使用JAVA計算微積分的一種創新方法及其應用

周啟楠

【摘要】這篇論文說明了一種JAVA在微積分計算中的創新方法及其應用。

【關鍵詞】JAVA;積分;微分;微積分;向量;極限;求和

一、介紹

JAVA這種方法在定積分的上下限過大時，電腦的運算速度會大大減慢，而且精度也會有一定的損失。所以，我提供了一下一種用JAVA計算微積分的創新方法，以克服這些傳統方法所存在的缺點。

二、微分

在解決上述存傳統方法中的問題之前，我們應該先要知道導數的定義。“The derivative of f at x is given by

provided the limit exists.For all x for which this limit exists，fis a function of x”[4]，也就是說在x值所對應一個函數f上的點的導數為：

我們都知道，在定義中，我們必須要有兩個點來計算一階導數。

在傳統方法中我們用的是點（x，f（x））和點（x+h，f（x+h）），且要求h要盡可能地接近于0。

下一步就是研究為什么傳統方法在x很大時會失去精度。事實上，當x增加時，一個函數的斜率也會增加。所以當x很大時，斜率的值也會變得非常的大。一個很大的斜率就意味著一個很大的rate of change。也就是說，一個x值很小的改變都會引起在y值上很大的改變，進而產生了更大的斜率。與傳統方法相比，這種方法更精確。下面我們來討論這個現象的主要原因。我們再拿點（1，f（1））作例子。很明顯可以發現，連接點（1-h，f（1-h））和（1+h，f（1+h））的直線平行于點（1，f（1））的切線，但是連接點（1，f（1））和（1+h，f（1+h））的直線不平行于點（1，f（1））的切線。所以，連接點（1-h，f（1-h））和（1+h，f（1+h））的直線的斜率與切線的斜率更接近。所以，這種新方法或更正確。

以下是對這觀點的證明。我們再以為例子。不過與上次不同的是，這次中的差由使用symmetric difference quotient所得出的，而不用Newtons difference quotient。

我們這里用的是實際值和理想值的差表示電腦計算的誤差。我們都可以看到，我們成功地控制了誤差，使得誤差保持在0.0001。但當x=1000，好像這個差變為了0。但是，在這里這個誤差仍是0.0001。在這里，其實是因為實際值很大，所以0.0001與實際值比起來很小，所以由于計算自身的原因，這一點小誤差就被電腦省略了。

所以，現在在計算微分的時候還是有一些誤差的。我們還需要更精確點。

為了更進一步地提高準確度，我們還需要調試h的值。h的值越小，兩點越近。兩點越近，結果就越準確。

當h=0.0000000001時，結果是300。這看起來，已經把誤差消除了。但事實上，誤差還在，只是太小了，電腦自動把它忽略了。所以h的最佳值為0.0000000001。

三、積分

在解決上述存傳統方法中的問題之前，我們應該先要知道定積分的定義。“If f is defined on the closed interval [a，b] and the limit of Riemann sums over partitionsexists，...the limit is denoted

by.The limit is called definite integral.”[8]

也就是說定積分實際上是無數個寬為h（h趨近于0）和長為f（x）的面積之和。

基于這個概念，傳統方法也就產生了。以right Riemann sum of rectangles方法為例，我們把要積分的區域分成很多小小的矩形。然后，我們把它們依次加起來，這樣就能得到一個與積分值相近的一個值了。

下一步就是研究為什么傳統方法在上下限很大時會變得很慢。

讓我們再以right Riemann sum of rectangles方法為例。正如我們在之前提到的，為了計算定積分，傳統方法要先計算這些小矩形的面積和。為了使結果有較高的精度，每一個小矩形都要很小很小，以至于計算一次定積分所用的小矩形會很多很多。

不幸的是，這個想法不能很好地運用到JAVA中。在JAVA中計算就和的常用方法是創造一段for-loop。在for-loop里面，電腦先把頭兩項相加，然后拿這兩項的和去加第三項，以此類推。所以，矩形越多，計算機就會有越多的計算步驟。

當矩形的數量或者說是上下限的值非常大時，計算機計算的次數就非常多，以至于計算速度大大減慢。

仍以為例，來證明我們這個想法。

很明顯我們可以發現，當矩形的數量增加時，電腦所花在計算上的時間也變大了。當上下限的差增加時，時間也增加了。

所以，我們要尋找一個更好的計算定積分的方法，最好能在很大程度上較少for-loop的執行次數或者甚至不用循環。

所以，我提供了一種新方法，這種方法不會要就太多的循環次數，有時以至于不會有循環產生。讓我們來看看這個方法。

在解釋方法之前，我們先來研究一種特殊的函數一一二次函數，來看看我們有什么很好的方法去計算二次函數的定積分。我們來介紹一個計算二次函數定積分的規律。“If，then”.[9]

這是一個計算二次函數非常好的方法，因為我們不需要為了計算定積分而使用傳統方法中的求和。我們只用把公式代入，計算一次就可以了。所以，也就不需要有for-loop了。所以，這種方法會有更快的執行速度。

我們比較下兩種方法。仍以為例。

很明顯，新方法的計算速度更快。

上述的規律是Simpsons Rule的基礎，Simpsons Rule同樣也是一個計算積分的很好方法。“Let f be continuous on [a，b] and let n be an even integer.Simpsons Rule for approximating the integral of function f（x） is：”.[10]

也就是說，如果說把任意一個函數分成n份，那么其函數的定積分值就滿足這個公式。

四、總結

有了這樣高的精度和效率，這段代碼和這個方法能運用到很多不同的領域，尤其是物理，數學和工程。在這些領域里，這個新方法可以提高計算的效率，也可以使測量更加精確。

參考文獻

[1]http：//en.wikipedia.org/wiki/Numerical_differentiation.

[2]Bock D.，M.S & Hockett O.S.，M.A.，Barrons AP Calculus 11th Edition，World Book Edition Cooperation，page 257-259.