均勻布筋的雙偏壓矩形柱簡化設計

馬澤峰 陸洲導 許建立 蔡茲紅

（1.同濟大學結構工程與防災研究所，上海200092；2.上海建筑設計研究院有限公司，上海200041）

均勻布筋的雙偏壓矩形柱簡化設計

馬澤峰1，2*陸洲導1許建立2蔡茲紅2

（1.同濟大學結構工程與防災研究所，上海200092；2.上海建筑設計研究院有限公司，上海200041）

在荷載等值線法的基礎上，考慮均勻配筋形式，通過大量變參數、多水平的數值運算，擬合雙偏壓鋼筋混凝土矩形柱截面軸壓比與無量綱彎矩等值線的相關指數的函數關系，以及兩主軸方向軸壓比與無量綱參數?m的關系曲線。基于所得強度曲線提出簡化計算方法，并通過試驗驗證。給出算例以明確應用過程。提出的簡化方法具有精度高、運算快的優點，可用于實際的工程設計。

雙偏壓，荷載等值線法，無量綱，相關指數

1 引 言

承受軸力及雙向彎矩的柱構件普遍存在于建筑結構中。典型的是框架結構的角柱、縱向柱列較少的房屋、管道支架和水塔的支柱等。即便是邊柱或中柱，也會由于相鄰跨跨度的差異以及荷載分布的不均勻而處于雙偏壓受力狀態。研究表明，影響雙偏壓柱截面強度的因素主要有軸壓比（n）、混凝土和鋼筋的強度（fc，fs）及本構關系、縱筋配筋率（ρ）、縱筋的布筋形式、截面尺寸（H高，B寬）、保護層厚度及偏心角度（θ）等［1］。以往針對雙偏壓柱的研究主要考慮的是普通強度混凝土（NSC），對現代高層建筑中普遍采用的高強混凝土（HSC）方面內容卻涉及較少。另外，截面的高寬比（SR＝H／B）影響的研究也集中在SR∈［1，2］的區間，對SR∈（2，4］的扁柱強度特點的研究成果幾乎沒有。

經典的研究雙偏壓截面強度的思路主要有兩種，一種是精確化方法，另一種是近似化方法。精確化方法也可稱為一般化方法，根據處理思路的不同又可分為纖維積分法和等效矩形應力圖法。纖維積分法的假定少，適應性強，精度高，同時需要大量的迭代運算，耗費計算資源，應用復雜。許多學者［2，3］對纖維積分法進行簡化，手段主要是通過減少受壓混凝土的積分塊數，增加單塊范圍內的積分點數，盡量在一定精度范圍內減少運算次數，提高迭代效率。

近似化方法就是對雙偏壓強度面的近似。我國《混凝土結構設計規范》（GB 50010—2010）采用的是倪克勤（N.V.Nikitin）公式。這種方法是用平面來近似模擬強度面，是彈性階段的應力疊加法，實際是一種容許應力法，這種設計思路與我國規范普遍采用的極限強度法不同，相對落后，按此方法計算的強度面也偏保守。美國規范ACI 318—05［4］推薦的布雷斯勒（Bresler）荷載倒數法，從破壞面上點與近似平面上點的距離角度推導出與倪克勤公式實際相同的形式。這種方法更方便用于驗證，而很難用于實際設計。

布雷斯勒建議的另一種近似方法，既荷載等值線法也被美國規范ACI 318—05［4］及歐洲規范EN 1992-1-1：2004［5］采用。按這種方法，給定軸力N作用下的強度面可由式（1）的無量綱形式近似表示：

另外，隨著現代混凝土技術的發展，高強混凝土（HSC）廣泛用于實際工程。高強混凝土材料強度高，延性差，變形能力弱，其力學性質不能簡單地由普通混凝土（NSC）外推獲得。前述針對普通混凝土雙偏壓強度研究的成果用于高強混凝土時，必然需經過修正。

截面的高寬比（SR）是矩形截面柱的主要形狀參數，隨高寬比的增加，構件由正常柱過渡為扁柱，兩方向尺寸差別逐漸加大，必然會對極限強度造成一定影響。

本文的主要工作是基于縱筋均勻配置的布筋方式，考察軸壓比、混凝土和鋼筋的強度及本構關系、縱筋配筋率、截面高寬比等因素對雙偏壓荷載作用下截面強度破壞面的影響。經過大量數值計算，回歸無量綱參數與強度破壞面的函數關系，提出近似強度面的擬合公式，并將公式直接用于工程設計。

