考慮矩震級影響的位移譜阻尼調整系數

王國弢 胡克旭 雷 敏

（同濟大學結構工程與防災研究所，上海200092）

考慮矩震級影響的位移譜阻尼調整系數

王國弢*胡克旭 雷 敏

（同濟大學結構工程與防災研究所，上海200092）

基于408條地震地面運動記錄統計分析，首先研究了矩震級（Mw）對位移譜阻尼調整系數（DSF）的影響。結果表明：Mw對DSF的影響與周期（T）和阻尼比（ξ）有關；在T＞0.6 s的范圍內，當ξ＜5%時，DSF隨著Mw的增長而增長；當ξ＞5%時，DSF隨著Mw的增長而減小。隨著T的增長，Mw對DSF的影響越顯著；ξ越遠離5%，Mw對DSF的影響越顯著。在T＜0.6 s的范圍內，Mw對DSF無顯著影響；當Mw＝5～6時，DSF受T的影響顯著；隨著Mw的增大，在T＞～0.6 s范圍內，DSF受T的影響逐漸減弱；當Mw＝7～8時，在T＞0.6 s范圍內，除阻尼比為0.5%和1%的DSF外，DSF基本不隨T而變化；DSF相對于ξ存在異方差性。然后提出了只考慮周期和阻尼比影響的DSF回歸方程，計算出在指定周期和阻尼比處的殘差，根據在長周期處該回歸方程的殘差隨Mw顯直線分布，最后提出了包含線性矩震級項的DSF回歸模型并給出了模型的回歸系數。該模型的殘差隨Mw和相對能量持時（D5-95）的分布表明：模型能體現Mw對DSF的影響，能間接地體現D5-95對DSF的影響。模型的標準差能體現DSF相對于ξ的異方差性。

矩震級，阻尼調整系數，周期，阻尼比，重要持時

Keywordsmomentmagnitude，damping scaling factor，period，damping ratio，significant duration

1 引 言

在結構的抗震設計中需要不同阻尼比下的彈性反應譜。一般可采用兩種方法來獲得不同阻尼比下的彈性反應譜：①直接形成不同阻尼比下的反應譜預測方程；②采用阻尼調整系數將5%阻尼比的彈性反應譜調整到不同于5%阻尼比的彈性反應譜。各國抗震規范中普遍采用的是第二種方法。對于不同的反應譜，有不同的阻尼調整系數，本文所研究的阻尼調整系數為位移譜阻尼調整系數。近年來，對阻尼調整系數的研究表明：矩震級對阻尼調整系數有顯著的影響；但中國和歐美現行抗震規范［1-6］中提供的阻尼調整系數只與阻尼比和結構自振周期有關或僅與阻尼比有關，不能反映矩震級對阻尼調整系數的影響。到目前為止，已有許多學者對阻尼調整系數進行了研究。Ashour［7］、Tolis和Faccioli［8］及Priestley［9］提出了僅考慮阻尼比影響的阻尼調整系數回歸模型；Newmark和Hall［10］、Wu和Hanson［11］及Idriss［12］提出了考慮阻尼比和周期影響的阻尼調整系數回歸模型。Lin和Chang［13］研究了場地條件對阻尼調整系數的影響，并提出了考慮阻尼比、周期和場地條件影響的阻尼調整系數回歸模型。以上研究者所提出的回歸模型均沒有考慮矩震級對阻尼調整系數的影響。Bommer和Mendis［14］研究了矩震級對阻尼調整系數的影響，對阻尼比大于5%的情況，提出了阻尼調整系數隨矩震級和觀測點到斷層面最近距離的增大而減小的結論；Cameron和Green［15］認為阻尼調整系數與地震動的頻譜特性和持時有關并且他們將地面運動記錄分別按地質構造環境、場地條件和震級進行分組，以表格的形式列出了在指定阻尼比和周期處的阻尼調整系數的中值和標準差，但他們均沒有提出一個簡單統一的能反映矩震級影響的回歸模型。本文的研究目的是提出一個簡單統一的阻尼調整系數回歸模型并在模型中包含矩震級這個變量，使該模型能體現矩震級對阻尼調整系數的影響。此外，根據Kempton和Stewart［16］，持時與矩震級有正的強相關性，所以包含了矩震級的回歸模型還可以間接體現持時對阻尼調整系數的影響。本文所采用的持時為相對能量持時D［17］5-95。

