基礎數學知識在傳熱學教學中的應用

摘要：“傳熱學”是能源動力類專業的專業主干課，在后期專業課的學習過程中起到很重要的作用。研究數學知識在“傳熱學”中的應用，加強數學知識與傳熱學知識的聯系，加強對傳熱學知識的認識與把握，能夠很好地提高傳熱學課程的學習效果。

關鍵詞：傳熱學；基礎數學；教學效果

中圖分類號：G642.0 文獻標識碼：A 文章編號：1007-0079（2014）12-0088-02

傳熱學是能源與動力工程專業和建筑環境與設備工程專業的專業主干課，是研究熱量傳遞規律的科學，為能源工程、動力工程、機械工程、化學工程、航空航天工程、建筑設備工程等多個專業的發展奠定了基礎。通過傳熱學的學習，使學生掌握熱量傳遞的基本規律和分析方法，熟悉傳熱學在生產技術領域中的廣泛應用及研究成果的關鍵作用，為專業課程的學習，專業技術領域中的熱量傳遞過程的研究建立理論基礎，培養學生分析、解決實際工程傳熱問題的能力。

一、基礎數學知識在傳熱學中的體現

進行傳熱學的學習之前，需要先修“高等數學”、“大學物理”、“工程熱力學”、“工程流體力學”等課程。筆者在給中國礦業大學應用技術學院二學位的學生進行傳熱學講授時，發現很多學生高等數學知識薄弱。有少數學生是文科生，沒接觸過高等數學，需要在課上講授時先講解一些基礎數學知識做鋪墊，才能使得學生更好地理解傳熱學的知識。但是這樣浪費了課上時間，導致進行習題練習及引申內容的時間較少，所以有必要研究基礎數學知識在傳熱學中的體現與應用。

1.換熱器的效能與極限

換熱器是工程技術中廣泛采用的冷熱流體交換熱量的設備。換熱器中的換熱過程涉及熱傳導、熱對流和熱輻射三者基本傳熱方式。設計計算和校核計算是換熱器熱計算的兩種基本類型，二者最大的差別是已知條件中是否已知KA。換熱器的基本熱設計方法包括兩種，一種是平均溫差法（LMTD法），另一種是效能-單元數法（ε-NTU法），這兩種方法在換熱器的熱設計中各有各的優勢。[1]ε-NTU法在校核計算中，為了算出NTU，同LMTD法一樣，也需要假定溫度來獲得k，但假設的流體溫度與真實溫度的偏差大小對k的影響是通過定性溫度來體現的，顯然遠不如對熱平衡熱量或平均溫度影響那么大，從這個意義上來說，ε-NTU法有一定優越性。

換熱器效能的定義式如下：，表征的是冷流體或熱流體在換熱器中的實際溫差中的最大值與流體在換熱器中可能發生的最大溫差值的比值，即表征了換熱器的實際效果與最大可能的換熱效果之比。

函數的極限指的是在自變量的某個變化過程中，如果對應的函數值無限接近于某個確定的數，那么這個確定的數就叫做在這一變化過程中函數的極限。[2]

換熱器的一種特殊情況是當冷、熱流體的水當量二者幾乎相等時，可用極限的知識來表達換熱器的效能，即。此時順流換熱器的效能計算較容易，但逆流換熱器的效能計算比較復雜，需要用到，其中在效能計算過程中。

在課堂上講解換熱器效能時，要指導學生利用正確的極限計算方法，而不能想當然地將帶入分母中，而得出，進而得出錯誤的結論。因為效能代表的是換熱器的實際換熱效果與最大可能的換熱效果之比，代表最理想的換熱情況。顯然冷、熱流體的水當量近似相等并不是理想換熱器的充分條件，并不能通過冷、熱流體水當量近似相等而推導出換熱器效能等于1。換熱器的換熱條件與換熱器的形式、污垢熱阻情況、冷熱流體流動形式、換熱面積、水當量比值等多種條件有關。在教學過程中，要使學生充分認識到這一點。

2.對數平均溫差與積分

在換熱器中，熱流體沿程放出熱量，溫度不斷下降，冷流體沿程吸熱，溫度不斷上升，而且冷、熱流體間的溫差沿程不斷變化的。所以，當利用傳熱方程式來計算整個傳熱面上的熱流量時，要使用整個傳熱面積上的平均溫差。對數平均溫差的物理意義是在整個換熱器面積上的積分平均值，在冷、熱流體溫度的變化圖上代表溫度變化曲線之間的面積。在課堂講解對數平均溫差時，應利用定積分的知識使學生深入理解對數平均溫差的物理意義，并討論逆流的對數平均溫差與順流的對數平均溫差的大小關系，逆流換熱器與順流換熱器的換熱強度關系。

3.傅里葉定律與矢量

熱傳導是熱量傳遞的三種基本方式之一，是指物體各部分之間不發生相對位移時，依靠分子、原子及自由電子等微觀粒子的熱運動而產生的熱能傳遞。進行熱傳導計算的基本定律是傅里葉定律，即在導熱過程中，單位時間內通過給定截面的導熱量，正比于垂直該截面方向上的溫度變化率和截面面積，而熱量傳遞的方向則與溫度升高的方向相反。客觀世界中有這樣一類量，它既有大小，又有方向，例如物理學中的位移、速度、加速度、力、力矩等，這類量稱為矢量。在等溫面上某點，以通過該點最大熱流密度的方向為方向，數值上等于沿該方向的熱流密度的矢量即為熱流密度矢量，簡稱熱流矢量，其他方向的熱流密度都是熱流矢量在該方向的分量。溫度梯度也是矢量，其方向與熱流密度矢量的方向相反。

