干涉測量波面重構DCT算法研究

王永偉,艾 華,卓仁善,曹艷波

(1.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所,吉林 長春 130033；2.中國科學院大學,北京 100049；3.空軍駐長春地區軍事代表室,吉林 長春 130012)

干涉測量波面重構DCT算法研究

王永偉1,2,3,艾 華1*,卓仁善1,曹艷波1

(1.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所,吉林 長春 130033；2.中國科學院大學,北京 100049；3.空軍駐長春地區軍事代表室,吉林 長春 130012)

采用一種空間移相干涉儀測量凹形非球面反射鏡光學表面，使用偏振元件和多幅圖像同步采集實現移相，并對測量得到的干涉條紋采用基于離散余弦變換的相位解包裹算法，對不連續相位分布采用非加權的最小二乘法進行優化目標函數，最終重構出被測光學表面的面形。這種結構形式的干涉儀具有一定的抗振能力，同時在數字圖像處理上優化了算法，能夠快速穩定地得到被測面形，而且對硬件要求不高。結果表明：這種算法能夠適用于非實驗室條件下的光學測量，在一定干擾條件下可以達到較高的測量精度。

干涉測量；離散余弦變換；相位解包裹；最小二乘法；曲面擬合

1 引言

干涉測量的精度隨著精密加工和數字圖像處理技術的發展而得到了不斷地提高。通過移相技術可以獲得測量表面不同相位的面形信息；通過光電探測。圖像處理和計算機運算等手段，可以得到高分辨率的面形信息。空間移相技術可以同步地得到多幅不同相位的干涉條紋，通過合成算法和相位解包裹運算，可以得出準確的測量信息，并且不受振動等外界條件的干擾［1-4］。通過對同步采集的干涉條紋進行合成運算，可以得到測量表面的相位分布。由于相位分布是根據干涉條紋計算得出的，其必然存在相位的周期重復纏繞，因此需要通過一定的算法對相位進行解纏繞運算。相位解纏繞又稱為相位解包裹運算，是合成孔徑雷達干涉測量、光學干涉測量、波前補償以及醫學核磁共振圖像處理等領域圖像信息獲取的一個重要步驟，目前比較成熟的相位解包裹算法主要包括3種：基于路徑積分的算法、最小范數算法和網絡規劃算法。這3種算法都有各自的優缺點，在計算速度與計算精度兩方面進行折中，根據具體情況加以選擇。其中基于路徑積分的算法是從一個已知真實相位值的像元點開始，對其鄰近像元點進行包裹相位差值的累計，通過迭代擴展直到圖像上所有像元點的相位信息都得到解包裹，這種算法通過最小二乘法使包裹函數的離散偏差微分和解包裹函數的離散偏差微分的差值達到最小。本文介紹了一種偏振移相的干涉測量光路，采用四步法移相，得到相位差依次為90°的四幅干涉圖，然后對干涉圖進行基于離散余弦變換(DCT)的相位解包裹算法，該算法是一種基于優化問題的非加權最小二乘算法，減少了干涉圖中無效點在解包裹運算中的影響，重構出被測鏡面的面形圖，這種方法適用于對光學鏡面干涉測量的精確面形重構，且可以抵消測量過程中的部分隨機振動［5-9］。

2 干涉測量的信息獲取

干涉測量使用的儀器主要是干涉儀，目前使用比較成熟的用于大口徑光學表面測量的干涉儀主要有Fizeau型和Twyman-Green型兩種結構形式，前者由于共光路結構，能夠抵消部分測量誤差，但是對標準鏡要求比較嚴格；后者參考鏡要求可以相對簡單，而且通過鏡頭的選擇可擴展測量范圍。本文設計的干涉儀結構采用Twyman-Green型，其結構形式如圖1所示。

圖1 Twyman-Green干涉儀的結構示意Fig.1 Schematic diagram of the Twyman-Green interferometer

被測鏡面為曲率為R=-0.008，二次曲面常數K=-0.15的凹形非球面反射鏡(本文鏡面為理想鏡面，不包含加工誤差)。相干光源采用窄線寬半導體激光，波長為780 nm，其為線偏振光，偏振方向與圖示光學主截面成45°，經過偏振分光棱鏡(PBS)后，分成幅值相等的兩個分量：反射的s矢量和透射的p矢量，s矢量經過兩次1/4波片(QWP)和參考鏡面后，變成p矢量；透射的p矢量經過兩次1/4波片(QWP)和透鏡組及被測鏡面后，變成s矢量；這兩個振動方向垂直的線偏振光再次經過偏振分光棱鏡(PBS)后，一起再通過1/4波片(QWP)，變成兩個旋向相反的圓偏振光，再經過消偏振分光棱鏡(NPBS)和兩個偏振分光棱鏡(PBS)后，實現空間移相，得到相位依次相差90°的干涉條紋，如圖2所示，對應點的光強分布如下式所示：

