細說垂線、垂線段、點到直線的距離

關于垂線，同學們在小學里已接觸過，但那僅僅停留在感性認識上，沒有對垂線進行概念描述. 七年級上冊教科書通過圖片及“議一議”活動，帶大家一起回憶了小學里學過的相關知識，并遵循從感性到理性的認知規律歸納了垂線的定義，進而引出垂線段、點到直線的距離等概念. 由于同學們的認識水平有限，往往會對這三個概念認識模糊，混淆不清，下面我們來一探究竟.

一、 垂線、垂線段、點到直線的距離的定義

1. 垂線的定義：如果兩條直線相交所成的四個角中有一個角是直角，那么這兩條直線就互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.

2. 垂線段的定義：垂線上一點到垂足之間的一條線段.

3. 點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度.

二、 垂線、垂線段、點到直線的距離的區別

1. 垂線是一條直線，可以向兩端無限延伸，沒有長度，垂線表示的是一個圖形.

2. 垂線段是垂線上的一條特殊的線段，是有限的一段，有長度，表示的是一個圖形.

3. 點到直線的距離是垂線上一條特殊的線段的長度，表示的是一個數量，而不是圖形.

下面我們通過圖形來分析這三個概念，如圖1所示：

直線b叫做直線a的垂線，也可以說直線a叫做直線b的垂線；線段CO叫做垂線段，同樣，線段AO、BO、DO都叫做垂線段；線段CO的長度叫做點C到直線a的距離，同樣線段AO的長度叫做點A到直線b的距離.

三、 概念辨析

1. 下列判斷錯誤的是（ ）.

A. 一條線段有無數條垂線

B. 過線段AB中點有且只有一條直線與線段AB垂直

C. 兩直線相交所成的四個角中，若有一個角為90°，則這兩條直線互相垂直

D. 若兩條直線相交，則它們互相垂直

【解析】本題應在正確理解垂直的有關概念下解題，知道垂直是兩直線相交時有一角為90°的特殊情況，反之，若兩直線相交則不一定垂直.

【正確解答】D.

2. 下列判斷正確的是（ ）.

A. 從直線外一點到已知直線的垂線段叫做這點到已知直線的距離

B. 過直線外一點畫已知直線的垂線，垂線的長度就是這點到已知直線的距離

C. 畫出已知直線外一點到已知直線的距離

D. 連接直線外一點與直線上各點的所有線段中垂線段最短

【解析】本題錯誤原因是沒有正確理解垂線段的概念及點到直線的距離的意義.

說法A是錯誤的，從直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離. 僅僅有垂線段，沒有指明這條垂線段的長度是錯誤的.

說法B是錯誤的，因為垂線是直線，直線沒有長短，它可以無限延伸，所以說“垂線的長度”就是錯誤的.

說法C是錯誤的，“畫”是畫圖形，畫圖不能得到數量，只有“量”才能得到數量，這句話應該說成：畫出已知直線外一點到已知直線的垂線段，量出垂線段的長度.

【正確解答】D.

四、 生活中的應用

通常，我們把直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做該點到直線的距離. 經過探究，我們得到一個事實：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短. 在日常生活中，解決一些實際問題時我們經常遇到它. 這樣可使有些復雜問題變得比較簡單，因此其應用較為廣泛. 接下來我給同學們舉幾個例子：

1. 如圖2，甲、乙兩名同學在測量劉佳同學的一次跳遠成績時，分別測量出DA=4.56米，DB=4.15米，AC=4.70米，則劉佳的跳遠成績應該為______米.

解：劉佳的跳遠成績應為4.15米.

因為實際生活中，測量跳遠成績都是量離踏板最近的落地點到踏板的距離，所以測量AC、DA都是錯誤的，線段DB的長度才是劉佳跳遠的正確成績. 跳遠成績的測量就是求點到直線的距離.

2. 如圖3，一輛汽車在直線形公路AB上由A地開往B地，M、N分別是位于公路兩側的村莊.

①設汽車行駛到公路AB上點P位置時，距離村莊M最近；行駛到點Q時，距離村莊N最近. 請在圖中的公路AB 上分別畫出點P和點Q的位置.

②當汽車從A出發向B行駛時，在公路AB的哪一段距離M、N兩村莊都越來越近？在哪一段路上距離村莊N越來越近，而離M越來越遠？

解：①過點M、N分別作直線AB的垂線，垂足分別為P、Q.

②當汽車從A出發向B行駛時，在公路AB的AP段距離M、N兩村莊都越來越近，在PQ段距離村莊N越來越近，而離M越來越遠.