一種直邊緣物體寬度的圖像測量法

張鐵英，白福忠，宋小燕，武建新，甘世明

（內蒙古工業大學機械學院，內蒙古呼和浩特010051）

一種直邊緣物體寬度的圖像測量法

張鐵英，白福忠，宋小燕，武建新，甘世明

（內蒙古工業大學機械學院，內蒙古呼和浩特010051）

提出一種基于方向功率譜與投影梯度的直邊緣物體寬度測量方法，通過對目標圖像功率譜進行極坐標變換得到方向功率譜，并由此計算出直邊緣物體的伸展方向；然后對原始圖像按照該伸展方向進行灰度投影，并由投影梯度結果得到待測寬度。該方法無需對目標圖像進行邊緣檢測、閾值分割等預處理操作，因而測量結果更加準確、可靠，且計算量較小、測量效率高。數值模擬與實驗結果表明，本文所提方法能夠保證1像素的測量精度，且物體長度方向的幾何尺寸不影響寬度測量結果。

寬度測量；方向功率譜；投影梯度

1 引 言

在工程實際中存在著大量的直邊緣物體，如板材、方槽、紙張以及一些矩形精密零件，并且均需要對其寬度進行精確測量。對于傳統接觸式測量方法，主要存在測量精度不高、測量過程繁瑣等缺陷，且不適用于精密零件以及柔性物體的測量［1］。近年來，隨著機器視覺理論與計算機技術的發展，視覺測量技術已成為非接觸測量領域最具發展潛力的新技術，由于具有非接觸、高速率、動態范圍大、結果可靠等優點，非常適合于傳統方法難以適用的場合［2］。

目前，基于機器視覺的直邊緣物體寬度測量方法，需要對目標圖像進行邊緣檢測與細化處理，得到1像素寬的輪廓圖像，然后利用Hough變換進行直線檢測，進而得到圖像中物體寬度，如文獻［3］～［5］中的方法均利用了該方案；該方法處理步驟較多，計算量大，測量效率不高，實用性差；另外，處理過程中用到閾值處理，當閾值選取不當時將導致邊緣檢測不準確，測量可靠性與精度受到影響。基于灰度投影積分法的直線檢測方法［6］，避免了傳統測量方法中閾值處理問題，但是需要對圖像按照不同角度進行方向投影，計算量大；并且投影時選取的角度步長對測量精度與速度有很大影響。

本文基于方向功率譜與投影梯度理論，提出一種直邊緣物體寬度的圖像測量法，首先對圖像功率譜進行極坐標變換得到方向功率譜，計算出直邊緣物體的伸展方向，即直邊緣與水平方向之間的夾角；然后對原始圖像在該伸展方向上進行灰度投影，并根據投影梯度結果計算出物體寬度。

2 方法原理

本文所提方法主要包括下面兩個技術步驟。

2.1 基于方向功率譜的直邊緣物體伸展方向計算

2.1.1 二維離散傅里葉變換的位移性和旋轉性

一幅M×N像素的數字圖像f（x，y）的二維離散傅里葉變換（DFT）以及功率譜分別表示為：

二維DFT的位移性表明，空域圖像產生位移時，僅會導致頻域中相位發生變化，而位移前后圖像具有相同的功率譜，并且功率譜的零頻總會位于功率譜圖像的中心位置。其次，二維DFT的旋轉性表明，空域圖像旋轉某一角度，其功率譜旋轉相同的角度［7］。同時，對于直邊緣物體，其空域圖像中直邊緣的法線方向對應于功率譜中局部最大能量的延伸方向。基于以上討論，可以根據下面引入的方向功率譜來計算直邊緣物體的伸展方向。

2.1.2 方向功率譜以及物體伸展方向計算

為了從功率譜中計算出對應直邊緣物體的伸展方向，需要以功率譜圖像中心為原點，對每一給定大小扇角內的能量進行累加求和，以尋找局部最大能量的延伸方向。為了簡化求解過程，將笛卡爾坐標系下表示的功率譜轉化到極坐標系中，變換公式表示為［8］：

式中，u，v和r，φ分別表示笛卡爾坐標系和極坐標系下的坐標變量。r的物理意義是指笛卡爾坐標系中某一點u，()v相對于原點所形成矢量的幅值；φ表示該矢量的幅角，當φ≥180°時，φ＝φ－180。二維DFT的共軛對稱性說明功率譜相對于原點對稱；因此，φ的取值位于0°～179°。通過極坐標變換將笛卡爾坐標系中相對于原點的旋轉量轉化為極坐標系中沿φ軸的平移量［9］。

如圖1所示功率譜極坐標變換示意圖中，笛卡爾坐標系中一點對應于極坐標系中一點，二者的位置關系由公式（3）所決定；笛卡爾坐標系中的圓（圓心位于坐標原點）映射為極坐標系中沿φ軸的直線（水平線）；笛卡爾坐標系中經過原點的斜線映射為極坐標系中沿r軸的直線（縱向線）［10］。