2 地面運動加速度時程記錄

在本文的研究中使用了408條地震地面運動記錄，這些地面運動記錄下載于太平洋地震工程研究中心的強震數據庫（http：／／peer.berkeley.edu／peer ground motion database）。地面運動記錄的相對能量持時（D5-95）分布在1.4 s～80.3 s之間，矩震級（Mw）分布在5～7.62之間，觀測點到斷層破裂面的最近距離（Rrup）分布在0.1 km～100 km之間，地表厚度30 m內平均剪切波速（Vs30）分布在116.3 m／s～2 016.1 m／s之間，峰值地面加速度（PGA）分布在0.004 7 g～1.434 5 g之間。圖1表明了本文所用記錄的Mw和Rrup的分布。

圖1 Mw—Rrup分布Fig.1 Magnitude Vs.distance distribution

3 矩震級對阻尼調整系數的影響

式中，DSF代表位移譜阻尼調整系數；ξ代表阻尼比；T代表單自由度體系的自振周期；SD（ξ，T）和PSA（ξ，T）分別是ξ≠5%，周期為T時彈性單自由度體系的位移譜值和擬加速度譜值；SD（5%，T）和PSA（5%，T）分別是ξ＝5%，周期為T時彈性單自由度體系的位移譜值和擬加速度譜值。

本文采用軟件SeismoSignal對每條輸入地震波分別計算了11個阻尼比下位移譜。11個阻尼比分別為0.5%、1%、2%、3%、5%、7%、10%、15%、20%、25%和30%。對每個阻尼比，單自由度體系取如下20個周期：0.02 s、0.04 s、0.06 s、0.08 s、0.1 s、0.14 s、0.2 s、0.24 s、0.3 s、0.4 s、0.5 s、0.6 s、0.8 s、1 s、2 s、3 s、4 s、5 s、7.5 s和10 s。然后再根據式（1），對每條輸入地震波可求

位移譜阻尼調整系數被定義為得各阻尼比下的位移譜阻尼調整系數。

為了研究Mw對DSF的影響，本文將地面運動記錄按Mw分為三組，分組情況見表1。

表1 地面運動記錄分組Table 1 Groups of ground motion records

圖2表明了ξ＝0.5%、2%、7%和25%時，Mw對DSF中值的影響；圖3表明了ξ＝1%、3%、10%和30%時，Mw對DSF中值的影響。由圖2和圖3可見，Mw對DSF的影響可歸納為以下幾點：

（1）Mw對DSF的影響與T和ξ有關；在T＞0.6 s的范圍內，當ξ＜5%時，DSF隨著Mw的增長而增長；當ξ＞5%時，DSF隨著Mw的增長而減小.

（2）隨著T的增長，Mw對DSF的影響越顯著；ξ越遠離5%，Mw對DSF的影響越顯著。在T＜0.6 s的范圍內，Mw對DSF無顯著影響.

（3）當Mw＝5～6時，DSF受T的影響顯著；隨著Mw的增大，在T＞0.6 s范圍內，DSF受T的影響逐漸減弱；當Mw＝7～8時，除阻尼比為0.5%和1%的DSF外，在T＞0.6 s范圍內，DSF基本不隨T而變化。

圖2 Mw對DSF中值的影響（ξ＝0.5%、2%、7%和25%）Fig.2 Influence of Mwon themedian DSF（ξ＝0.5%、2%、7%and 25%）

圖3 Mw對DSF中值的影響（ξ＝1%、3%、10%和30%）Fig.3 Influence of Mwon themedian DSF（ξ＝1%、3%、10%和30%）

圖4 給出了T＝1 s時，Mw與DSF之間的統計關系，圖中直線為Mw和DSF的線性擬合線。由圖4也可見：Mw對DSF的影響與ξ有關。此外，圖4還表明了DSF相對于ξ的異方差性。隨著ξ越遠離5%，DSF的離散程度越大。DSF相對于ξ的異方差性將在后面的方差模型中考慮。

