井下套管圍壓及第四等效應力分析

王小增，屈 展，竇益華

（1.西北工業大學，西安710072；2.西安石油大學，西安710065）

專題研究

井下套管圍壓及第四等效應力分析

王小增1，屈 展2，竇益華2

（1.西北工業大學，西安710072；2.西安石油大學，西安710065）

隨著油田開采期限的延長和增產措施的應用，地應力產生粘彈性圍巖蠕變造成套管圍壓的增加是套管損壞的主要原因之一。建立了固井段套管、水泥環和圍巖的地質力學模型，得出了套管第四等效應力和圍壓的解析解；建立了套管、水泥環和圍巖的有限元分析模型，得出了套管圍壓與第四等效應力的數值解。給定工況，遠地應力作用下套管等效應力解析解比數值解大3.0%；套管圍壓解析解和數值解差別小于0.3%。建立的有限元模型和推導的計算公式可以分析地應力作用下套管的圍壓及第四等效應力。

套管；水泥環；圍巖；圍壓；第四等效應力

國內外油氣田開發過程中普遍存在套管損壞問題，例如擠扁，縮頸和錯斷等。套管損壞原因復雜［1-3］，其中地應力作用下套管所受的圍壓超過其承載能力是套管損壞的主要原因。現場研究表明，由于地應力作用下固井段套管周圍巖石的蠕變，油氣井投產后套管的外載荷比剛完井時大［4-7］。為確保固井段套管不被損壞，保證油氣井安全生產，分析遠地應力作用下套管的圍壓及第四等效應力分布是十分必要的［8-9］。

建立了彈性圍巖中固井段套管、水泥環和圍巖的地質力學模型。通過對模型的基本假設，以彈性理論為基礎，應用位移和徑向應力連續條件，得出了套管圍壓和第四等效應力分布的解析解。建立了套管、水泥環和圍巖的有限元分析模型，確定了套管圍壓和第四等效應力的數值解，并和解析解進行了對比分析。

1 套管和水泥環及圍巖彈性狀態分析

1.1 遠地應力作用下套管力學分析模型

固井后，套管通過水泥環與地層緊密結合在一起。圖1為遠地應力作用下套管、水泥環和圍巖的力學分析模型。其中：a為套管內半徑，mm；b為套管外半徑，mm；c為水泥環外半徑，mm；po為遠地應力，MPa；pi為套管內壓，MPa。為能夠得到套管圍壓和第四等效應力的解析解，結合井下實際情況做4個基本假設：

1） 套管、水泥環和地層為連續、均勻、各向同性的彈性體。

2） 套管和水泥環、水泥環和井壁之間完全接觸，在結合處位移和徑向應力連續。

3） 固井狀態下，套管內表面為自由表面，套管體力不計。

4） 距離套管中心無窮遠處為遠地應力。

圖1 遠地應力作用下套管地質力學模型

1.2 套管彈性狀態解答

套管內部受到液柱壓力pi的作用，外壁受到遠地應力產生的圍壓po的作用。基于前面基本假設，固井后的套管處于平面應變狀態。在極坐標（r，φ）下，套管的彈性狀態張量表示為：

式中：E3ij為套管應變張量；u3ij套管的位移張量；S3ij為套管的應力張量。

由彈性力學理論可得，套管徑向應力S3rr，環向應力S3φφ和軸向應力S3zz分量分別為：

套管的徑向位移分量u3r為：

式中：E3為套管彈性模量，MPa；μ3為套管泊松比；G3為套管剪切彈性模量，MPa，G3＝E3／（2（1＋μ3））。

1.3 圍巖彈性狀態解答

圍巖內壁為遠地應力作用于水泥環的圍壓p2，外表面受到地層遠地應力po的作用。基于前面基本假設，固井后的地層處于平面應變狀態。圍巖在極坐標（r，φ）下的彈性狀態張量表示為：

式中：E1ij為圍巖應變張量；u1ij為圍巖位移張量；S1ij為圍巖應力張量。

以井筒中心點O為圓心，假設存在半徑趨于無窮大的圓。因地應力均勻作用于水泥環，則圍巖相當于內壁半徑為b，外壁半徑為無窮大，受內壓p2和外壓po作用的圓筒。由彈性力學理論可得，圍巖徑向應力S1rr，環向應力S1φφ和軸向應力S1zz分別為：

圍巖徑向位移分量u1r為：

式中：E1為圍巖彈性模量，MPa；μ1為圍巖泊松比；G1為圍巖剪切彈性模量，G1＝E1／（2（1＋μ1）），MPa。

1.4 水泥環彈性狀態解答

水泥環內表面受與套管外部接觸壓力p的作用，外表面受圍壓p2的作用。基于前面基本假設，固井后的水泥環處于平面應變狀態。水泥環在極坐標（r，φ）下的彈性狀態張量表示為：

