洛倫茲混沌系統(tǒng)的電路仿真與設(shè)計(jì)

王玉璞

【摘 要】本文基于Lorenz混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，利用Matlab軟件中的simulink模塊搭建方程進(jìn)行仿真，并將Lorenz方程進(jìn)行標(biāo)度變換為一個(gè)新的標(biāo)準(zhǔn)方程，使用Mutisim軟件進(jìn)行電路設(shè)計(jì)與模擬，得到了理想的結(jié)果。

【關(guān)鍵詞】Lorenz混沌系統(tǒng)；Matlab仿真；模擬電路設(shè)計(jì)

0 引言

混沌系統(tǒng)對(duì)初始值非常敏感，并且具有類隨機(jī)性，可控及同步性。近年來(lái)，混沌保密通訊、混沌電路及加密發(fā)展成為一個(gè)前沿領(lǐng)域。混沌加密等應(yīng)用問(wèn)題首先要解決的問(wèn)題即混沌電路的設(shè)計(jì)。本文基于Lorenz混沌系統(tǒng)，分析其基本特性，并進(jìn)行了電路仿真及模擬電路的設(shè)計(jì)。

1963年著名的氣象學(xué)家E.N.Lorenz研究大氣熱對(duì)流運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)現(xiàn)了一種特殊的混沌現(xiàn)象，即蝴蝶效應(yīng)。Lorzen吸引子是目前文獻(xiàn)記載最早的奇怪吸引子，因此Lorenz也被成為“混沌之父”。至今， Lorzen系統(tǒng)族的發(fā)展雖然有很長(zhǎng)的歷史，但是Lorzen系統(tǒng)族豐富的動(dòng)力學(xué)行為依然值得更加深入的研究，并進(jìn)行更多的應(yīng)用發(fā)展。

lorenz系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為：

■=-σx+σy■=-y+rx-xz■=-bz+xy （1）

式中，x，y和z表示對(duì)流強(qiáng)弱，水平溫差和與溫差有關(guān)的變量；σ、γ和b則分別為Rayleigh數(shù)、Rayleigh數(shù)和容器大小有關(guān)的參數(shù)。當(dāng)σ =10，b=8/3，γ=28時(shí)，lorenz系統(tǒng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。

1999年，我國(guó)學(xué)者陳關(guān)榮等人提出了一個(gè)新的混沌吸引子，即Chen吸引子，它的動(dòng)力學(xué)方程為：

■=a（y-x）■=（c-a）x-xz+cy■=-bz+xy （2）

當(dāng)a=35，b=3，c=28時(shí)，Chen系統(tǒng)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象。

2002年，呂金虎提出了LU系統(tǒng)，它的動(dòng)力學(xué)方程為：

■=a（y-x）■=-xz+cy■=xy-bz （3）

當(dāng)a=36，b=3，c=20時(shí)，LU系統(tǒng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。

這三個(gè)系統(tǒng)具有類似卻不相同的動(dòng)力學(xué)行為，被稱為L(zhǎng)orzen系統(tǒng)族[1]，它對(duì)于混沌系統(tǒng)的理論研究以及控制、同步、加密應(yīng)用等都具有重要的意義。

1 Lorenz系統(tǒng)的Matlab仿真

Lorenz系統(tǒng)的參數(shù)取固定值，σ=10，b=8/3，r=28，動(dòng)力學(xué)方程為：

■=-10x+10y■=-y+28x-xz■=-8/3z+xy （4）

根據(jù)公式（4）提供的Lorenz系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，利用Matlab軟件進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖1所示。

2 Lorenz動(dòng)力學(xué)方程的改進(jìn)

由圖1的仿真結(jié)果觀察得到，x軸范圍為-30V～30V，y軸范圍為 -30V～30V，z軸范圍為0～50V。而一般運(yùn)算放大器較好的線性工作范圍是-10V～+10V，由此可見(jiàn)，沒(méi)有經(jīng)過(guò)變形的Lorenz混沌系統(tǒng)不能采用模擬電路來(lái)實(shí)現(xiàn)的。這也是Lorenz混沌系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)電路的關(guān)鍵原因。下面將Lorenz動(dòng)力學(xué)方程的參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，使各個(gè)輸出端工作范圍限制在-10V～+10V[2-3]。

引入三個(gè)全新的變量：

u=■，v=■，w=■ （5）

由相圖可知，x在變化幅度為-30V～30V，取u=■后，u變化范圍是-3V～3V。y軸范圍為-30V～30V，取v=■后，v變化范圍是-3V～3V。z軸范圍為0～50V，取w=■后，w變化范圍是0V～3V，均滿足電路要求的動(dòng)態(tài)范圍。

以u(píng)、v、w三個(gè)變量表示的Lorenz動(dòng)力學(xué)方程為：

■=σ（v-u）■=ρu-v-20uw■=5uv-βw （6）

既得改進(jìn)后的Lorenz動(dòng)力學(xué)方程。將變量u、v、w還原為x、y、z，

■=σ（y-x）■=ρx-y-20xz■=5xy-βz （7）

改進(jìn)后Lorenz系統(tǒng)電路輸出幅值范圍滿足實(shí)際電路要求幅值范圍。其中xy乘積項(xiàng)顯示的范圍是近-4V～4V，xz乘積項(xiàng)顯示的范圍是近-4V～4V，yz的乘積項(xiàng)顯示的范圍是近0V～50V。因此，各參數(shù)幅值范圍均在-10V～+10V。經(jīng)過(guò)標(biāo)度變換后，新的動(dòng)力學(xué)方程完全可以符合電路設(shè)計(jì)的要求。

3 Lorenz系統(tǒng)的模擬電路設(shè)計(jì)

由改進(jìn)的Lorenz動(dòng)力學(xué)方程，建立Multisim仿真模型，經(jīng)過(guò)計(jì)算確定所需要的電路器件及其參數(shù)。該仿真模型使用8個(gè)模擬運(yùn)算放大器，2個(gè)模擬乘法器。通過(guò)運(yùn)算放大器，電容及電阻搭建電路實(shí)現(xiàn)了三個(gè)積分器U2、U6、U8，它們的的輸出端分別是X，Y，Z。乘法器A1輸出端XZ，乘法器A2輸出端是XY，R1=R2=R3=R4=R6=R7=R8=R10=R11=R14 =R15=R16=R17=10k， R5為13k， R9為200k， R13為200k， R18為20k，R20為50k， R21為91k， R12和R19為10k電位器，C1和C3為100nf， C2為910nf。Lorenz系統(tǒng)模擬電路如圖2所示，仿真結(jié)果如圖3所示， 得到了理想的仿真效果。

圖2 改進(jìn)后 Lorenz系統(tǒng)模擬電路

【參考文獻(xiàn)】

[1]黃永念.非線性動(dòng)力學(xué)引論[M].北京：北京大學(xué)出版社，2010.

[2]康大偉.洛倫茲混沌電路元件值與混沌圖形研究[J].福州大學(xué)報(bào)，2002，30（1）：43-47.

[3]賈紅艷.混沌與超混沌系統(tǒng)模型分析及模擬電路研究[D].天津：南開(kāi)大學(xué)信息技術(shù)科學(xué)學(xué)院，2010.

[責(zé)任編輯：丁艷]