電子橫移伺服LQR最優控制器設計

聞霞 吳龍 晉芳偉

(三明學院機電工程學院1,福建 三明 365004;三明機械CAD工程研究中心2,福建 三明 365000)

電子橫移伺服LQR最優控制器設計

聞霞1,2吳龍1,2晉芳偉1,2

(三明學院機電工程學院1,福建 三明 365004;三明機械CAD工程研究中心2,福建 三明 365000)

為了提高系統的穩態精度和動態性能,將LQR最優控制算法應用于高速經編機電子橫移伺服控制系統。建立了伺服系統狀態空間模型,引入了一類具有指數衰減度的二次型函數作為系統性能指標。仿真結果表明,所提出的電子橫移伺服LQR最優控制算法易于工程實現,保證了系統的穩定性,具有良好的頻響特性,改善了系統的動態特性,實現了無靜差高精度控制。

電子橫移 伺服系統 線性二次調節器 最優控制 PID

0 引言

目前,帶有電子橫移系統的經編機能夠實現高檔、復雜、小批量的產品生產,優勢明顯[1]。進入21世紀,在電子送經系統成為當前國產經編機標準配置之后[2],進一步開發電子橫移系統成為我國新一代經編數控技術的必然發展趨勢。

近年來,在經編機電子橫移系統的研究方面,國內已取得一些研究成果。文獻[3]～[5]探討了經編電子橫移系統原理,建立了動力學模型,提出了硬件設計方案。文獻[6]～[7]研究了采用直線伺服電機直驅橫移機構的方法。

針對高速經編機電子梳櫛橫移的運動特點,采用改進PID算法相關的文獻有[8]～[10]。

當前文獻中所設計的基于PID的控制算法,已經無法滿足經編伺服系統對系統穩定性、魯棒性、高響應速度和高跟蹤精度等系統性能指標的苛刻要求。本文給出了電子橫移伺服線性二次調節器(linear quadratic regulator,LQR)最優控制算法,并通過仿真分析驗證了算法的有效性。

1 經編機電子橫移系統工作原理

由于直線伺服系統價格高昂,目前經編機電子橫移系統主要采用旋轉型交流伺服電機驅動梳櫛橫移機構。該系統一般主要由上位機、主控系統、伺服系統、機械傳動機構和梳櫛五部分構成,其原理如圖1所示。

上位機一般由工控機和觸摸屏構成,主要實現人機交互、生產過程監控、產品數據存儲、網絡管理、工藝參數修改和花型文件加載等功能。主控系統可由PLC或DSP、運動控制卡等組成,主要功能包括與上位機通信、接收經編機主軸信號以及計算并向伺服驅動器發送橫移控制信號。伺服系統由伺服驅動器、伺服電機組成,用于驅動梳櫛。機械傳動機構主要由同步帶傳動機構、滾珠絲桿組成:同步帶傳動機構用于將伺服電機連接到滾珠絲桿,滾珠絲桿能將伺服電機的旋轉運動化為直線運動,使梳櫛進行有規律的往復、間歇式運動[11]。

2 伺服系統的數學模型

伺服系統是用來精確地跟隨或復現某個過程的反饋控制系統,又稱隨動系統。在很多情況下,伺服系統專指被控制量(系統的輸出量)是機械位移或位移速度、加速度的反饋控制系統,其作用是使輸出的機械位移(或轉角)準確地跟蹤輸入的位移(或轉角)[12]。本文考慮采用結構如圖2所示的交流伺服系統。

圖2 伺服系統結構框圖Fig.2 Structure of servo system

圖2中:u為輸入控制信號;ω為電機角速度;φ為輸出信號(旋轉角度);伺服電機慣量J=11.37 Nms2;系統增益K0=136.44 Nms。

2.1 伺服系統開環頻域分析

式中:T為時間常數。

因為開環系統G0(s)為I型,閉環系統G1(j0)=1,根據帶寬定義:

由圖2可知,系統的開環傳遞函數為:

進而可求出系統開環截止頻率ωc=0.996 rad/s,相角裕度γ=85.3°。由于開環截止頻率過低,所以我們希望通過設計控制器,提高系統的開環截止頻率。本文假定設計目標為(5～6)rad/s。

2.2 伺服系統狀態空間描述

為了設計伺服系統的LQR控制器,需要進一步寫出系統的狀態方程。設x1=ω,y=x2=φ,x=[x1x2]T,代入參數J=11.37 Nms2,K0=136.44 Nms,則圖2可轉化為如圖3所示的變量圖。

圖3 伺服系統狀態變量圖Fig.3 State vector diagram of servo system

根據圖3得到伺服系統狀態空間表達式為:

