對圓周七等分及作正七邊形的計(jì)算

曲焱炎，欒英艷，何蕊，李平川

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150001

對圓周七等分及作正七邊形的計(jì)算

曲焱炎，欒英艷，何蕊，李平川

哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150001

在工程施工和現(xiàn)場操作中總會遇到圓周七等分的問題。高等教育課程在幾何作圖這一節(jié)給出了圓周七等分的畫法。但課本僅給出了作圖方法，而對原理未作解答。在此利用對稱原理、勾股定理、余弦定理和切割線定理，推算出教材中近似圓周七等分各弦長的解，并比較了各段弦的近似值與真實(shí)值的誤差，對圓周七等分作圖法進(jìn)行了證明計(jì)算。

幾何作圖；等分圓周；七等分；弦長；近似正七邊形

在對平面圖形的表達(dá)中，經(jīng)常會出現(xiàn)正五邊形、正七邊形畫法等問題。使工程人員學(xué)會正n邊形的畫法，是對其畫圖技能的基本要求。

部分教材［1-2］給出了正七邊形的畫法，一些文章對等分結(jié)果給出了粗略的解答［3-5］，卞振興［6］更是從數(shù)學(xué)理論角度分析了正七邊形的近似性。本文在給出正七邊形作法之余，在此就其作圖依據(jù)給出證明計(jì)算。

1 圓周七等分（正七邊形）作法

圓周七等分做法如圖1所示，具體步驟如下。

1）將直徑AB七等分，等分點(diǎn)為S1、S2、S3、S4、S5、S6。

2）以B為圓心，AB為直徑畫圓，與AB垂直的直徑延長線交于M、N兩點(diǎn)。

3）連接MS2、MS4、MS6并延長分別交圓周于K1、K2、K3，連接NS2、NS4、NS6并延長，分別交圓周于K4、K5、K6。A點(diǎn)即為K7。（連線與圓周相交時(shí)，M、N只能同時(shí)連接直徑上偶數(shù)點(diǎn)或者奇數(shù)點(diǎn)，就是隔一個(gè)點(diǎn)連一條線與圓周相交得到七等分的一個(gè)點(diǎn)）。

4）所交的圓周上字母的點(diǎn)即為圓的七等分點(diǎn)，順次連接各點(diǎn)就得到圓內(nèi)接正七邊形。

圖1 圓周近似七等分作法示意

2 求圓周七等分作法中各弦長

根據(jù)高斯定理可知，對于n＝7的正n邊形，不可能由尺規(guī)作圖得出［7］。所以上述作法，只能是圓周的近似等分法，以下通過計(jì)算分析這種作法的誤差。

如果圓周為七等分，如圖2所示，其對應(yīng)的弦長（設(shè)半徑為單位長度1）l2應(yīng)為

圖2 正七邊形

如圖3所示，根據(jù)對稱性分析，M、N點(diǎn)是關(guān)于直徑AB對稱的，所以有K1K7＝K7K6，K1K2＝K6K5，K5K4＝K2K3，K5B＝K3B。

圖3 近似正七邊形各弦長求解

2.1 計(jì)算K1K7的弦長

1）求OM和MA的長。

如圖3所示，以B為圓心，以AB＝2為半徑作圓弧交CD延長線于M點(diǎn)，∠MBO＝60°（由于AB＝MB，OB＝1／2AB）。因而有

可得出△MBA是等邊三角形，MA＝2。

2）求AK1長。

若求AK1（即K1K7）長，必須知道cos∠AMK1、MA、MK1的值。因?yàn)镸A已求解，需求cos∠AMK1和MK1的值。

在△MS2A中

4）求K1K7弦長及與真實(shí)值誤差。

2.2 計(jì)算K1K2的弦長

如圖3所示，過O點(diǎn)作OF垂直MK2。若求K1K2弦長，需知MK1，MK2，cos∠K1MK2。MK1已求出，現(xiàn)需求MK2和cos∠K1MK2值。