2 分析基礎

式中，Mxu，Myu為給定軸力下，截面繞x軸和y軸的極限彎矩；α1，α2為與前述截面強度影響因素相關的指數。

這種破壞面的表達形式在實際設計中仍較難應用，不過更接近真實的強度破壞面，更符合現階段規范的極限設計思路。布雷斯勒的分析和試驗工作主要偏重于荷載倒數法，對于荷載等值線法，僅給出公式，并沒有對指數取值進行細化，建議取α1＝α2∈［1.15，1.55］。

許多學者［6，7］在荷載等值線公式基礎上，對指數α1，α2的取值進行了深入研究。提出了不同的取值簡化計算方法。歐洲規范EN 1992-1-1：2004［5］給出的指數α1＝α2＝a為：對于圓形和橢圓形，a＝2；對于矩形a取值見表1。

2.1 基本假定

數值模擬采用查德維爾（Chadwell）開發的程序XTRACT進行，基于下述計算假定：

（1）平截面假定，變形前、后均保持平面。

（2）忽略剪切變形影響。

（3）混凝土與鋼筋充分粘結，無滑移。

（4）不考慮混凝土抗拉強度，混凝土受壓本構如式（3）和圖1（a）所示，鋼筋均為三級鋼（HRB400），設計強度fy＝360 N／mm2，本構關系如圖1（b）所示。

式中，fc為混凝土抗壓強度設計值；σc，σs為混凝土和鋼筋的應力；εc為混凝土壓應變；ε0，εcu為混凝土峰值壓應變和極限壓應變；fcu，k為混凝土立方體抗壓強度標準值；t為系數，且t≤2。

（5）縱筋極限拉應變取為0.01。

表1 EN 1992-1-1：2004中a取值Table 1 Value a for EN 1992-1-1：2004

a與軸壓比n的二次函數關系如下式：

（6）縱筋沿截面周長均勻布置，計算時等效為沿截面四邊厚度相等的鋼筋膜，詳見圖2。

圖1 混凝土、鋼筋本構關系Fig.1 Constitutivemodels for concrete and steel

圖2 均勻布筋等效鋼筋膜Fig.2 Equivalent reinforced membrane

（7）保護層厚度均取25 mm。

2.2 截面承載力計算公式

將截面分為有限多個混凝土單元、縱筋單元，并近似取單元內應變和應力為均勻分布。為保持平截面，混凝土纖維和鋼筋纖維的應變應滿足以下公式：

受壓區外邊緣混凝土壓應變εc達到混凝土極限壓應變εcu且鋼筋纖維最大應變εs1＜0.01時，截面極限曲率φu應滿足

受壓區外邊緣混凝土壓應變εc小于混凝土極限壓應變εcu且鋼筋纖維最大應變εs1達到0.01時，截面極限曲率φu應滿足：

正截面承載力應滿足：

式（4）—式（6）中，N，Mx，My為設計軸力，繞x軸和y軸的設計彎矩；εci，σci，Aci為第i個混凝土單元的應變、應力和單元面積；εsj，σsj，Asj為第j個鋼筋單元的應變、應力和單元面積；xci，yci為第i個混凝土單元中心到y軸和x軸的距離；xsj，ysj為第j個混凝土單元中心到y軸和x軸的距離；r為截面中心至中和軸的距離；h01為截面受壓區外緣至最遠鋼筋纖維之間垂直于中和軸的距離；θ為x軸與中和軸的夾角；xn為中和軸至受壓區混凝土最外側邊緣的距離。

3 無量綱強度面擬合及設計思路

3.1 設計強度控制面擬合思路

通過變參數多水平數值計算。首先，在布雷斯勒荷載等值線法基礎上，確定定軸壓比時歸一化的無量綱彎矩等值線mx－my，找到其指數a與軸壓比n的函數關系，重點考察高強混凝土和截面高寬比對等值線指數的影響；然后，回歸沿截面主軸方向（x軸、y軸）軸壓比n與無量綱化的彎矩?m之間的函數關系。同時，引入無量綱參數λ，即縱筋配筋特征值，詳見式（7），其實質是全截面鋼筋強度與混凝土強度的比值。λ將截面縱筋配筋率、鋼筋強度與混凝土強度聯系起來，從而起到減少參數，提高結果曲線適用性的作用。mx，my，n與?m定義見式（8）。