3 線性二次型最優控制器(LQR)設計

3.1 LQR控制原理

對于線性時不變系統,可用下面一組方程來描述:

設線性系統的狀態方程模型(A,B,C,D)已知,如果希望這樣一個系統能夠滿足某種最優的要求,最簡單的方法是引入線性二次型最優控制指標,即設計一個輸入u(t),使得J最小。

式中:tf為控制作用的終止時間;S為控制系統終值的某種約束;Q和R分別為對狀態變量和控制變量的加權矩陣。

一般情況下,假定Q和R這兩個矩陣是定常矩陣。為了使J最小,首先構造一個Hamilton函數:

若輸入信號沒有任何約束,則目標函數的最優值可以通過求解H矩陣對u的導數所構成的方程得出:

從而可以解出最優控制信號為:

式中:λ(t)=-P(t)x(t);P(t)為對稱矩陣,它是Riccati方程的解。

令tf趨于無窮,則P(t)趨于一個常值矩陣,P(t)的一階導數趨于零,上述微分方程可簡化為:

上式被稱為代數Riccati方程,其求解就比較容易。因為該方程都是矩陣運算,用Matlab實現起來也比較容易。我們設計u*(t)=-Kx(t)的狀態反饋,可得到閉環系統的狀態方程,其可表示為:[(A-BK),B, (C-DK),D]。

3.2 LQR控制器的實現

在本例中,原經編伺服系統有一個極值點為0,屬于不穩定系統。我們設計最優調節系統穩定且有指定的指數衰減度,使最優調節系統具有期望的指數穩定性。在這種控制策略中,系統的閉環極點均位于s平面s=-α的左側,其中α＞0。此時性能指標函數描述為:

等價的Riccati代數方程為:P(A+αI)+(A+αI)TP+Q-PBR-1BTP=0。新的最優控制策略為u*(t)= -R-1×BTPx(t)。利用Matlab函數[K,P,E]=lqr(A,B,Q,R,N)可求得最優反饋矩陣K。該算法的目的是在一定的性能指標下,使系統的控制效果最佳,即利用最少的控制能量,來達到最小的狀態誤差。將K= [k1k2]代入到伺服系統(4)中,期望能保證系統穩定,并使得性能指標(12)最小。設r為參考輸入,Kp為開環增益,加入反饋K=[k1k2]后伺服系統的狀態變量圖如圖4所示。

圖4 基于狀態反饋的伺服系統狀態變量圖Fig.4 State vector diagram of the servo system based on state feedback

設計LQR控制器的關鍵是選擇加權矩陣Q和R。在實際系統允許的情況下,Q選擇得越大,系統達到穩態所需的時間越短;而同樣減小R,系統達到穩態所需的時間也就越短。目前確定加權矩陣Q和R的普遍方法是采用試湊的方法。該方法的基本原理是:首先進行分析初步選取Q和R,通過Matlab仿真判斷其是否符合設計要求。如果符合要求,則停止仿真。下面是試湊法的幾個一般原則。

①Q、R都應是對稱矩陣,Q為正半定矩陣,R為正定矩陣。

②通常選用Q和R為對角線矩陣。實際應用中,通常將R值固定,然后改變Q的數值,最優控制的確定通常在經過仿真或實際比較后得到。當控制輸入只有一個時,R成為一個標量數。

③Q的選擇不唯一。這表明當得到的控制器相同時,可以有多種Q值的選擇,其中總有一個對角線形式的Q。

④一般情況下,如果希望輸入信號小,則選擇較大的R矩陣,這樣可以迫使輸入信號變小;否則目標函數將增大,不能達到最優的要求。

通過判斷,系統(4)能觀能控,因此可以設計二次型最優調節器,并且使得閉環后的系統穩定。在設計前,首先對Matlab中專門求解連續系統線性二次型最優控制問題的函數lqr( )說明如下:lqr( )的調用格式為[K, P,E]=lqr(A,B,Q,R,N)。輸入參數中,A為系統的狀態轉移矩陣,B為輸入矩陣,Q為給定的半正定矩陣,R為給定的正的實對稱矩陣,N為性能指標中交叉乘積項的加權系數矩陣。返回參數中,K表示最優反饋矩陣,P是Riccati方程P′+PA+ATP+Q-PBR-1BTP=0的解,E則是A-BK的特征值。

4 仿真結果分析

先將初始權矩陣設定為R=1、Q=diag(q1,q2)=diag(1,1),當運行程序后,得到校正前與校正后天線系統開環bode圖和階躍響應曲線,如圖5和圖6所示。校正后系統響應速度變差,并且穩態誤差很大,需要進一步調節權矩陣Q(一般保持R不變)和增大開環增益Kp來優化系統。

