注重活動經驗積累 引導感悟數學思想

戴幼芬

【摘要】 在“圓的面積”教學中，讓學生經歷觀察、猜測、試驗、驗證、抽象概括等學習過程，幫助學生積累活動經驗，引導學生在知識產生、形成、發(fā)展的過程中感悟數學思想方法，感受數學課堂魅力.

【關鍵詞】 活動經驗；轉化思想；極限思想；策略多樣化

《數學課程標準》中指出：“數學思想蘊含在數學知識形成、發(fā)展和應用的過程中. ”“幫助學生積累數學活動經驗是提高學生素養(yǎng)的重要標志. ”因此，使學生獲得數學的基本思想應是數學課程的重要目標. 基于此認識，在“圓的面積”教學這一課中，我以此為理論支撐，注重豐富學生的活動經驗，引導學生感悟數學思想，實現以下思維導向.

一、在知識的生長點上尋求延伸點，滲透轉化思想

《數學課程標準》指出：教學中要引導學生積極參與學習活動，逐步感悟數學思想. 而數學是一門系統性強、邏輯嚴密的學科，數學知識之間相互聯系，教材的編排緊扣知識的網絡結構螺旋上長. 數學學習過程是學生根據已有的數學經驗、認知結構進行的一種主動建構的過程，每一個新的教學內容都有其相應的學習起點. 在“圓的面積”教學中，找準新課的起始點，把握知識的生長點，擅用“四兩撥千斤”之巧，可在知識的延伸處滲透轉化思想.

教學回放1：把圓轉化成什么圖形呢？

師：我們以前學平行四邊形、三角形、梯形的面積計算公式時是用什么方法推導出來的？

生：通過剪一剪、拼一拼的辦法，把新圖形轉化成已經學過的圖形再計算面積.

師：那么圓可轉化為哪一個學過的圖形呢？

生：猜測可以剪成長方形、正方形、三角形、梯形.

師：各個小組用事先準備的圓剪一剪、拼一拼，試試看！可以選擇把圓轉化成你所喜歡的學過的平面圖形長方形、平行四邊形、梯形、三角形.

師：課堂巡視中發(fā)現有同學沿著半徑把圓剪開，馬上抓住機會，展示該同學的作品，追問他并引發(fā)其他同學思考：為什么把圓沿著半徑剪呢？

學生：以前轉化圖形經常沿高剪開，圓找不到高就試著沿半徑剪開.

師：這種思路給了我們很大的啟發(fā)！其他同學也可以學著試一試、剪一剪、拼一拼，也許有新的發(fā)現在等著我們.

明朝學者陳獻章說：“學貴質疑，小疑則小進，大疑則大進. 疑者，覺悟之機也. ”在數學教學中，數學知識是條明線，清楚記載于教材中，而數學思想方法是條暗線，隱含在教材深處，貫穿于知識與技能形成的過程中. 注重知識的結構體系，挖掘教材的內在聯系，關注知識的“生長點”與“延伸點”，數學知識學習的過程才能簡潔高效，數學思想方法的滲透才能“潤物無聲”. 在這一環(huán)節(jié)教學中，我巧設思維火點，通過喚醒學生已有的學習經驗，啟發(fā)嘗試利用平行四邊形、三角形和梯形面積計算公式的推導方法學習圓面積，讓學生欲罷不能，非探個究竟不可，激起學生用舊知探索新知的興趣，嘗試用轉化思想方法解決問題.

二、在知識生成的延伸點上，感悟極限思想

先秦諸子《莊子·天下篇》著作中“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”已有極限思想的萌芽；《九章算術》中魏晉時期數學家劉徽創(chuàng)立了“割圓術”，“割之彌細，所失彌少，割之又割以至不可割，則與圓合體而無所失矣”.則是把極限思想和極限概念運用于解決實際問題中，體現了數學深刻的內涵. 而小學生受其年齡特征的限制，對具體的、有限的事物容易理解接受，而對于抽象的、數量無限的事物難于理解. 因此在圓的面積教學中，要幫助學生理解極限的內涵，需要教師善于把握教材的特點，挖掘教材深處隱含的本質，在知識生成的延伸點上，引導學生感悟極限思想.

教學回放2：拼成的圖形滿意嗎？

師：按照這種思路拼成的近似平行四邊形你們都很滿意嗎？

生：不滿意，邊太彎了.