3.2 軸壓比與荷載等值線的冪指數關系擬合

定軸力時荷載等值線關系式如下所示：

數值參數的選取范圍見表2。根據《混凝土結構設計規范》（GB 50010—2010）中規定，全截面縱筋的最大配筋率不應大于5%，則對于強度為C30的混凝土，λ最大值為1.25，對C80的混凝土，λ最大值為0.50，為充分體現高強混凝土的曲線特征，表2中對0.01～0.05區間的λ取值進行了細分。計算結果詳見圖3。

表2 模型參數及取值Table 2 M odel variables and the values

圖3 mx－my荷載等值線Fig.3 mx－myload contours

由圖3（a）可以看到，在其他影響因素相同時，高寬比不同截面的mx－my曲線幾乎相同，說明經過無量綱化的荷載等值線不受截面高寬比影響。由圖3（b）可以看到，在其他影響因素相同時，混凝土強度越高，mx－my曲線越向內收，即指數a越小，混凝土強度在C50以下時內收不明顯，但在高強混凝土階段（C60以上），內收幅度相對較大。由圖3（c）可以看到，在其他影響因素相同時，縱筋配筋特征值越大，在大偏壓階段mx－my曲線越向內收，且相差較大，但當λ≥0.3時，曲線相差不明顯。這與之前文獻的結果類似，即大偏壓階段，指數a值由軸壓比n決定，但受配筋率和混凝土強度影響；小偏壓階段則基本只與軸壓比相關。根據上述曲線特征，相對保守地取λ＝0.5，SR＝1，混凝土為C50時計算得到的nmx－my曲面作為確定指數a的基礎模型，忽略大偏壓時縱筋和混凝土的影響。借助1stOpt（1.5版）軟件對不同軸壓比水平時的指數a進行最小二乘擬合，計算結果如圖4所示，a－n的四次多項式回歸關系如下式所示：

由圖4可以看到：a－n曲線呈下凹形，參考計算結果，a的最小值在大小偏壓界限點附近取得；在小偏壓階段與歐洲規范EN 1992-1-1：2004［5］相似；但在大偏壓階段，曲線相差較大；因美國規范ACI 318-05［4］中給出的是粗略的建議值，主要依據是布雷斯勒的建議值，在某些區段取值低于式10的擬合值。針對大偏壓情況，經計算對比，曲線差異主要是布筋方式引起的，縱筋越靠近邊中點，遠離角點則a取值越小，但在本文研究的均勻布筋情況下，指數a的曲線應按圖4呈下凹形。這種大偏壓下的偏離現象在Shin［8］、Fossetti［1］及Bajaj［7］等的文獻中也有出現。

圖4 a擬合曲線及對比結果Fig.4 a curve fitting and results comparison

3.3 無量綱相關曲線n－?m擬合

經過兩主軸方向的計算分析，當縱筋配筋特征值λ相同時，軸壓比與歸一化的無量綱彎矩（n－?mk）曲線并不完全重合，如圖5（a）所示，混凝土強度越大，曲線越向內收，圖中曲線由外向內從C30過渡到C80，這與文獻［9］中所得結論有差異。但按式（11）進行混凝土強度修正后，可以近似認為n－?m曲線僅與λ相關。混凝土強度修正系數k1的取值見表3。

圖5 n－?m修正曲線Fig.5 n－?m modified curves

表3 修正系數k1Table 3 Adjusting factor k1

經混凝土強度修正后的n－?m曲線如圖6所示，實線為計算值，虛線為擬合值。n－?m曲線中，相關彎矩最大值?m0為截面高寬比SR及縱筋配筋特征值λ的函數，相對關系如圖7所示，回歸函數見式（12），k2為調整系數。

圖6 n－?m曲線的正規化處理Fig.6 Normalized n－?m curves

圖7 ?m0－λ函數關系Fig.7 ?m0－λfunctional relation

通過式（13）對圖6中的計算值曲線（實線）進行正規化處理，即將原n－0－?m坐標軸上的曲線向n′－0－?m′坐標軸上轉化，從而能以冪函數形式擬合原曲線（虛線）。假定擬合曲線關于n＝（1－λ）／2對稱，大小偏壓界限點位于對稱軸上，這與實際結果有所不同，實際界限點對應軸壓比為圖6中的ˉn，略低于對稱軸。

正規化處理后冪函數的指數γ與截面高寬比SR及縱筋配筋特征值λ的曲線關系如圖8所示，圖中圓點為擬合數據，回歸函數見式（14），擬合函數均值0.997，方差0.01。