當R=1時,調節權陣Q=diag(q1,q2)中的兩個權系數q1和q2。在調試中我們發現q2對系統起到了積分作用,有助于消除靜差,q1對系統起到了微分作用,有助于提高系統響應速度。經過試湊,使q1=q2=0.001,將開環增益設為6時,系統動態性能較好,截止頻率提高到5.46 rad/s,相角裕度為65.9°,精度高、無靜差。響應曲線如圖7和圖8所示。最優反饋矩陣為K=[0.003 1 0.031 6]。

圖5 校正前后系統開環對數頻率特性曲線[R=1,Q=diag(1,1)]Fig.5 Logarithmic frequency characteristic curves of open-loop system before and after correction[R=1,Q=diag(1,1)]

圖6 校正前后系統的階躍響應曲線[R=1,Q=diag(1,1),增益Kp=6]Fig.6 Step response curves of system before and after correction [R=1,Q=diag(1,1),Gain Kp=6]

圖7 校正前后系統開環對數頻率特性曲線[R=1,Q=diag(0.001,0.001)]Fig.7 Logarithmic frequency characteristic curves of open-loop system before and after correction [R=1,Q=diag(0.001,0.001)]

圖8 校正前后系統的階躍響應曲線(R=1,Q=diag(0.001,0.001),增益K″p=6)Fig.8 Step response curves of system before and after correction [R=1,Q=diag(0.001,0.001),Gain K″p=6]

5 結束語

本文介紹了經編電子橫移系統的工作原理,分析了伺服控制系統模型的頻域特性并建立了其狀態空間描述。

針對高速經編機的特點,為了提高伺服系統的動態特性和跟隨精度,提出了基于LQR的經編電子橫移伺服最優控制器的設計方法。通過仿真算例驗證了所提方法的有效性和正確性。

[1] 繆旭紅,徐穎.EL型高速經編機的花型設計與產品開發[J].針織工業,2007(12):14-16.

[2] 任雯,胥布工.基于FI-SNAPID算法的經編機多速電子送經系統開發[J].浙江大學學報:工學版,2013,47(10):1712-1721.

[3] 孔震,蔣高明,夏風林.高速經編機電子橫移原理探討[J].針織工業,2007(9):12-14.

[4] 夏風林,蔣高明.基于DSP的經編機電子橫移系統探討[J].針織技術,2009(2):72-74.

[5] 周博,李平,金福江.經編機電子橫移系統的模型參考自適應控制[J].上海電機學院學報,2013,16(3):117-124.

[6] 吳永春.經編機梳櫛電子橫移機構及控制方式的研究[J].機電技術,2011(5):52-54.

[7] 夏鳳林.基于直線伺服控制的經編電子橫移系統研究[D].無錫:江南大學,2010.

[8] 鄭寶平,蔣高明,夏風林,等.雙PID控制的經編機電子橫移系統設計[J].紡織學報,2013,33(5):135-139.

[9] 殷明躍,夏風林,張琦,等.基于前饋控制的經編機橫移系統高速定位[J].紡織學報,2011,32(11):126-130.

[10] 鄭寶平,蔣高明,夏風林,等.基于轉矩控制模式的經編電子橫移系統設計[J].紡織學報,2012,33(10):122-127,140.

[11] 趙衛東,辛宏,王元,等.PLC在溫度控制系統中的應用[J].儀器儀表學報,2001,22(04):469-470,478.

[12] 陳鵬展.交流伺服系統控制參數自整定策略研究[D].武漢:華中科技大學,2010.

Design of the Electronic Shogging Servo LQR Optimal Controller

In order to improve steady precision and dynamic performance of the system,the LQR optimal control algorithm is used in the electronic shogging servo control system of the high speed warp knitting machine.The state space model of servo system is established and the quadratic form function with exponential decay rate is introduced as the systematic performance index.The results of simulation show that the proposed electronic shogging servo LQR optimal control algorithm is easy for engineering implementation,and ensures the stability and better frequency response of the system,improves the dynamic characteristics of the system,and realizes high precision control without static error.

Electronic shogging Servo system Linear quadratic regulator(LQR) Optimal control PID

TP271+.4

A

福建省科技廳高校產學合作科技重大基金資助項目(編號:2011H6023、2012H6018)。

修改稿收到日期:2014-01-20。

聞霞(1980-),女,2007年畢業于新疆大學機械制造及其自動化專業,獲碩士學位,講師;主要從事機械設計制造及其自動化方面的研究。