1）求MK2的值。

2.3 求K2K3的弦長

如圖4所示，過O點(diǎn)作OG垂直K2K3。

若求K2K3的長，需知MK2、MK3和cos∠K2MK3。MK2已知，這里要求出MK3、cos∠K2MK3。

1）求MK3。

圖4 K3K4弦長求解

2）求cos∠K2MK3的值。

3）求解K2K3。

由圖4可知：

2.4 求K3K4弦長

3 證明分析

在很多文獻(xiàn)和教材均給出了正七邊形的畫法［8］，卻沒說明這只是近似畫法。根據(jù)以上計(jì)算可以看出文中畫法弦長誤差值在±2%以內(nèi)，所以文中的做法不失為畫七邊形的一種好方法。表1給出了文中畫法的各弦長度與真實(shí)弦長的誤差。

表1 近似作法弦長與真實(shí)弦長比較結(jié)果

4 結(jié)束語

畫法幾何、機(jī)械制圖是給剛剛進(jìn)入大學(xué)的新生開設(shè)的技術(shù)基礎(chǔ)課，幾何作圖也是大一學(xué)生學(xué)習(xí)制圖的第一節(jié)課。為了學(xué)生學(xué)習(xí)的承接性，文中證明過程采用了初等幾何和高中解析幾何的一些方法。本文為學(xué)生的自學(xué)提供很好的參考，學(xué)生在學(xué)習(xí)畫法的同時(shí)，參考本文即可掌握作圖理論依據(jù)。

［1］襲建軍，王熙寧.畫法幾何及機(jī)械制圖［M］.哈爾濱：黑龍江教育出版社，2009，7：15-16.

［2］李利群.工程圖學(xué)［M］.哈爾濱：黑龍江教育出版社，2009：15-16.

［3］賀健琪.關(guān)于圓周七等分的尺規(guī)作圖探究［J］.陜西教育：高教版，2011（9）：103.

［4］叢培蘭.用規(guī)尺法七等分圓周和畫正七邊形的方法［J］.科技信息：科學(xué)教研，2008（8）：261.

［5］劉新，孟昭玉.正五邊形和正七邊形的簡化畫法［J］.職業(yè)技能培訓(xùn)教學(xué)，1997（3）：30-31.

［6］卞振興，國起.正七邊形與單形的位似距離［J］.長春大學(xué)學(xué)報(bào)，2011（2）：64-66.

［7］郭海云.新課程標(biāo)準(zhǔn)下的尺規(guī)作圖問題［D］.西安：西北大學(xué)，2013：8-9.

［8］趙曉運(yùn).正多邊形畫法的分析與創(chuàng)新啟示［J］.價(jià)值工程，2012（4）：24-25.

Calculations for dividing seven equal parts of a circle and a construction method of an approximate regular heptagon

QU Yanyan，LUAN Yingyan，HE Rui，LI Pingchuan
School of Mechatronics Engineering，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China

The problem of dividing a circle into seven equal parts is very common in engineering construction and on-site operations.A practical construction method of dividing seven equal parts of a circle is presented in descrip-tive geometry section of higher education courses，but the principle of the method has not been proved.In this pa-per，by applying symmetry principle，the pythagorean theorem，cosine theorem and the tangent-secant theory，the solutions of the approximate seven equal division chord length are deduced，and the errors between real values and approximate values of each chord are calculated to illustrate comparisons for researchers.

geometric construction；circumference in equal parts；seven-divided circumference；chord length；ap-proximate regular-heptagon

TH126

A

1009-671X（2014）05-062-05

10.3969／j.issn.1009-671X.201408010

2014-08-28.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51175104）；黑龍江省高等學(xué)校教改工程資助項(xiàng)目（JG2014010691）.

曲焱炎（1972-），男，講師，博士.

曲焱炎，E-mail：quyanyanhit＠126.com.