在進行熱傳導的講解過程中，要將矢量的概念引入傅里葉定律的介紹，使學生真正了解溫度梯度、熱流密度矢量、傅里葉定律的物理意義。

4.邊界條件與解的數目

為了利用傳熱學知識，獲得導熱物體的溫度場，需要列出導熱微分方程和定解條件。導熱微分方程包括能量守恒定律和傅里葉定律；定解條件包括物理條件、幾何條件、初始條件和邊界條件。物理條件和幾何條件隱含在導熱微分方程的列出中，初始條件只出現在非穩態導熱問題中，邊界條件在穩態導熱和非穩態導熱問題中都需要明確知道。

導熱問題的常見邊界條件分為以下三類：第一類邊界條件規定了邊界上的溫度值，即狄里克萊（Dirichlet）條件；第二類邊界條件規定了邊界上的熱流密度值，即諾依曼（Numann）條件；第三類邊界條件規定了邊界上物體與周圍流體間的表面傳熱系數h及周圍流體的溫度tf，即洛平（Robin）條件。

很多文獻均給出了左右邊界條件均為第一類邊界條件情況時的溫度分布，[1]但是并不是所有邊界條件的隨機組合都有解的存在，并且是唯一的解。在求解過程中，不同邊界條件組合的求解區別在于確定積分常數c1，c2所利用的條件不同。從物理意義上講，物體具有穩態溫度分布的條件是：在有內熱源的條件下，單位時間內在全部邊界條件下流出的熱量應等于物體內部發出的熱量；在無內熱源的條件下，在全部邊界上流出的總熱量應等于0。

若穩態導熱問題的全部邊界條件都以第二類邊界條件給定時，當不滿足上述穩態溫度分布條件時，則問題導熱問題無解，當滿足時，無唯一解，而是有無窮多解。原因是因為第二類邊界條件本質給出的是邊界位置的溫度梯度值，也就是溫度對長度的導數。如果只給導數的話，積分后會多出一個常數c，有解的話，解是不唯一的，而是無窮多，即如果為這一傳熱問題的解的話，則也是這一問題的解。當無內熱源、穩態條件下，左邊流入系統的熱量為50W，右邊流出系統的熱量為，此時這一傳熱問題無解。

這里只是以第二類邊界條件為例來說明不同邊界條件隨機組合解的數目問題，在課堂教學過程中，應使學生明確不同的邊界條件對傳熱問題解的存在性與唯一性的影響，更深入地理解什么情況下能得到有明確物理意義的溫度場。

5.差分與微分

對導熱微分方程在特定的定解條件下進行積分求解，得出的解稱為分析解。對于幾何形狀和邊界條件簡單的問題能夠獲得分析解。但是，對于工程中遇到的許多幾何形狀或邊界條件復雜的導熱問題，由于數學上的困難目前還無法得出分析解。近幾十年來，計算機技術的迅速發展，離散求解的數值方法在數學物理問題中的應用越來越多。數值方法包括有限差分法、有限元法和邊界元法等，其中有限差分法概念明確、實施方法簡單。

利用泰勒級數展開法獲得一階、二階導數的常用差分形式的方法在很多書籍中都有詳細的論述。[3]

在課堂教學過程中，應使學生深入了解泰勒級數展開在傳熱學數值方法中的應用，以免造成學生對傳熱學數值計算方法與數學知識關系理解的缺失和不足。

二、基礎數學知識滲透入傳熱學教學中

傳熱學知識與基礎數學知識聯系緊密，在學習與講授過程中應將數學知識融入傳熱學知識中去，使學生詳細掌握與傳熱學知識相關的基礎數學知識背景。

1.課前準備階段

傳熱學是能動專業的專業基礎主干課，也是其他專業課的基礎，所以學生學習及教師講授過程都應提起重視。在傳熱學的備課階段，抓住欲講章節的主要傳熱學知識，充分準備與欲講章節相關的基礎數學知識，將這部分內容放在這一節課的ppt的前面中或通過板書的方式呈現出來，利用板書應設計好板書的內容及前后連貫性。

2.課堂講授階段

在傳熱學的課堂教學過程中，將基礎數學知識與傳熱學知識緊密聯系，講新的傳熱學概念、公式、理論等知識之前，先講基礎數學知識，作為傳熱學知識的鋪墊，必要時可讓學生自己推導，加深印象，以達到促進學生理解，提高教學效果的目的。由于傳熱學知識點較多，公式較多，學生需要具備自己推導公式的能力。

3.課后答疑階段

課上時間畢竟有限，對于理解困難的概念、公式等，學生在課上時間不一定能完全掌握新知識，課堂講授結束后，學生課下消化吸收，不懂的問題課后進行答疑。答疑期間，保證學生將基礎數學知識與傳熱學知識融會貫通。

三、結論

傳熱學作為能源動力類專業的一門基礎專業主干課，地位十分重要，起到聯系基礎知識與專業課程知識的作用。提高課堂教學效果，加強學生理解能力是傳熱學教學過程中的一個重要問題。筆者根據傳熱學教學過程中的體會，提出了將基礎數學知識應用到傳熱學教學過程中的方法。這種方法可加強學生對傳熱學知識的充分認識和理解，調動學生的學習積極性和能動性。

參考文獻：

[1]楊世銘，陶文銓.傳熱學[M].第四版.北京：高等教育出版社，2006.

[2]同濟大學數學系.高等數學[M].第六版.北京：高等教育出版社，2007.

[3]陶文銓.數值傳熱學[M].第二版.西安：西安交通大學出版社，2008.

（責任編輯：王意琴）