圖4 Mw對DSF的影響Fig.4 Influence of Mwon DSF

綜上所述，Mw對DSF有顯著的影響，所以在DSF的回歸模型中應考慮Mw的影響。

4 DSF的概率分布

通?？梢哉J為PSA服從對數正態分布，對式（1）兩邊取自然對數有：

由式（2）可知，如果PSA（ξ，T）與PSA（5%，T）不相關，則ln（DSF（ξ，T））服從正態分布，DSF服從對數正態分布。但是，PSA（ξ，T）與PSA（5%，T）是相關的，所以在理論上DSF并不嚴格服從對數正態分布。根據對本文數據的分析，在T∈［0.1，7.5］的范圍內，ln（DSF（ξ，T））與正態分布曲線擬合得較好。圖5給出了ξ＝2%時，在T＝0.2 s和1 s處，ln（DSF）數據點的直方圖、累積分布函數曲線圖及相應的正態分布函數的擬合結果，圖中CDF表示累積分布函數（cumulative distribution function），PDF表示概率密度函數（probability density function）。在此周期范圍外，擬合結果并不理想。

綜上，本文假設在指定的周期和阻尼比處，DSF近似服從對數正態分布，并取回歸模型為

ln（DSF）＝μ（ξ，T，Mw）＋?（3）式中，μ（ξ，T，Mw）為ln（DSF）的期望；?代表隨機誤差且?服從正態分布N（0，σ2）；σ2為方差。

圖5 ln（DSF）的分布和擬合曲線Fig.5 Distribution of ln（DSF）and fitted curve

5 建立回歸模型

5.1 回歸方程μ（ξ，T，Mw）

首先設回歸方程僅是ξ和T的函數，取回歸模型為

在指定周期Ti和阻尼比ξj處，μ（ξj，Ti）的估計值為

其中，ln［DSF（ξj，Ti）k］為在Ti和ξj處ln（DSF）的第k個數據值，n＝408為數據總數；在Ti和ξj處，第k個數據與回歸方程的殘差［Δ（ξj，Ti）］k為

按式（6）可求出在ξj和Ti處每個數據與回歸方程的殘差，然后可作出殘差相對于Mw和D5-95的分布。圖6和圖7給出了在T＝0.1 s和3 s處，ξ＝2%和20%時，殘差相對于Mw和D5-95的分布。分別將計算出的殘差按Mw和ln（D5-95）各分為9組。按Mw分組的情況為：5≤Mw＜5.3、5.3≤Mw＜5.6、5.6≤Mw＜5.9、5.9≤Mw＜6.2、6.2≤Mw＜6.5、6.5≤Mw＜6.8、6.8≤Mw＜7.1、7.1≤Mw＜7.4和Mw≥7.4。

按ln（D5-95）分組的情況為ln（D5-95）＜1.7、1.7＜ln（D5-95）＜2、2＜ln（D5-95）＜2.3、2.3＜ln（D5-95）＜2.6、2.6＜ln（D5-95）＜2.9、2.9＜ln（D5-95）＜3.2、3.2＜ln（D5-95）＜3.5、3.5＜ln（D5-95）＜3.8和ln（D5-95）＞3.8。

圖中黑色方框代表每組殘差的均值，黑線為均值的連線，表明了殘差隨Mw和D5-95的分布。根據殘差分析可知：在短周期處（如T＝0.1 s），各阻尼比下的殘差基本隨機對稱的分布于零水平線的兩側（見圖6和圖7），這表明了在短周期處Mw及D5-95對DSF沒有顯著的影響；在長周期處（如：T＝3 s），各阻尼比下的殘差相對于Mw近似顯直線分布，相對于D5-95顯曲線分布，這表明了在長周期處Mw及D5-95對DSF有顯著的影響。以上通過殘差分析所反映的Mw對DSF的影響是與前文的分析結果是相一致的。

