銳角三角函數中的幾何基本圖形

楊彥

【摘要】 銳角三角函數是初中數學的重點，它的背景是直角三角形及可以轉化為直角三角形的圖形，但學生一見到復雜的圖形就不知如何入手，要解決這個難題，就要在平時的教學中注重滲透基本圖形的教學，引導學生從復雜圖形中分解出基本圖形或構造基本圖形，從而輕而易舉地解決問題。

【關鍵詞】 直角三角形 基本圖形 銳角三角函數

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2014）09-026-02

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《數學課程標準》在幾何方面的學習要求學生“能從較復雜的圖形中分解出基本的圖形，并能分析其中的基本元素及其關系，利用直觀來進行思考”，數學中的基本圖形分為兩種：課本中的概念、公式和定理所對應的圖形叫做理論型基本圖形；重要的例題和習題所對應的圖形叫做經驗型基本圖形，經驗型基本圖形都是由兩個或兩個以上的簡單的理論型基本圖形組合而成的。幾何證明題是初中數學的重點，但學生一見到復雜的圖形就不知如何入手，為了解決這個難題，筆者在平時的教學中注重滲透基本圖形的教學，引導學生從復雜圖形中分解出基本圖形或構造基本圖形，從而輕而易舉地解決問題，因此筆者在銳角三角函數復習課中，特地設計了專題復習課——分解圖形，變難為易。

銳角三角函數的應用題一般數據較多，題目信息量較大，學生讀完之后常常會因理不清楚思路，從而沒法下手，做不下去。其實銳角三角函數的應用題通常可以轉化為解直角三角形的應用題得以解決，筆者在教學過程當中發現，銳角三角函數的應用題抽象為數學模型的話，大概有如下三類基本情況。（以下僅討論直角三角形位于異側情況，同側情況類似，略去）。

情形一：實際問題抽象為兩個直角三角形都可解。

例1：（2013·襄陽）如圖，在數學活動課中，小敏為了測量校園內旗桿AB的高度，站在教學樓上的C處測得旗桿底端B的俯角為45°，測得旗桿頂端A的仰角為30°，如旗桿與教學樓的水平距離CD為9m，則旗桿的高度是多少？（結果保留根號）

分析：根據在Rt△ACD中，tan∠ACD= ，求出AD的值，再根據在Rt△BCD中，tan∠BCD= ，求出BD的值，最后根據AB=AD+BD，即可求出答案。

解：在Rt△ACD中，∵tan∠ACD= ，∴tan30°= ，∴ = ，∴AD=3 m，

在Rt△BCD中，∵tan∠BCD= ，∴tan45°= ，∴BD=9m，

∴AB=AD+BD=3 +9（m）.

答：旗桿的高度是（3 +9）m.

基本圖形1：在△ ABC中，CD⊥AB于D，CD=10，∠A=45°，∠B=30°，求AB.

分析：本題目標線段AB為線段AD與線段BD的和，顯見Rt△ACD與Rt△BCD都可解，根據銳角三角函數易得線段AD，BD長，進而得線段AB長。

情形二：實際問題抽象為一個直角三角形可解，進而另一個直角三角形也可解。

例2：（2013·呼和浩特）如圖，A、B兩地之間有一座山，汽車原來從A地到B地經過C地沿折線A→C→B行駛，現開通隧道后，汽車直接沿直線AB行駛。

已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°.則隧道開通后，汽車從A地到B地比原來少走多少千米？（結果保留根號）

分析：過C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，根據AC=10，∠A=30°，解直角三角形求出AD、CD的長度，然后在Rt△BCD中，求出BD、BC的長度，用AC+BC-（AD+BD）即可求解。

解：過C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，

∵AC=10，∠A=30°，

∴DC=ACsin30°=5，AD=ACcos30°=5 ，

在Rt△BCD中，∵∠B=45°，∴BD=CD=5，BC=5 ，

則用AC+BC-（AD+BD）=10+5 -（5 +5）=5+5 -5 （千米）。

答：汽車從A地到B地比原來少走（5+5 -5 ）千米。

基本圖形2：在△ ABC中，CD⊥AB于D，AC=10，∠A=45°，∠B=30°，求AB.

分析：本題目標線段AB為線段AD與線段BD的和，顯見Rt△ACD可解，得線段AD，CD長，知道CD長，進而Rt△BCD可解，易得線段BD長。

情形三：實際問題抽象為兩個直角三角形都不可解

例3：如圖，AB和CD是同一地面上的兩座樓房，在樓AB的樓頂A點測得樓CD的樓頂C的仰角為45°，樓底D的俯角為30°.若已知樓CD高為（30+10 ）米，你能求出兩樓之間的距離BD嗎？

分析：過A作AE⊥CD于E，易知：AE=BD，設AE=x. 在Rt△ACE中，可用x表示出CE. 在Rt△ADE中，可用x表示出DE，從而得到關于x的方程，即可求出BD的長度。

答：兩樓之間的距離BD為30米。

基本圖形3：在△ ABC中，CD⊥AB于D，AB=10，∠A=45°，∠B=30°，求CD.

分析：本題目標線段CD，為圖中兩個直角三角形的公共邊，但這兩個直角三角形都是不可解的，因而無法應用正向思維解決之。可設其長為x，在Rt△ACD和Rt△BCD中，均可由CD根據銳角三角函數表示出線段AD與線段BD的長，從而可列出關于x方程，問題得以解決。

總之，這三類情況依據三角形是否可解進行分類，熟悉基本數學模型，可以快捷準確解決數學問題。

以上是本人在教學中的粗淺認識，供同行參考，不足之處，敬請指正。