn），利用單位向量（e1，e2，...，en）分別表示集合X中元素的分布情況。那么xi和xj的擴散距離可以寫成下式[14]：

其中i表示矩陣P的右特征向量的第i個元素。對于存在q個集群的近似模型，擴散距離表示為：

（13）

如果D2（xi， xj）小于一個臨界值，就認為xi和xj屬于同一個集群。

引入矩陣J：

（14）

對矩陣J進行分析即可得到聚類結果。

3.聚類結果評價

基于上一節的理論可以完成對一個風電場/群的聚類。根據聚類結果，可以用集群的平均輸出功率來代替同一集群內的每臺風機的輸出功率，對聚類結果的分析等價于對每個集群平均輸出功率的分析。本節中，將使用適當的指標對每個集群的平均輸出功率進行評價分析。

3.1 波動性指標

由于風電并網困難的原因主要來源于其輸出功率的隨機性和波動性，對風電輸出功率波動性的描述在不同場合應使用不同的方法。本節中，波動性指標由下式給出：

（15）

其中Piave表示第i個集群的平均輸出功率;t為采樣時間。該式以集群的平均輸出功率的前后采樣時刻的差值的平方和來體現該集群在一段時間內輸出功率的波動性情況，顯而易見，值越小，說明該集群風機的平均輸出功率波動性越小，反之亦然。

為了對波動性進行全方位分析，確保分析結果準確有效，本節將再引入階躍變化[15]與式（15）組成對波動性的多指標評價方法。

若風機輸出功率時間序列為x（t），，那么階躍變化為：

（16）

（17）

k為選取采樣點的個數。則階躍變化的標準差為：

（18）

（19）

由（16）至（19）可得出在指定段時間內，描述風機輸出功率的波動性的序列，以及該序列的標準差，用上述兩項結果，對該時間段內風機功率輸出的波動性進行分析。

3.2 誤差帶指標

為了優化聚類效果，避免出現聚類后集群的平均輸出功率與集群內每臺風機輸出功率的偏差過大，使平均輸出功率能較好的反映集群內風機的輸出功率，引入集群誤差帶指標：

（20）

其中Pij（t）為t時刻的第i個集群內的第j臺風機的輸出功率 Pistd（t）表示t時刻的第i個集群的風機輸出功率標準差。

Sij（t）表示t時刻時第i個集群內的第j臺風機與該集群內所有風機平均值的偏離程度，若Sij（t）與Sij（t+1）均大于某一閾值，那么就認為第i個集群內的第j臺風機已經不能歸為該集群，應當從該集群內移除，重新計算在t+1時刻該集群風機功率輸出均值，進而確保該集群風機的平均輸出功率更能有效的代表該集群內各臺風機的輸出功率。

移除風機之后，應隨時關注優化前后集群風機輸出功率標準差Pistd的差值，當差值呈明顯減小趨勢時，則代表被剔除的風機對該集群平均輸出功率的影響逐漸變小，可將原剔除的風機重新歸入原集群。

表1 樣本數據

時間

序列 1號風機 … 20號風機

Y（t） x（t） Y（t） x（t）

1 23.4 -20.4 10.39 -2.89

2 3 7.51

… …

2027 223.2 -35.4 254.0 -32.7

2028 187.8 221.3

4.實例分析

本節基于華北某風電場數據，采樣時間從2012年5月1日到2012年5月15日，采樣周期為10分鐘。在風電場66臺風機中隨機抽取20臺風機生成基本數據，并假設輸出功率數據是一個隨機馬爾科夫過程[16]。

這里同樣使用風機輸出功率波動性作為基礎數據：

（21）

其中y（t）是風機在t時刻的功率輸出值，x（t）為相鄰兩數據的差值。表1列舉了部分數據。

4.1 構建馬爾科夫轉移矩陣

根據第二節可知，為了衡量任意兩臺風機的相似程度，必須要先建立馬爾科夫轉移矩陣P。設隨機過程集合，其中xi表示第i臺風機的x（t）的序列。所以X是一個202720的矩陣。將X矩陣進行歸一化處理，，根據（1）式，列出矩陣：