式中：E2ij為水泥環應變張量；u2ij水泥環位移；S2ij為水泥環應力張量。

由彈性力學理論可得，水泥環徑向應力S2rr，環向應力Sφφ和軸向應力S2zz分量分別為：

水泥環徑向位移分量u2r為：

式中：E2為水泥環彈性模量，MPa；μ2為水泥環泊松比，G2為水泥環剪切彈性模量，MPa，G2＝E2／（2（1＋μ2））。

2 套管和水泥環圍壓分析

固井后，水泥環將套管與地層緊密結合在一起，在套管和水泥環、水泥環和圍巖的2個交界面處完全接觸，其徑向位移連續，即有：

將式（3）、（6）、（9）帶入徑向位移連續條件式（10），可以求出彈性圍巖作用下，套管所受的圍壓p和水泥環所受的圍壓p2：

式中：

3 套管第四等效應力的數值解

套管、水泥環和地層的有限元模型如圖2所示。套管、水泥環和地層采用了Plane42單元類型，劃分為映射網格。因為系統的對稱性質，取套管、水泥環和地層力學分析模型的四分之一進行有限元分析。套管和水泥環、水泥環和地層之間為完全接觸，不會發生相對滑動。分析中用到的套管、水泥環和地層的物理和幾何參數如表1所示。

圖2 套管和水泥環及地層的有限元模型

表1 套管和水泥環及地層物理和幾何參數

某井試油工況下，地層壓力為110 MPa（5 000 m井深，壓力梯度取22 MPa／km），井底套管內壓力為30～50 MPa。5 000 m井深，放噴求產時天然氣壓力梯度為3 MPa／km，井口壓力為15 MPa，則井底套管內壓力為30 MPa。井口壓力增加到35 MPa，井底套管內壓力為50 MPa。套管規格為177.8 mm×12.65 mm，鋼級P110，下入約5 000 m深井中。鉆頭直徑為215.9 mm（8?2英寸），井眼擴大系數取1.1、1.2、1.3、1.4、1.5，確定水泥環的厚度。試壓值取套管抗內壓強度的80%，套管內最多替成清水。若為低產氣，井口壓力低至15 MPa，井底壓力低至30 MPa。在此工況下分析套管圍壓與應力、水泥環圍壓與第四等效應力。圖3為套管等效應力分析云圖，套管內表面第四等效應力518 MPa，套管外表面第四等效應力426 MPa。水泥環內表面第四等效應力99.6 MPa，水泥環外表面第四等效應力為99.4 MPa。套管和水泥環內部徑向應力為壓應力，從內到外逐漸增加。

圖3 套管第四等效應力云圖

4 井中套管模型的解析解和數值解對比

根據式（1）～（12）計算遠地應力作用下套管和水泥環圍壓和第四等效應力的解析解，根據建立的套管、水泥環和圍巖有限元模型，得到圍壓和第四等效應力的數值解，進行有限元數值解和解析解的對比分析。圖4為套管第四等效應力理論與數值解對比，遠地應力作用下套管第四等效應力解析解略大于其數值解值，相差小于3%。圖5為套管圍壓解析解與數值解對比，遠地應力作用下，內壓小于40 MPa套管圍壓數值解略小于其解析解，套管內壓大于40 MPa時，反之。套管圍壓數值解和解析解值相差不超過0.3%。

圖4 套管第四等效應力解析解與數值解

圖5 套管圍壓解析解與數值解

5 結論

1） 根據建立的固井段套管、水泥環和圍巖的力學模型得出了套管、圍巖和地層圍壓和第四等效應力分布的解析解；根據套管，水泥環和地層的有限元模型得出了套管圍壓和第四等效應力的數值解。

2） 遠地應力和內壓共同作用下，套管第四等效應力解析解比其數值解大3.0%；

3） 遠地應力和內壓共同作用下，當套管內壓小于40 MPa時套管圍壓解析解略大于其數值解；套管內壓大于40 MPa，反之；套管圍壓理論和數值解之差小于0.3%。

4） 套管和水泥環圍壓和第四等效應力的解析解和數值解差別較小，建立的有限元模型和得到的計算公式可以分析地應力作用下套管的圍壓及第四等效應力分布。

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Confining Pressure and Von Mises Stress of Downhole Casing

WANG Xiao-zeng1，QU Zhan2，DOU Yi-hua2
（1.Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，China；2.Xi’an Shiyou University，Xi’an 710065，China）

With the extension of production period and the application of well stimulation in oil field，the confining pressures which result from the in-situ stress often lead to the damage of casing.Considering casing，cement and rock in cemented sections，a geomechanical model is established，while analytical solutions of Von Mises stress and confining pressure are obtained.A finite element method is developed to obtain the numerical solutions.The result shows that analytical and numerical solutions are almost equal.Under the action of the in-situ stress，compared to the numerical solution，the analytic solution of von Mises stress of casing is slightly increased by 3%.The difference between the analytic and numerical solution is less than 0.3%.Developed the finite element model of casing，cement and formation and analytic formulas can be used to analyze the confining pressure and Von Mises stress of casing under the action of the in-situ stress.

casing；cement；formation；confining pressure；von mises stress

TE931.202

A

10.3969／j.issn.1001-3482.2014.12.001

1001-3482（2014）12-0001-04

2014-06-01

國家自然科學基金項目“力學化學耦合下泥頁巖井壁蠕變損傷失穩研究”（51174162）

王小增（1973-），男，遼寧綏中人，副教授，碩士，博士研究生，2003年畢業于西安石油大學機械電子工程專業，主要從事井筒完整性評價方面的研究，E-mail：21772778＠qq.com。