圖6 殘差相對于Mw的分布Fig.6 Residuals vs.Mw

圖7 殘差相對于D5-95的分布Fig.7 Residuals vs.D5-95

為了改善長周期處殘差相對于Mw的分布，在指定周期點Ti處，本文將回歸方程取為Mw的線性函數：

在指定周期點Ti處，回歸過程分為以下兩步。

第一步：在Ti處，用最小二乘法回歸出式（7）中在指定阻尼比ξj處，主系數的估計值（＾c0（ξj，Ti）和＾c1（ξj，Ti））。

對11個阻尼比重復上述過程，可獲得所有阻尼比處主系數的估計值。

第二步：在Ti處，采用y＝a＋b lnξ＋c（lnξ）2的函數形式來擬合主系數的估計值與ξ之間的關系（ξ取為百分號中的數值，例如，當阻尼比為5%時，取ξ＝5，以下各方程中均類同）。設

以11個阻尼比處主系數的估計值為數據點，分別對式（8）和式（9）執行回歸分析，可求得式（8）和式（9）中次系數的估計值（如＾b0（Ti）、＾b1（Ti）和＾b2（Ti）等）。圖8給出了在T＝0.1 s和3 s處，式（8）和式（9）的擬合結果。對20個周期點重復上述回歸過程，可獲得所有周期點處的回歸方程。在Ti處的回歸方程如下式：

表2給出了20個周期點處回歸系數的估計值。其余周期點處回歸系數的估計值可由線性插值確定。在Ti和ξj處，第k個數據與回歸方程的殘差為：

按式（11）求出在ξj和Ti處每個數據與回歸方程的殘差，然后可作出殘差相對于Mw和D5-95的分布。圖9和圖10給出了在T＝0.1 s和3 s處，ξ＝2%和20%時，殘差相對于Mw和D5-95的分布。根據殘差分析可知：在短周期處（如T＝0.1 s），采用式（11）的回歸方程對殘差相對于Mw和D5-95的分布無明顯影響（將圖6、圖7與圖9、圖10對比可知），再次說明在短周期處Mw和D5-95對DSF無顯著影響，各阻尼比的殘差隨機對稱的分布于零水平線的兩側；在長周期處（如T＝3 s），采用式（10）的回歸方程使得殘差相對于Mw不再具有直線分布，各阻尼比下的殘差隨機對稱的分布于零水平線的兩側（見圖9），這說明了本文回歸模型的合理性且能反映出長周期處Mw對DSF的影響；此外，采用式（10）的回歸方程極大地改善了長周期處殘差相對于D5-95的分布（對比圖7和圖10），間接地反映了D5-95對DSF的影響。圖11給出了在ξ＝0.5%、2%、7%、15%和25%處，按本文模型（取Mw＝6.5）所計算的DSF中值與本文數據（Mw＝6～7）所計算的DSF中值的對比。由圖可見，兩者吻合得較好。

現以一算例進一步說明所建議模型的有效性及模型中考慮矩震級影響的必要性。對于基地隔震結構，當上部結構的抗側剛度遠大于隔震層的抗側剛度時，可將其簡化為一單自由度體系。設有一基地隔震結構，上部結構的抗側剛度遠大于隔震層的抗側剛度，基本周期為3 s，阻尼比為30%。該結構可簡化為自振周期為3 s，阻尼比為30%的單自由度體系。當該體系遭受表1中矩震級Mw＝7～8的地面運動記錄激勵時，通過分析可求得該體系精確的阻尼調整系數中值為0.488（圖3）。對式（5）取指數，可求得不考慮矩震級影響的阻尼調整系數模型的阻尼調整系數中值為0.579。取Mw＝7.5，采用本文所建議的考慮矩震級影響的阻尼調整系數模型所求得的阻尼調整系數中值為0.48。由上述計算可見：采用不考慮矩震級影響的阻尼調整系數模型計算的阻尼調整系數中值所產生的誤差為＋18.6%（“＋”代表高估）；采用本文建議的考慮矩震級影響的阻尼調整系數模型計算的阻尼調整系數中值所產生的誤差僅為－1.6%（“－”代表低估），在工程允許的誤差范圍內。以上分析說明了考慮矩震級對阻尼調整系數影響的必要性，尤其對于長周期大阻尼比的結構，不考慮矩震級的影響將帶來較大的誤差，也說明了本文模型的有效性和優越性。