圖8 γ－λ－SR函數關系及擬合曲面Fig.8 γ－λ－SR functional relation and the fitting surface

3.4 設計思路

基于上述強度面擬合結果，實際設計應用時可按圖9的流程進行。這里縱筋配筋率的取值是關鍵，建議可取初值為0.05，并采用二分法逐步逼近精確值。考慮到按式（13）進行曲線歸一化處理時對稱軸的近似誤差，出于安全考慮，定義

并在用于設計時限定f∈［0.90，0.95］，這樣可以保證截面實際強度面包絡設計強度面。

圖9 設計流程圖Fig.9 Design flow chart

4 擬合強度面準確性驗證

為明確前述擬合強度面的準確性，采用文獻［8，10］中的試驗數據進行強度分析，并與試驗結果進行對比，詳細的分析結果見表4。以函數f評判破壞面的準確度，其數值越接近1則擬合度越好。從表4可以看到，除第一組試驗中的試件RC-5和第二組中的MSC-B偏差略大外，擬合強度與兩組雙偏壓柱試驗結果吻合較好，這也說明按上述方法擬合雙偏壓柱強度面的做法可行，且基本滿足精度要求。

5 算 例

矩形截面柱，截面尺寸為H＝600 mm，B＝300 mm，fc＝14.3 N／mm2，fy＝360 N／mm2，軸壓力N＝1 500 kN，彎矩Mx＝120 kN·m，My＝220 kN·m，求按圖10所示方式配筋情況下單根鋼筋面積。

表4 試驗值與計算值對比表Table 4 Com parison of calculated values and the test results

圖10 均勻布筋示意圖Fig.10 Uniformly distributed reinforcement

按圖9所示流程，采用二分法選取縱筋配筋率，并進行迭代，詳見表5。迭代到第4步就得到滿足要求的配筋率，即ρ＝0.032。按此數值本例需配縱筋1225，實配筋率ρ＝0.033。

按上述計算配筋截面強度曲線與設計荷載之間的關系見圖11，考慮到計算配筋值低于實配縱筋值，以及強度驗算時出于安全考慮取0.9～0.95的折減（圖9中的判別框），所得實際承載力曲線可以包絡設計荷載。

表5 變配筋率試算表Table 5 The trial of variable reinforcement ratios

圖11 截面強度曲線與設計荷載Fig.11 Section strength curve and design load

6 結 論

由前文所述可知，采用《混凝土結構設計規范》（GB 50010—2010）中規定的混凝土和鋼筋的本構曲線，基于縱筋均勻分布的配筋方式以及荷載等值線理論，雙偏壓矩形柱的破壞面擬合曲線具有下列性質：

（1）歸一化的極限彎矩曲線的相關指數與軸壓比的函數關系a－n可用四次多項式擬合；

（2）兩主軸方向正規化的軸壓比與無量綱彎矩n－?m的關系可用冪函數擬合；

（3）設計應用時，可根據擬合無量綱函數得到要求截面的強度面，再與設計荷載對比，通過有限次迭代可求解；

（4）擬合曲線可用于高強混凝土及大高寬比扁柱截面（高寬比≤4）；

（5）通過與試驗結果的對比分析，所建議擬合曲線的精度能滿足設計要求，有助于簡化雙偏壓構件的設計過程。

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A Sim p lified Design M ethod for Uniform ly-reinforced Rectangular Columns Subjected to Axial and Biaxial Bending Forces

MA Zefeng1，2*LU Zhoudao1XU Jianli2CAIZihong2
（1.Research Institute of Structural Engineering and Disaster Reduction，Tongji University，Shanghai200092，China；2.Shanghai Institute of Architectural Design and Research，Shanghai200041，China）

Based on the load contourmethod，a series of section analysis of uniformly-reinforced rectangular RC columnswere performed under the guidance ofmulti-factor and multi-level orthogonal parameter strategy.The polynomial relation between the exponent value of the dimensionlessmoment contour and the axial load ratio was statistically fitted.By introducing the dimensionless quantity?m in the principal axis direction，the variation relation ofmoment capacity over axial load ratio was decoupled.A simplified design method was proposed and also verified with existing experiment data.Finally，the design procedure was illustrated through an example.The proposed simplified method is of high precision and computational efficiency，and applicable to engineering design.

axial load and biaxial bending，load contourmethod dimensionless，related index

2013－11－05

*聯系作者，Email：mazf＠siadr.com.cn