圖2 空間移相法測量得到的干涉圖Fig.2 Interferograms measured from space phase shifting method

式中：θ為被測鏡面的位相分布，a，b分別為對應于參考鏡和被測鏡的經過兩次偏振分光棱鏡的相互垂直的振動矢量的幅值，通過聯立式(1)～(4)，可以解出：

干涉儀測量表面面形是根據被測光學表面與標準參考表面的光束干涉而產生包含光強信息的干涉條紋，通過將光強信息轉化為相位信息來得到被測光學表面的空間信息，即表面面形，而實際上通過干涉條紋運算所得到的相位差被限制在［-π，+π］之間，如何恢復模糊的相位周期而獲得目標的絕對相位差就需要進行相位解包裹運算。

3 基于DCT算法的相位解包裹

通過上述偏振移相的方法得到相位差依次為90°的四幅干涉條紋后，一般要進行濾波處理以消除部分非共模量噪聲［10］。這種方法一般稱為四步法，其對CCD的二次非線性響應和多光束干涉效應有很好的抑制作用，并且同步采集對環境擾動和結構振動有一定抗性。處理得到的干涉條紋在滿足采樣定理的條件下，才能進行相位解包裹運算。而實際測量的干涉圖即使經過了濾波處理，還會殘余一些噪聲，如斑點、低調制度、隨機擾動、表面突變等使得局部區域不滿足采樣條件，這就要求相位解包裹算法具有一定的除噪聲功能，在這里路徑追蹤算法和優化目標的算法都得到了很廣泛的應用。而基于DCT算法的相位解包裹正是基于優化算法而發展出來的。

相位解包裹運算的評價指標有結果的一致性和精確性［11-12］。結果的一致性是指，假設某點的相位解包裹值為φi，j，用這一方法去求解任意另外一點的解包裹相位值φi，j時，φi，j不會有兩個或者兩個以上的結果，一致性也可以理解為解包裹運算要與運算選取的路徑無關；結果的精確性是指，用這一方法求得的解包裹相位φi，j要盡量逼近原始相位。當干涉圖像中包含噪聲、重疊或遮擋等干擾時，它們會引起相位解包裹結果的不一致和時間上的去相干等現象，因此簡單積分會產生誤差傳遞和累積。利用最小二乘法，求取與包裹相位斜率偏差平方和最小的相位曲面，能夠有效抑制噪聲點的影響，從而保證解包裹所得的曲面的連續性。優化目標函數J可表示為：

Ghiglia提出了利用DCT來求解Poisson方程(7)，主要采用迭代非加權算法，以減少干涉圖中無效點或者壞點在解包裹位相中的影響，這種算法不依賴于積分路徑，解包裹的結果是連續的，不存在無解的區域，容易實現因此實用性很強。

利用二維DCT對定解方程進行求解，得到：

式中：

一般基于DCT算法的波面相位解包裹的計算流程如框圖3所示，算法主要分為5個步驟，需要經過一次濾波處理，同時算法本身對除邊界外的噪聲有一定抑制作用。

圖3 DCT算法波面重構流程框圖Fig.3 Schematic flow of the wavefront reconstruction by DCT algorithm

4 干涉條紋的面形重構計算結果

對上述Tywman-Green干涉儀測量得到的干涉條紋進行波面重構，對于實際測量得到的干涉圖要先進行去除噪聲的處理，部分非共模噪聲可以通過圖像濾波的方法可以消除，共模噪聲則可以通過不同相位的差分運算得以消除。經過消噪處理后，在干涉圖上疊加相同的掩模，計算得到初始的幅值分布和相位分布，分別如圖4和圖5所示。

圖4 移相合成的初始幅值分布Fig.4 Initial magnitude distribution from phase shifting synthesis

圖5 移相合成的初始相位分布Fig.5 Initial phase distribution from phase shifting synthesis

通過簡單迭代算法，由初始相位分布，采用DCT算法進行相位解包裹運算，可以得到解包裹后的相位分布，結果如圖6所示。通過對比初始相位可以看出，整個波面的相位分布由不連續變成連續分布，邊緣出現毛刺的原因是由于掩模邊緣與初始相位的重疊位置出現相位數值的躍變，進而導致計算結果的不收斂，這些數值基本不影響測量結果，適當選擇掩模的范圍可以減小邊緣毛刺的影響。計算過程根據處理的像元尺寸的大小而變化，但是對計算機的硬件要求不高［13-14］。