圖8 ＾c0，＾c1和擬合曲線Fig.8 ＾c0，＾c1and fitted curve

圖9 殘差相對于Mw的分布Fig.9 Residuals vs.Mw

表2 模型回歸系數（×10-2）Table 2 Regression coefficients for themodel（×10-2）

圖10 殘差相對于D5-95的分布Fig.10 Residuals vs.D5-95

圖11 本文模型和數據的DSF中值對比Fig.11 Comparison on median DSF between the model and data

5.2 標準差σln（DSF）

對于一元線性方程，在Ti和ξj處，＾σlnDSF（ξj，Ti）的無偏估計可用下式［18］計算：在指定的Ti處，用式（12）可求得11個阻尼比處

標準差的估計值。在Ti處，本文采用的函數形式來擬合標準差的估計值與ξ之間的關系。?。?/p>

圖12給出了在T＝0.1 s和3 s處式（13）的擬合結果。由圖可見，DSF相對于ξ存在異方差性。隨著ξ越遠離5%，DSF的離散程度越大。這與前文的分析結果是一致的。各周期點處回歸系數的估計值列于表2。

圖12 ＾σln（DSF）和擬合曲線Fig.12 ＾σln（DSF）and fitted curve

6 結 論

基于408條地震地面運動記錄，本文研究了Mw對DSF的影響，并在此基礎上提出了考慮Mw影響的回歸模型，得出以下結論：

（1）Mw對DSF的影響與T和ξ有關；在T＞0.6 s的范圍內，當ξ＜5%時，DSF隨著Mw的增長而增長；當ξ＞5%時，DSF隨著Mw的增長而減小。隨著T的增長，Mw對DSF的影響越顯著；ξ越遠離5%，Mw對DSF的影響越顯著。在T＜0.6 s的范圍內，Mw對DSF無顯著影響；

（2）當Mw＝5～6時，DSF受T的影響顯著；隨著Mw的增大，在T＞0.6 s范圍內，DSF受T的影響逐漸減弱；當Mw＝7～8時，除ξ＝0.5%和1%外，在T＞0.6 s范圍內，DSF基本不隨T而變化。

（3）DSF相對于ξ存在異方差性；ξ越遠離5%，DSF的離散程度越大。

（4）本文所提出的回歸模型能體現Mw對DSF的影響，及DSF相對于ξ的異方差性，也能間接地體現D5-95對DSF的影響。

［1］ 中華人民共和國住房和城鄉建設部.GB 50011—2010建筑抗震設計規范［S］.北京：中國建筑工業出版社，2010.Ministry of Housing and Urban-Rural Department of the People’s Republic of China.GB 50011—2010 Code for seismic design of buildings［S］.Beijing：China Architecture and Building Press，2010.（in Chinese）

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Damping Scaling Factor w ith a Consideration of Influence of M oment M agnitude

WANG Guotao*HU Kexu LEIMin
（Resecnch Institute of Struetural Engineering and Disaster Reduction，Tongji University，Shanghai200092，China）

The influence ofmomentmagnitude（Mw）on damping scaling factor（DSF）was firstly investigated based on the statistical analysis of408 earthquake ground motion records.It is showed that the effect of Mwon DSF depends on period of vibration（T）and damping ratio（ξ）.The DSF increases as Mwincreases for the periods greater than about0.6 s ifξ＜5%，but it decreases ifξ＞5%.The pattern with Mwismuchmore significant as T increases orξdeviates from 5%.Almostno pattern with Mwis seen for the periods less than about 0.6 s.DSF is significantly affected by T when Mw＝5～6.The influence of T on DSF becomes less significant with the increase of Mwfor the periods greater than about 0.6 s.When Mw＝7～8 DSF does not basically change with T within the range of periods greater than 0.6 s except DSF corresponding to 0.5%and 1% damping.The heteroscedasticity in the DSF with respect toξexists.Then DSF regression equation was proposed that only depends on T andξand equation residualswas calculated at specified T andξ.Finally according to the residual plots showing an almost linear relationship with Mwat long periods，the regressionmodel that includes a linearmagnitude term was proposed and regression coefficients were tabulated.Residual analysis shows that the proposed model can reflect the influence of Mwon DSF and can indirectly reflect the influence of significant duration（D5-95）on DSF.The standard deviation of themodel can reflect heteroscedasticity in the DSF with respect toξ.

2013-06-17

國家科技支撐計劃重點項目（2009BAJ28B02）*聯系作者，Email：802212wgt＠tongji.edu.cn