深埋馬蹄形隧道開(kāi)挖圍巖應(yīng)力與位移的復(fù)變函數(shù)解

摘要：利用復(fù)變函數(shù)解法中的柯西積分法，求解工程中常用的單心圓仰拱馬蹄形隧道在彈性半空間內(nèi)任意一點(diǎn)處的應(yīng)力值和位移值解析解表達(dá)式。由于是深埋隧道，且埋深與孔徑之比較大，故不考慮重力梯度影響，直接把重力作用化為無(wú)限遠(yuǎn)處作用有P1、P2的外載；求解出馬蹄形隧道孔洞在彈性半空間內(nèi)任意一點(diǎn)處的應(yīng)力值和位移值解析解表達(dá)式。結(jié)合典型斷面，利用三維有限元分析軟件MADIS/GTS建立二維平面應(yīng)變模型，對(duì)理論推導(dǎo)單心圓馬蹄形隧道在彈性平面內(nèi)的解析解公式進(jìn)行驗(yàn)證。分析表明，有限元結(jié)果和解析解結(jié)果有較好的吻合性，證明了新方法的準(zhǔn)確性，針對(duì)深埋馬蹄形隧道開(kāi)挖工程，可以快捷地評(píng)估圍巖應(yīng)力狀態(tài)及位移變形。

關(guān)鍵詞：復(fù)變函數(shù)法；柯西積分法；最優(yōu)化理論；隧道；解析解

中圖分類號(hào)：TU457

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：16744764（2014）01010105

地下工程穩(wěn)定性分析和設(shè)計(jì)中，經(jīng)常遇到可假定為平面應(yīng)變問(wèn)題的單洞及多洞問(wèn)題。1920年，Jeffery[1]利用雙極坐標(biāo)法給出了圓形洞室的平面應(yīng)力和應(yīng)變的解答，但其解是建立在一些限制條件基礎(chǔ)上的，過(guò)程繁瑣且未能給出位移邊界條件下該問(wèn)題的解答。Mindlin [23]同樣采用雙極坐標(biāo)解法，在應(yīng)力勢(shì)函數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程中加入了介質(zhì)所受的重力場(chǎng)和初始應(yīng)力場(chǎng)，從滿足隧道周邊的無(wú)法向和切向應(yīng)力條件開(kāi)始，提取出包括擴(kuò)開(kāi)挖體重量的應(yīng)力勢(shì)函數(shù)，然后為了滿足位移單值和水平向無(wú)法向和切向應(yīng)力邊界條件采用試湊的辦法開(kāi)展一系列工作，由于雙極坐標(biāo)法本身的局限性最終仍然未能給出位移場(chǎng)的公式；雙極坐標(biāo)法一般只求得一些簡(jiǎn)單孔洞的應(yīng)力場(chǎng)，不能給出位移場(chǎng)。且當(dāng)孔洞距離地表較近時(shí)，雙極坐標(biāo)法往往給出錯(cuò)誤的數(shù)值計(jì)算結(jié)果，從而迫使專家學(xué)者們尋求到解決固定邊界條件下半空間含括一個(gè)孔洞問(wèn)題的另外一種更重要的方法，即復(fù)變函數(shù)法。自1777年Euler首創(chuàng)虛數(shù)單位符號(hào)“i”，并系統(tǒng)地建立復(fù)變函數(shù)理論以來(lái)[4]，到20世紀(jì)復(fù)變函數(shù)已經(jīng)形成了非常系統(tǒng)的理論，并已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用到彈性力學(xué)領(lǐng)域，如徐芝綸[5]、Timoshenko等[6]、Muskhelishvili[7]、路見(jiàn)可[8]等的力學(xué)專著中都有相關(guān)論述。復(fù)變函數(shù)求解單孔洞問(wèn)題可以歸結(jié)為2種方法：柯西積分法和解析延拓法。

施有志，等：深埋馬蹄形隧道開(kāi)挖圍巖應(yīng)力與位移的復(fù)變函數(shù)解

Verruijt[9]采用柯西積分法對(duì)半平面含括單個(gè)孔洞的問(wèn)題作了一系列研究。1997年他給出了滿足水平面無(wú)法向和切向應(yīng)力的第一邊界條件和孔洞周邊的位移可展開(kāi)成映射后域內(nèi)單位復(fù)數(shù)的冪級(jí)數(shù)形式的第二邊界條件的解的遞推公式，給出了洞室周邊均布位移條件下解的遞推公式。1998年Verruijt[10]給出了滿足水平面無(wú)法向和切向應(yīng)力的第一邊界條件、孔洞周邊的應(yīng)力可展成單位復(fù)數(shù)的冪級(jí)數(shù)形式的第一邊界條件的解的遞推公式，并給出了洞室周邊在均布法向應(yīng)力條件下的精確解。但Verruijt的工作僅局限于簡(jiǎn)單形狀（圓形、橢圓形）的隧道。陳子蔭[11]，呂愛(ài)鐘[12]用柯西積分法求解出了任意形狀孔洞在半空間的應(yīng)力解和位移解，但他們的模型邊界條件沒(méi)有考慮隧道實(shí)際施工情況，沒(méi)有考慮隧道開(kāi)挖過(guò)程中襯砌力對(duì)圍巖的影響，且因其解的表達(dá)式復(fù)雜，僅給出了解的隱式表達(dá)，對(duì)于工程問(wèn)題中常用的均為復(fù)雜的孔口問(wèn)題（如馬蹄形斷面孔口）并沒(méi)有給出確定的顯式表達(dá)。王志良[13]、張頂鋒[14]、晏莉等[15]的推導(dǎo)，則直接將隧道簡(jiǎn)化為圓形。童磊[16]推導(dǎo)了圓形隧道基于任意襯砌變形邊界條件的復(fù)變函數(shù)彈性解，來(lái)預(yù)測(cè)軟土中隧道開(kāi)挖時(shí)短期地表豎向沉降與側(cè)向位移。筆者在呂愛(ài)鐘等[12]的研究基礎(chǔ)上，利用復(fù)變函數(shù)中的柯西積分法求解工程問(wèn)題中常用的單心圓仰拱馬蹄形隧道在二維平面彈性半空間內(nèi)任意一點(diǎn)處的值和位移值解析解；結(jié)合馬蹄形隧道的典型斷面，采用有限元數(shù)值分析來(lái)檢驗(yàn)解析解精度，驗(yàn)證了結(jié)果的精確性。

1馬蹄形隧道開(kāi)挖的柯西積分法求解

地下洞室埋置深度與孔徑比較大時(shí)，可不考慮重力梯度的影響，把重力作用化為無(wú)限遠(yuǎn)處作用有P1、P2的外載來(lái)求解，圖1給出了z平面半無(wú)限空間單心圓仰拱隧道馬蹄形的構(gòu)形，圖2為通過(guò)復(fù)變函數(shù)中保角映射后把z平面單心圓仰拱馬蹄形外隧道域轉(zhuǎn)化為ξ平面單位圓外域后的情況，其中P1、P2表示無(wú)窮遠(yuǎn)處水平原巖和豎向原巖的應(yīng)力值。