圖6 DCT解包裹后的相位分布Fig.6 Phase distribution after phase-unwrapping based on DCT

由于相位分布和波面面形是線性關系ΔH= Δθ·λ/(4π)，可以得到波面面形如圖7所示(x，y坐標分別表示像元點位置)，從結果可以看出，面形基本符合非球面的特征參數，由于算法在邊界處的不穩定性，會出現一定的毛刺區域，可以在后期處理中通過附加掩模的方法得到平滑的結果。通過Zernike多項式擬合的方法可以得到波面像差分量，可以用于定量分析光學表面的特征。

圖7 DCT解包裹后的重構面形Fig.7 Reconstructed wavefront after phase-unwrapping based on DCT

5 結論

在對精密光學元件及光學系統的檢測方法中，干涉測量是目前最為有效的超精密檢測手段之一。空間移相干涉儀由于原理具有很好的抗干擾能力，成為目前主流的干涉測量設備。干涉測量得到的結果是干涉條紋，對干涉條紋的處理有多種數字圖像處理算法，相位解包裹算法是得到連續面形的常用方法。本文針對一種空間移相的Twyman-Green結構干涉儀對光學表面進行干涉測量，采用空間移相得到相位差依次為90°的4幅干涉圖，這種移相方法實現同步四步法采集干涉圖像，可以消除部分環境擾動與振動帶來的測量誤差，從而提高了系統測量精度；并對干涉圖采用基于DCT的方法，對干涉條紋進行非加權最小二乘法的相位解包裹運算，最后重構出了被檢測光學表面(非球面)的面形圖，結果表明這種易于實現、快速的算法在硬件條件有限的情況下也能高效的得到計算結果，對復雜條件下的光學檢測提供一種可選的技術方案。

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Wavefront reconstruction of interferometry by DCT algorithm

WANG Yong-wei1，2，3，AI Hua1*，ZHUO Ren-shan1，CAO Yan-bo1
(1.Changchun Institute of Optics，Fine Mechanics and Physics，Chinese Academy of Science，Changchun 130033，China；2.University of Chinese Academy of Sciences，Beijing 100049，China；3.Air Force Military Delegate Office in Changchun，Changchun 130012，China)

We use a type of interferometer with space phase-shifting technique to measure the optical surface of the concave aspheric mirror in this paper.By using polarized elements and multi-image collected in synchronism we implement the phase-shifting process，and we adopt the phase unwrapping algorithm based on discrete cosine transform(DCT)onto the interferograms that we measured.For the discontinuous phase distribution，we adopt the un-weighted least square method to optimize the objective function，and finally reconstruct the wavefront surface of the measured optical surface.This type of interferometer has the capacity of anti-vibration，and can optimize the algorithm in the digital image processing procedure，so we can get the measuredsurface shape rapidly and steadily，and it is no need for high performance hardware.This approach can be used as optical measurement out of laboratory conditions，and we can get high measuring precision under the condition of disturbance existing.

interferometry；discrete cosine transform(DCT)；phase unwrapping；least square method；surface fitting

TP394.1；TH691.9

A

10.3788/CO.20140706.1012

2095-1531(2014)06-1012-07

王永偉(1983—)，男，山西汾陽人，學士，工程師，2006年于空軍工程大學獲得學士學位，主要從事光電測量設備等方面的研究。E-mail：yongwei.516@163.com

卓仁善(1960—)，女，吉林省吉林市人，研究員，碩士生導師，1986年于東北工學院獲得碩士學位，主要從事光電經緯儀結構設計方面的研究。E-mail：zhuornshan@sina.com

艾 華(1961—)，男，吉林長春人，研究員，博士生導師，1984年于長春光學精密機械學院獲得學士學位，主要從事微納量位移測量和半導體激光器在光學儀器中的應用方面的研究。E-mail：aih@ciomp.ac.cn

曹艷波(1984—)，男，湖北黃石人，碩士，助理研究員，2009年于華中科技大學獲得碩士學位，主要從事精密儀器設計與分析方面的研究。E-mail：pinocchio84@163.com

2014-09-15；

2014-10-17

長春光機所領域前沿創新項目(No.Y26532B120)

*Corresponding author，E-mail：aih@ciomp.ac.cn