軸向運動梁的激勵功率譜辨識

摘要：以軸向運動柔性梁為對象，采用Hamilton原理建立了軸向運動柔性梁的運動微分方程，采用復模態分析方法推導了兩端簡支梁和兩端自由梁邊界條件下的系統固有頻率方程，采用Ritz法對系統運動微分方程離散化，進行系統在外激勵作用下的響應分析，并在頻域空間導出了隨機外部激勵的功率譜與系統響應的功率譜之間的轉換關系，開展了激勵功率譜的辨識工作。仿真結果表明，本文所給方法能夠有效地對外部激勵的功率譜進行辨識。

關鍵詞：軸向運動梁；功率譜辨識；復模態分析；Ritz法；隨機激勵

中圖分類號：O326；TB123文獻標識碼：A文章編號：1673-5048（2014）04-0045-04

0引言

工程中存在著許多的軸向運動結構，例如：單索架（索道、帶鋸、動力傳送帶、導彈等等，均可以簡化軸向運動梁（弦）；這類裝置的橫向振動一般會帶來負面效果。因此研究軸向運動梁的橫向振動問題存在較大的理論意義與工程應用價值。

軸向運動梁（弦）的研究最早可以追溯到20世紀60年代。1965年，Mote[1]首先建立了軸向運動梁的數學模型，并采用Galerkin截斷法研究了簡支梁的前三階固有頻率和運動模態振型；1990年，Wicker和Mote[2]提出采用復模態分析法進行軸向運動梁的研究，并應用該方法得出了軸向運動梁的固有頻率和模態函數；2000年，Pellicano和Vestroni[3]推導了在超臨界速度范圍，簡支邊界下軸向運動梁的橫向動力學響應。國內學者也積極開展了軸向運動梁的受迫振動、非線性振動、穩定性等問題。陳立群等[4]研究了粘彈性軸向運動梁在混合邊界條件下的振動與穩定性問題；李德雙等[5]研究了軸向運動帶的橫向與縱向運動的耦合問題；王亮等[6]研究了高速軸向運動梁的模態及頻率特征；李彪等[7]研究了兩端自由邊界的軸向運動Timoshenko梁的橫向振動問題。

上述文獻中，軸向運動梁的橫向振動問題的研究多是考慮兩端簡支梁和兩端固支梁的邊界條件，較少考慮其他邊界條件；另外關于軸向運動梁的激勵功率譜辨識的研究也較少。本文依據Hamilton原理建立軸向運動柔性梁的運動微分方程，推導兩端簡支梁和兩端自由梁邊界條件下的系統固有頻率方程，采用Ritz法對運動微分方程進行離散化，研究定點隨機激勵下的功率譜辨識問題。

1動力學方程

（E為楊氏模量，I為慣性矩）本文考慮等截面柔性梁的橫向彎曲振動，如圖1所示。假定有恒定軸向運動速度v，恒定張力P，分布式外部載荷f（x，t），柔性梁截面面積為A，彎曲剛度EI，長度l。則在x方向的應變εxx為[5]

4數值仿真

數值仿真考慮兩端簡支和兩端自由梁兩種邊界條件。梁為均質鋼制材料[9]，長度L=2m，圓形截面半徑R=0.05m，材料密度ρ=7850kg/m3，彈性模量E=196GPa，梁的軸向運動速率為v=10m/s，軸向壓力P=-10kN（負號表示梁處于軸向受壓狀態）。考慮梁初始處于靜平衡狀態，梁上xf=0.4m處定點施加集中力f（t），得出點xs=1.8m處的響應，由此進行功率譜的辨識。數值仿真中，Ritz法的階數n取為10。

首先考慮兩端簡支梁邊界條件下的軸向運動梁的功率譜辨識，其響應考慮為在隨動坐標系下的響應值。在xf處施加集中載荷f（t）=[12sin（5t）+17sin（7t）+rand（t）]（N），其中rand（t）為取樣時間內的隨機載荷，其方差為1。通過對式（8）和式（10）進行迭代求解得出的前三階固有頻率分別為48.88Hz，196.07Hz，441.36Hz，而采用Ritz法計算得到的前三階固有頻率的相對誤差在10-7以內，說明Ritz法的分析是有效的。圖2為數值仿真結果，其中圖2（a）為xs處的響應，圖2（b）為施加的載荷的功率譜與辨識功率譜。由圖中結果可以看出，本文的方法能夠有效地進行定點隨機外載荷的功率譜辨識。

時間內的隨機載荷，其方差為1。通過對式（8）和式（10）進行迭代求解得出的前三階固有頻率分別為111.92Hz，306.42Hz，600.74Hz，采用Ritz法計算得到前三階固有頻率分別為110.78Hz，306.30Hz，600.72Hz，相對誤差在0.002以內，而采用Galerkin方法計算得到的前三階固有頻率分別為111.09Hz，306.32Hz，600.72Hz，對比迭代結果，Ritz法得到的結果相對誤差略小，說明Ritz法的分析是有效的。圖3為數值仿真結果，其中圖3（a）為xs處的響應；圖3（b）為施加的載荷的功率譜與辨識功率譜。由圖中結果可以看出，本文的方法能夠有效地進行定點隨機外載荷的功率譜辨識。

5結束語

本文以軸向運動梁為研究對象，采用復模態分析方法進行了梁的固有頻率分析，采用Ritz法建立了梁的運動數值分析模型，并基于此導出了定點載荷的功率譜辨識方法。仿真結果表明，本文的方法能夠有效地對定點隨機外載荷進行功率譜辨識。