其中參數。

根據（2）式，得馬爾科夫轉移矩陣：

4.2 譜分解

基于譜分解理論，矩陣P的特征值和特征向量包含著劃分集群的特征。用線性代數的方法求解出矩陣P的特征值和特征向量。由（3）和（4）聯立求出固定分布是：

求出矩陣P的特征值并且按照降序排列：

可知矩陣P不存在q個接近于1的主導特征值。但是對特征值序列分析可以發現所以q=4，即集群數量為4個。

4.3 計算擴散距離

通過矩陣P的特征值和它對應的右特征向量可以求解任意兩臺風機的擴散距離。以風機1和風機2為例，其擴散距離為：

由（14）得：

它的第ij個元素就對應的是第i臺風機與第j臺風機的擴散距離，該數值越小，則表示這兩臺風機的相似度越高。因此，選取一個合適的閾值，當J（i，j）的值小于該閾值時，則第i與第j臺風機可歸為一類。本例中，該閾值取0.005。

4.4 仿真結果

風機聚類結果如表2所示：

表2 聚類結果

風機數量 20

集群數量 4

集群號 集群1 集群2 集群3 集群4

風機號 1，5，9，12，

15，19，20 2，4，6，

10，18 7，11，13，

14，16 3，8，17

對應風場內風機號 1，2，5，4，

10，9，7 66，64，62，

60，61 20，27，21

25，24 12，14，13

圖1 某時間段內不同集群內風機平均輸出功率

4.5 仿真結果分析

4.5.1 波動性分析

由圖1可知，在一定時間內，四個集群的風機平均輸出功率差異明顯，由（15）可得在t=370至t=440之間各個集群的波動值，結果為：

計算結果表明該時間段內，集群1、3的波動性較小，而集群2、4的波動性較大。應用階躍變化指標結果得出集群3的階躍變化標準差最小;集群2的階躍變化標準差最大。結合兩個指標得出集群3在該時間段內的波動性最小。當電網需要該風場內風機并網時，可以優先調度集群3中的各臺風機，減小風力發電的波動性對電網的沖擊，確保電網運行安全和穩定。

圖2 某時間段內不同集群內風機輸出功率標準差

圖3 某時間段內集群2中所有風機的功率輸出

圖4 某時間段內集群4中所有風機的輸出功率

4.5.2 誤差帶分析

圖5 某時間段內集群3中所有風機的輸出功率

由圖5可知在采樣時間t=395附近，各個風機與該集群平均功率輸出之間的偏差很大。取t=396，則取1，根據計算，66號和64號風機從集群內移除。

圖6 優化后某時間段內集群3中各個風機輸出功率

圖7 優化后某時間段內集群3的標準差

由圖6、圖7可知，優化后的集群3的標準差比原集群3的標準差在一個時間段內更小，意味著，優化后的集群3的輸出功率平均值與集群內各個風機的輸出功率的偏差更小，使用優化后集群3平均輸出功率則比原集群3平均輸出功率更具有代表性與真實性。由圖7可知，在t=415附近，優化前后的標準差近似相同，可將移除的66號與64號風機重新歸入該集群，達到對該集群優化的目的。

5.結論

本文將馬爾科夫轉移矩陣與譜分解理論相結合應用于風電場輸出功率特性分析方面。首先，使用風機相鄰時刻的輸出功率變化量建立了馬爾科夫轉移矩陣并對該矩陣進行譜分解確定了集群數量，有效的避免了因為集群數量不確定而導致聚類結果差別很大的問題;然后，根據譜分解結果計算任意兩臺風機的擴散距離進行聚類。為解決由于大型風電場/群內各個風機輸出功率特性的不同，導致并網時對電網沖擊過大的問題提供了有效的方法。

結合聚類結果，本文提出了波動性指標與誤差帶指標。前者以輸出功率的平穩性對各個集群進行評價，后者則可以根據實時狀態微調每個集群內的風機組成，優化每個集群的平均輸出功率，提高了每個集群的平均輸出功率的實時準確性。結合這兩項指標，為實現對集群輸出功率平穩性的實時監控提供可能。

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作者簡介：李藝欣（1989—），男，華北電力大學控制與計算機工程學院碩士研究生在讀，研究方向：大型風電場調度策略研究。