動力學中的臨界問題

【摘 要】高中物理動力學中的臨界問題是學生學習過程的難點問題，本文從幾個例子入手，介紹利用臨界條件解決動力學問題的一般方法。

【關鍵詞】動力學 臨界條件 解題方法

【中圖分類號】G【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2014）04B-0065-02

一個物理情境中往往包含幾個物理過程，這些過程并不是孤立的，而是有著緊密的聯系，物體在運動變化過程中，從一種物理狀態變為另一種物理狀態時，可能存在一個過渡的轉折點，此時所處的狀態通常稱為臨界狀態，相應的物理條件則稱為臨界條件。有些問題如果能抓住滿足臨界值的條件，準確分析物理過程就能進行求解，但這些方面往往是學生最難把握的。

在動力學的問題中，臨界問題通常具有一定的隱蔽性，解題靈活性較大，學生普遍感覺很難。在分析問題時需挖掘隱含條件，確定臨界條件，然后才能求解。利用臨界條件求解時，常用的解題方法有假設法、極限法、數學方法等。

一、假設法

假設法是一種解決物理問題的重要思維方法，在求解物體運動方向待定的問題時，它簡便易行。具體來說，在解決高中動力學過程中，如果遇到沒有出現明顯的臨界條件的線索時，可以用假設法，即人為地加上或減去某些條件，以便找出某種臨界條件，分析物體受力情況以及運動狀態與題設是否相符，從而判斷臨界條件下的物體的狀態，再根據物體的實際情況進行處理，從而化難為易，化繁為簡來進行求解。

例1 如圖1所示，輕彈簧上端固定，下端掛質量為m0的小桶，小桶中放有質量為m的木塊，靜止時，彈簧的伸長量為L，現用手向下拉小桶使輕彈簧再伸長ΔL后靜止，然后松手放開，則正確的說法是（ ）

A.剛松手瞬間小桶對木塊的彈力大小為

B.剛松手瞬間小桶對木塊的彈力大小為

C.剛松手瞬間木塊的加速度為，方向向上

D.剛松手瞬間木塊的加速度為，方向向上

【解析】常規的做法先整體（小桶和木塊）再隔離（木塊），利用平衡條件和牛頓第二定律求解，這樣做費時易錯，若用假設法求解，則能迅速選出正確選項。

假設沒有再向下拉彈簧，，此時的，由平衡條件知剛松手瞬間桶對木塊的支持力大小仍為mg，將分別代入A，B可判斷知A對B錯，又由牛頓第二定律得知，剛松手瞬間木塊的加速度方向向上，C對D錯。所以選擇AC。

【思維總結】考察學生分析物理狀態、過程，理清物理思路，建立物理圖景的能力。假設法很好地解決了某些高中物理臨界問題。

例2 一個物體沿摩擦因數一定的斜面加速下滑，下列圖象，哪個可以比較準確地描述了加速度a與斜面傾角θ的關系？

【解析】這個題目很多學生找不到突破口，不知道如何去求解。若用假設法求解，則能迅速選出正確選項。

物體加速下滑時mgsinaθ-μmgcosθ=ma，則a=gsinθ-μgcosθ，并且μ=tanθ時，a=0（靜止或者勻速）。假設：

當θ=0時，物體在水平面上，靜止a=0。

當θ=arctanμ時，a=0，物體開始勻速下滑。

當θ>arctanμ時，物體加速下滑，a>0。

當θ=90°時，斜面變成豎直面，a=g，加速度最大。

根據以上的假設及a=gsinθ-μgcosθ，可以判斷出D答案是合理的。

【思維總結】建構物理模型，物理量間的關系式，分析臨界狀態，用假設法檢驗判斷，能迅速選出正確選項。

二、極限法

運用“極限思維”來分析和推理高中動力學問題，通常是將物理狀態參量的一般變化，推理到極限值，即“最大”“最小”，從而使解題過程簡潔，解題思路清晰。恰當運用極限法，往往可以化難為易，提高解題效率。

例3 斜面傾角為θ=53o，質量為0.2 kg的小球用輕繩系在斜面頂端。小球靜止時，輕繩與斜面平行，如圖3所示，摩擦不計，當斜面以10 m/s2的加速度水平向右勻加速運動時，求輕繩對小球的彈力。

【解析】其實，仔細審題就會發現題目設問的著眼點是加速度。如果加速度a很小，小球壓緊斜面；如果加速度a很大，小球將飄離斜面。

當斜面對小球的支持力為零時，斜面的加速度為a0，對小球受力分析（如圖3-1）得mgcotθ=ma0，a0=gcotθ=7.5 m/s2。 因為10 m/s2>a0，因此小球已飄離斜面。

對小球：T2-m2g2=m2a2，解得。

【思維總結】本題的臨界條件就是小球仍與斜面接觸但與斜面間無彈力，這是解決本題的切入點，弄清了這一點一切就迎刃而解了。

例4 如圖4-1所示，A，B兩物體質量都是M，所有接觸面光滑，A，B接觸面與水平面夾角為60°，求水平力F為多少時，A與B一起運動。

【解析】很多同學用整體隔離法列方程求解，這顯然沒有抓住突破口，無法找出正確的答案。其實當推力F很小時，A，B一起勻加速運動；當F很大時，A相對B滑動。所以，本題的臨界條件就是地面對A支持力為零。

對A受力分析如圖4-2。

對整體：F=2Ma ，

對A：F=Nsin60o= Ma ，

Ncos60o-Mg=0 ，

聯立解得：。

所以F的范圍是：0

【思維總結】題中的臨界狀態就是A與地面間無彈力，這是解決本題的切入點。

三、數學方法

數學方法就是運用數學工具分析和解決物理問題的方法，常用到的數學方法有二次函數、三角函數、幾何圖形、比例、求導等。

例5 在傾角θ為30o的斜面上有一質量為m=0.4 kg的物體，物體與斜面間的動摩擦因數為，若要使物體沿斜面以a=3 m/s2的加速度勻加速向上滑動，拉力與斜面的夾角多大時F最??？F最小值是多少？

【解析】設拉力與斜面的夾角為β時，F最小。

對物體受力分析，列方程得

Fcosβ-f-mgsinθ=ma

Fsinβ+N-mgcosθ=0

f=μN

聯立得

當cosβ+μsinβ最大時，F最小。由cosβ+μsinβ=1求導得μ=tanβ，所以β=30o。

解得 F最小值。

【思維總結】運用數學的思想和方法能很好地解決一些物理實際問題，這是高中階段考查的一項重要內容，也是高中學生應該培養的求解問題的能力。

根據題目所隱含的臨界狀態條件，利用臨界點的特殊關系，可以簡捷地解決動力學上的許多問題。這也是訓練學生靈活運用物理知識求解實際問題的一種方法，是培養學生學會觀察和解決問題能力的好方法。

（責編 盧建龍）