用換元法解一元多次方程的探索

【摘要】在用換元法解一元二次方程的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步講解用換元法解一元三次方程和一元四次方程的通用公式，拓寬學(xué)生的知識面，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的興趣。

【關(guān)鍵詞】一元二次方程一元高次方程配方法換元法

【中圖分類號】G【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2014）06B-0072-02

一元二次方程是中學(xué)數(shù)學(xué)教材中十分重要的一個章節(jié)，這個章節(jié)屬于數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的知識。在此之前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了一元一次方程及整式的平方、開方、因式分解等，已經(jīng)具有了比較好的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。本節(jié)內(nèi)容是學(xué)生學(xué)過的一元一次方程的延續(xù)和拓展，又是后續(xù)研究高次方程的基礎(chǔ)，也是為以后學(xué)習(xí)一元二次函數(shù)和一元二次不等式做準(zhǔn)備，起著承上啟下的作用。因此，在方程研究中，占據(jù)重要的不可替代的地位。

配方法是數(shù)學(xué)解題中的一種非常重要的方法。用此方法解一元二次方程簡單、有效，而且學(xué)生也容易掌握，但是這種方法對于一元三次方程或更高次方程來說不適用，因此學(xué)生也就喪失了進(jìn)一步探索的興趣。因此，在中學(xué)的一元二次方程的教學(xué)中，很有必要引入一種新的方法來彌補這一缺點，這也就是這篇論文的目的。

本文所講的換元法不僅僅可以求解一元二次方程，而且對三次、四次方程也適用，使三次、四次方程的求解有一種固定的模式。這對于學(xué)有余力的同學(xué)來說，發(fā)展他們進(jìn)一步探索數(shù)學(xué)的能力是有幫助的。我們注意到一般的五次或者高于五次的方程，沒有公式可以求解。因此，本文也只適用于三次、四次方程，但是可以簡化一般的高次方程（包括五次及其以上的方程），只是得不到公式解而已。

一、換元法求解一元二次方程

對于一般的一元二次方程，為了簡化計算，我們假定其系數(shù)為二項式系數(shù)

（1）

如果方程的一次項系數(shù)變?yōu)?，那么直接開平方即可。因此，我們的目標(biāo)是使用線性變換讓其一次項系數(shù)變?yōu)?。作如下的線性變換：

（2）

其中待定。當(dāng)然此變換并不改變方程的次。從而（1）式就變成了

（3）

定義待定的，使得b-=0，即=b。因此，變換

（4）

使方程（1）變成下面的方程

（5）

兩邊直接開方就得到了一元二次方程（5）的解為（注意，我們在復(fù)數(shù)域范圍內(nèi)考慮根的情況），從而方程（1）的兩個解是。

注1：便于在解一元三次和四次方程的時候有規(guī)律可尋，我們建議用以下的方式解方程（5）。

設(shè)方程（5）有如下形式的解

（6）

兩邊平方得到，然后與方程（5）比較，可知，從而得到一元二次方程的解。

注2：如果是一般的一元二次方程，類似可以求出解。

二、換元法求解一元三次方程

現(xiàn)在我們考慮一般的一元三次方程，同樣我們假定其系數(shù)為二項式系數(shù)

（7）

經(jīng)過線性變換

（8）

使得方程（7）變?yōu)槿缦碌男问?/p>

（9）

其中

用一元二次方程中的注的方法，我們假設(shè)方程（9）的解具有如下的形式

（10）

在（10）式的兩邊立方整理得到

與方程（9）對比就可以發(fā)現(xiàn)

（11）

用韋達(dá)定理就可以得到k和l是如下的一元二次方程

（12）的根。

因此，其中的一個根，比如k，可以由公式得到。

設(shè)是三次方程的根中的任意一個值，那么的三個根是：u，u，2u。這里是單位三次方程的虛數(shù)部分，即，其形式如下：

，其中。

的平方是單位三次方根的共軛復(fù)數(shù)。

又因為所以我們得到量是。

它們可以寫成如下的形式：，其中。

從而我們就得到了方程（9）的解

（13）

其中

，

（14）

（下轉(zhuǎn)第78頁）（上接第72頁）

把（13）式代入三次方程（9），并且使用（8）我們就可以得到三次方程（7）的根。

三、等根的探索

在一元二次方程（1）中，存在等根的充分必要條件就是方程（5）變?yōu)椋础?b2-4ac=0。

在一元三次方程（7）中，存在兩個根相等的充分必要條件就是。方程（7）存在三個等根的充分必要條件是b2-ac=0，b3-a2d=0。

四、換元法求解一元四次方程

一元四次方程的求解方法與一元三次的完全類似，只是把（10）式設(shè)成為

再利用一元三次方程的現(xiàn)有的求根公式即可。

五、使用此方法的意義

用換元法求解一元二次方程并不難，學(xué)生很容易掌握。換元法是數(shù)學(xué)中非常重要的一種方法。如果我們老師在教學(xué)中使用了換元法對學(xué)生進(jìn)行教學(xué)之后（建議教材加入這一求解思想），讓學(xué)有余力的同學(xué)能按照這種方法模仿出一元三次方程，一元四次方程的解法。從而可以培養(yǎng)學(xué)生以下幾方面的能力。

1．培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的興趣。興趣是學(xué)生最重要的老師。由于我們的方法具有可模仿性，所以孩子們能夠獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)的興趣。

2．培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)一步解決問題的能力。學(xué)習(xí)了換元方法后，學(xué)有余力的同學(xué)就會想法解一元三次、一元四次方程。

3．培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的能力。只要學(xué)生掌握了一元三次、四次方程的求根公式之后，自然地就會有欲望去求解一元n次方程，尋找解題公式。這樣就培養(yǎng)了學(xué)生進(jìn)一步探索數(shù)學(xué)的能力。

4．培養(yǎng)學(xué)生勵志成為數(shù)學(xué)家的夢想。由于一元五次及以上的方程無公式解，如果學(xué)生能夠模仿得出一元三次、四次方程的公式解。一定會增強學(xué)生的求知欲，使其進(jìn)一步想得到一元五次或者n次方程的公式解。這樣就使學(xué)生有更大的挑戰(zhàn)，達(dá)到我們數(shù)學(xué)教學(xué)的最好的目的。

（責(zé)編盧建龍）