師：那么有沒有什么辦法讓它的邊變得更直呢？

生：再多剪幾份.

師：意思是說，把圓分得更多份，是嗎？

師：如果剪的份數越多，猜一猜，會出現什么情況？

生：邊就會越來越直.

師：是像我們猜想的這樣嗎？借助大屏幕驗證一下.

（課件演示：4等份、8等份、16等份、32等份所拼成的近似平行四邊形）

師：觀察這四種分法，比較一下，同樣大小的圓平均分的份數不同，拼出來的圖形有什么變化？

生：平均分的份數越多，邊就越直.

師：如果繼續(xù)往下分，會出現什么情況？

生：繼續(xù)往下分，圖形的邊會越來越直，拼成后圖形的面積會越來越接近圓的面積. （課件相應出現省略號，造成學生的視覺沖突，想象無限分割的情景）

教學過程中，把圓由4等份至32等份，使學生在觀察比較中直觀感受“化曲為直”“化圓為方”的過程. 從“分的份數越來越多”到“這樣一直分下去”的過程就是“無限”的過程，“圖形就真的慢慢變成了長方形”就是收斂的結果. 使學生經歷了從無限到極限的過程，體驗知識產生、形成的過程，積累活動經驗，并通過省略號引導學生觀察，在有限分割的基礎上想象它們的極限狀態(tài)，感受無限逼近的極限思想，由此發(fā)展學生的形象思維、抽象思維、邏輯思維.

三、在實踐操作中，體驗解決問題方法的多樣化

新課標理念倡導，讓學生經歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗解決問題方法的多樣性，掌握分析問題和解決問題的一些基本方法. 本課從“問題情境—建立模型—求解驗證”的過程中，引導學生通過發(fā)現問題，大膽猜想，實踐操作，使學生在剪一剪、拼一拼的學習活動中，經歷把圓面積轉化為已學過的長方形、平行四邊形、梯形、三角形的面積，從中感受數學學習“殊途同歸”之奧妙所在，體會解決問題方法的多樣化.

教學回放3：圓的面積計算有別的推導方法嗎？

師：圓的面積計算有別的推導方法嗎？

（展示學生拼成的圖形，借助多媒體課件，匯總各種推導方法）

課件演示：

第一種方法：16等份圓拼成近似成長方形.

① 拼成的圖形是長方形嗎？（是近似的長方形，因為它的上下兩條邊不是線段）

② 圓和近似的長方形有什么關系？（形狀變了，面積相等）

③ 近似長方形的長相當于圓的哪一部分？怎樣用字母表示？圓周長的一半， = πr，它的寬是圓的哪一部分？（半徑r）④ 你能推導出圓的面積計算公式嗎？

師生共同整理：（板書）

第二種方法：16等份圓拼成近似平行四邊形.（匯報過程略）

第三種方法：16等份圓拼成近似等腰梯形.

梯形的面積 = （上底 + 下底） × 高 ÷ 2

第四種方法：16等份圓拼成近似等腰三角形.

三角形的面積 = 底 × 高 ÷ 2

師：如果把圓無限等分下去，用n表示份數，那么利用三角形面積推導圓的面積還能成立嗎？（借助課件，引導學生驗證）

師：當把圓平均分成n個三角形，每個三角形的面積即 × r ÷ 2，則n個三角形的面積就是圓的面積.

數學學習活動是學生自主建構數學知識的活動. 教學中應跳出認知技能的框框，不把基本知識的獲得當成唯一目標，而應關注學生的學習過程，讓學生在自主體驗中實現發(fā)展性的領域目標. 通過引導把圓拼成學過的不同圖形，并找出轉化后的圖形與圓的面積的關系，在觀察、猜想、操作、驗證等數學活動中，讓學生體會解決問題方法的多樣化，豐富學生實踐活動經驗，使學生感受數學學習之奧妙所在.

總之，一個數學思想的形成要需要經歷一個從模糊到清晰、從理解到應用的長期發(fā)展過程，需要在不同的數學內容教學中通過提煉、總結、理解、應用等循環(huán)往復的過程逐步形成，學生只有經歷這樣的學習過程，積累了一定的活動經驗，才能逐步悟出數學知識、技能中蘊含的數學思想.

【參考文獻】

[1]義務教育數學課程標準（2011年版）.第45，46頁.

[2]義務教育數學課程標準（2011年版）.解讀版，第270頁.