基于傳遞矩陣法的齒輪齒條鉆機縱向振動分析

董 峰

（大慶油田有限責任公司第二采油廠，黑龍江大慶163414）①

基于傳遞矩陣法的齒輪齒條鉆機縱向振動分析

董 峰

（大慶油田有限責任公司第二采油廠，黑龍江大慶163414）①

將齒輪齒條鉆機簡化為線性鏈式連續(xù)多體系統(tǒng)，基于傳遞矩陣法建立了齒輪齒條鉆機各個結構縱向振動的傳遞矩陣，運用矩陣乘法建立了鉆機縱向振動的傳遞矩陣。分段計算了小車在井架不同高度和1～3 km井深時縱向振動的1階共振頻率，并將模型的計算結果與軟件的仿真結果進行了對比分析。研究結果表明：齒輪齒條鉆機的系統(tǒng)振動頻率主要取決于鉆柱長度；井架的高度及升降小車在井架上的運動對鉆機系統(tǒng)頻率的影響很小，不會改變鉆機系統(tǒng)的穩(wěn)定性。研究結果對齒輪齒條鉆機作業(yè)有一定指導作用。

齒輪齒條鉆機；縱向；振動；傳遞矩陣；分析

齒輪齒條鉆機是新概念石油鉆井設備，它將齒條安裝在井架上，將齒輪安裝在頂驅上，利用齒輪與齒條的嚙合帶動頂驅上下運動。因此，齒輪齒條鉆機既能提供上提力又能產(chǎn)生下壓力，能夠有效鉆進更淺的地層，同時能鉆取更多的生產(chǎn)層，更適合定向井、叢式井和水平井鉆井及開窗側鉆等鉆井工藝［1］。國外齒輪齒條鉆機研究早于國內(nèi)，美國奧格公司、挪威的TTS Sense公司、美國Horizontal Well Drill-ers（HWD）公司和德國的Max Streicher公司是較早從事該項裝備研究的公司。經(jīng)過多年的研究和應用試驗，該項技術在國外發(fā)展很快，逐漸趨于成熟［2-4］。國內(nèi)一些專家和學者們也開始該項技術的研究，并取得了一定的研究成果［5-7］。

雖然國內(nèi)外對鉆機的多功能性一直很關注，但對其多體動力學問題的研究較少，鉆機系統(tǒng)動力學的研究未見報道。本文以齒輪齒條鉆機系統(tǒng)為研究對象，基于傳遞矩陣法分析了齒輪齒條鉆機系統(tǒng)縱向振動的特性，為該鉆機的鉆井作業(yè)提供一定的理論指導。

1 齒輪齒條鉆機模型簡化

齒輪齒條鉆機的結構如圖1所示。井架通過鉆機底座固定在地面上，齒條固定在井架上，齒輪和頂驅都安裝在升降小車上，通過升降小車上的齒輪與安裝在井架上的齒條嚙合，帶動頂驅上下運動，進而實現(xiàn)鉆井作業(yè)。

圖1 齒輪齒條鉆機系統(tǒng)結構

鉆井過程中，由于鉆頭牙齒間斷地與地層接觸或巖石的間歇破碎，導致鉆頭振動，最終引起鉆柱沿其軸向的縱向振動。鉆機發(fā)生縱向共振時，鉆柱內(nèi)部的交變應力和振幅相當大，易導致鉆柱斷裂或粘扣。在分析鉆機鉆井過程的整體縱向振動時，可將鉆柱等效為管柱單元，小車系統(tǒng)等效為剛體系統(tǒng)，井架等效為梁單元。不考慮間隙和阻尼作用，忽略減速器里的齒輪傳動引起振動的改變，基于上述分析和齒輪齒條鉆機特有的結構形式，將齒輪齒條鉆機的縱向振動簡化為如圖2所示的縱向振動系統(tǒng)。

圖2 齒輪齒條鉆機縱向振動系統(tǒng)簡化模型

2 傳遞矩陣模型的建立

對鉆機縱向振動進行分析時，振動的橫截面可認為保持平面且和原截面保持平行，在這些截面上的點只作沿軸向方向的運動，忽略縱向振動產(chǎn)生的橫向變形。

2.1 鉆柱模型的傳遞矩陣

鉆柱的縱向振動研究可以近似看作其在某個平面上作縱向振動，在其位移方向上施加分布載荷；對鉆柱底端受到巖石的作用以及鉆井過程中所受的其他作用，看作與時間和位移有關的分布力計算。設鉆柱總長度為L，鉆柱的軸線方向取為x軸。記鉆柱在坐標x處橫截面積為A（x），彈性模量為E（x），質量密度為ρ（x）。u（x，t）表示坐標為x的截面在時刻t的縱向位移。取微元段d x進行研究，如圖3所示，則鉆柱縱向振動方程為

圖3 鉆柱縱向振動單元分析

由通解求出狀態(tài)矢量中其他狀態(tài)矢量，寫成矩陣形式為

2.2 升降小車的傳遞矩陣

分析齒輪齒條鉆機的縱向振動，將整個小車等效為剛體，則剛體縱向振動的傳遞矩陣為式中：mc為振動剛體的質量；ωc為小車的共振頻率。

2.3 井架模型傳遞矩陣

將齒輪齒條鉆機的井架看作等截面長為l的梁，取長為d x的微元段進行受力分析：m為質量線密度；ωj為井架的固有振動頻率；E′A′為抗拉剛度；x（x，t）為距輸入端x處橫截面的縱向位移，如圖4所示。

梁的縱向振動動力學方程可以表示為

假設井架單元內(nèi)無集中質量和彈簧-質量單元，不考慮阻尼作用，則該微元段的自由振動運動微分方程為

圖4 井架及其微元體受力分析

2.4 齒輪齒條鉆機整體傳遞矩陣

根據(jù)前文對齒輪齒條鉆機系統(tǒng)的等效和分析，利用傳遞矩陣乘法的計算，將系統(tǒng)的傳遞矩陣Ui（i＝1，2，3）代入，則有

3 模型解算與分析

鉆柱傳遞矩陣U1、U2、U3均為2×2矩陣，故總體系統(tǒng)傳遞矩陣U也是2×2矩陣，設

在計算整體共振頻率時，將鉆柱井架和小車看作1個系統(tǒng)，則該系統(tǒng)的共振頻率由系統(tǒng)本身決定。因此，當考慮整體系統(tǒng)的共振頻率時，鉆柱、小車、井架的固有振動頻率選擇為系統(tǒng)的固有振動頻率ω，下文計算將前文中的ωz、ωc和ωj一律替換成整個系統(tǒng)共振頻率ω。

假設鉆柱受力為零時，代入邊界條件。系統(tǒng)底端為自由振動，系統(tǒng)頂端為固定，則有底端Z0，1＝［X 0］T0，1，頂端振動邊界為Z4，3＝［0 Fjj］T4，3，因此頻率函數(shù)為a11＝0。可得

由式（22）可得，齒輪齒條鉆機整體縱向振動的共振頻率與井深、井架特性以及系統(tǒng)的固有頻率有關。假設井深及小車在井架上的高度，選用?114.3 mm（4 1/2英寸）鉆桿，忽略鉆鋌長度，得到系統(tǒng)縱向振動第1階共振頻率，如表1所示。

表1 井深及小車在井架上高度與系統(tǒng)共振頻率的關系

忽略鉆鋌長度，設巖石沖擊的振動激勵為時間的函數(shù)。取井深為500 m時，基于動力學仿真軟件Adams得到井架（取井架頂端）運動狀態(tài)和鉆桿（取鉆桿最底端）的運動狀態(tài)，如圖5～6所示，進而得到鉆機振動的1階共振頻率。

圖5中：圖線1表示鉆桿的振動位移；圖線2表示變形速度，對應的均為左端縱向坐標值；圖線3表示鉆桿內(nèi)部所受力的大小，對應右端縱向坐標值。圖6中：圖線1表示鉆頭的位移，對應的縱向坐標值為左端第2列；圖線2表示鉆頭位移速度，對應的縱向坐標為右端值；圖線3表示鉆頭位移加速度，對應的縱向坐標為左端第1列。同理，可以得到不同井深時，齒輪齒條鉆機縱向振動的響應圖像。

圖5 500 m井深井架頂端位移、速度與內(nèi)力曲線

圖6 500 m井深鉆桿底端位移、速度和加速度曲線

表2 理論求解與仿真結果對比

分析表2中數(shù)據(jù)，理論計算數(shù)值與仿真結果略有誤差，但相差不大，主要原因有以下幾種：

1） 理論建模將小車等價為剛體，看作集中質量的傳遞。

2） 理論建模求解時，為計算方便，舍棄了一些次要條件。

3） 仿真時模擬時間和步數(shù)的選擇也會引起結果的誤差。

研究表明：齒輪齒條鉆機共振頻率與鉆柱和井架的固有頻率都有關系。鉆柱的選擇很大程度上決定了系統(tǒng)縱向共振的頻率范圍，井架的剛度比鉆柱剛度大數(shù)倍數(shù)量級，引起鉆機共振頻率的減小，但影響微弱。淺井500 m時，使得共振頻率降低了0.004 4%，在井深2 500 m時，頻率降低了0.003 1%；當井深超過3 000 m時候，數(shù)據(jù)顯示沒有影響。因此井架的剛度對鉆機系統(tǒng)振動的影響很小，深井鉆井時井架不會影響鉆機系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

4 結論

1） 基于傳遞矩陣法建立齒輪齒條鉆機縱向振動的數(shù)學模型，得到了不同井深鉆機整體縱向振動的1階共振頻率。

2） 齒輪齒條鉆機的系統(tǒng)振動頻率主要取決于鉆柱的長度，井架的高度和升降小車在井架上的運動對鉆機系統(tǒng)頻率的影響很小，不會改變鉆機系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

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Analysis of Longitudinal Vibration of Gear and Rack Based on Transfer Matrix Method

The rack and pinion drilling is simplifyed to linear chain continuous multi-body system，longitudinal vibration transfer matrix of each structure of which is build based on transfer matrix method，and then the transfer matrix of which is build by applying the matrix multiplication.The first resonance frequency of longitudinal vibration is calculated in different height of the derrick and 1 000-3 000 m depth，and results of model calculating and software simulation are analy-zed in comparison.The results show that the vibration frequency of rack and pinion drilling mainly depends on the length of the drill string，the height of the derrick and movement of derrick have little impact on frequency of drilling，and will not change the stability of the drilling system.The results have certain guiding role for operation of rack and pinion drilling.

rack and pinion drilling；longitudinal；vibration；transfer matrix；analysis

TE922

A

10.3969／j.issn.1001-3842.2014.11.005

1001-3482（2014）07-0018-05①

2014-01-09

國家自然科學基金項目（11372071）；中國博士后基金項目（2013 M541139）；黑龍江省科技攻關項目（GZ11A405）

董 峰（1977-），男，黑龍江大慶人，工程師，碩士，主要從事油氣生產(chǎn)技術開發(fā)工作。