圖1 功率譜極坐標變換示意圖

將極坐標系下的功率譜按縱向進行累加，得到：

E(φ)表示每一幅角方向上的能量分布，即方向功率譜；而方向功率譜最大值Emax對應的φ值則對應于直邊緣的法線方向，將其減去90°即可得到直邊緣物體的伸展方向。

2.2 基于灰度投影梯度的直邊緣物體寬度測量

數字圖像f（x，y）在某一方向上的灰度投影公式表示為：

式中，x′＝x cosα－y sinα，y′＝x sinα＋y cosα，α為投影方向與x軸之間的夾角；當α＝0°和90°時，分別表示水平投影和垂直投影。于是，水平投影的表達式為：

水平投影與方向投影示意圖如圖2所示，圖中f（x，y）表示原始圖像，R0為水平投影，Rα為沿x′軸方向的投影。

由于圖像中目標與背景的灰度存在明顯差異，反映在方向投影曲線中將出現較大階躍變化，這種變化可以通過梯度運算來檢測。方向投影Rα的梯度由一階導數（即差分）來得到：

圖2 灰度投影及其梯度示意圖

圖2 右圖中Gα為方向投影Rα的梯度，由圖可見，投影梯度曲線中出現明顯的峰值，同時峰值點位置與直邊緣相對應；而峰值點位置之差即為待測直邊緣物體的寬度。

3 方法精度分析

通過計算機仿真設計一系列大小為128×128像素的圖像，圖像中均包含一個大小為30×90像素的矩形圖案。第一幅圖像中矩形圖案水平放置，即矩形圖案的長邊沿水平方向；之后每一幅圖像中的矩形圖案依次順時針旋轉5°，旋轉范圍為0°～175°。然后按照2.1節介紹的方法計算每一幅圖像的方向功率譜，其中一幅矩形圖案旋轉角度為5°的仿真圖像及其功率譜、功率譜極坐標變換結果與方向功率譜如圖3所示。

進一步確定每一幅仿真圖像對應方向功率譜的最大值出現的位置，從而計算出相應圖像中所含矩形圖案的伸展方向。例如，圖3（d）所示方向功率譜中最大值Emax所對應的φ值等于94.91°；將其減去90°后的結果為4.91°，該數值即為圖3（a）所含矩形圖案的伸展方向。計算結果與給定的理論旋轉角度之差表示伸展方向計算誤差，結果如圖4所示。圖4顯示，伸展方向的最大計算誤差等于0.2°。該數值仿真過程給出了方向功率譜法的計算精度。

圖3 仿真圖像及其方向功率譜計算圖示

圖4 伸展角度計算誤差

根據計算出的伸展角度，對原始仿真圖像進行方向投影并計算投影梯度，由此可以得到仿真圖像中矩形圖案的寬度值。其中，圖3（a）所示仿真圖像的方向投影與投影梯度如圖5所示。根據投影梯度法測量出所有仿真圖像所含矩形圖案的寬度均等于30像素，該測量結果與給定理論數據完全吻合。

圖5 圖3（a）所示仿真圖像的方向投影與投影梯度

此外，我們設計了三種不同長度的矩形圖案，其大小分別為30×60像素、30×150像素和30×210像素，生成的仿真圖像大小均為256×256像素；矩形圖案的理論旋轉角度均設為－25°；在伸展方向計算誤差為0.2°的情況下，計算仿真圖像的灰度投影梯度，以驗證直邊緣物體長度對灰度投影梯度法的影響。經過計算，長度不同的三個矩形圖案的寬度測量結果均等于30像素。

上述精度分析結果說明，本文所提方法的伸展方向計算誤差為0.2°、能夠保證1像素的尺寸測量精度，并且待測直邊緣物體幾何尺寸不影響寬度測量結果。

4 直邊緣物體寬度測量實驗

實驗中對一個槽型物體進行寬度測量，為了體現測量方法的有效性，專門將槽型物體與x軸方向保持一個傾斜角度，實驗圖像如圖6（a）所示。由圖6（b）所示實驗圖像的方向功率譜計算出的物體伸展方向等于－13.3°。圖6（c）和圖6（d）分別表示實驗圖像的方向投影與投影梯度，由投影梯度曲線的兩個峰值所對應的位置計算出槽型物體寬度等于125像素。

圖6 槽型物體寬度實驗測量結果

使用圓形標定板以及文獻［11］所提出的視覺系統自標定方法對光學系統進行標定，標定結果為0.110 mm／像素。于是，該物體寬度等于13.750 mm。另外，使用千分尺對該槽型物體的寬度進行測量，10次測量結果的算術平均值等于13.770 mm。

5 結 論

本文基于方向功率譜與投影梯度理論，提出一種直邊緣物體寬度的圖像測量法，并對其原理與精度進行詳細分析。理論分析結果表明，本文所提方法能夠保證1像素的測量精度，且物體長度方向的幾何尺寸不影響寬度測量結果。同時，對該方法的測量精度與有效性進行實驗驗證，實驗結果同樣表明本方法在測量準確性與可靠性方面具有很好的優勢。

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Imagemeasuring method for w idth of straight-edge object

ZHANG Tie-ying，BAIFu-zhong，SONG Xiao-yan，WU Jian-xin，GAN Shi-ming
（College of Mechanical Engineering，Inner Mongolia University of Technology，Hohhot010051，China）

A method tomeasure the width of straight－edge object is presented，which is based on directional power spectrum and projection gradient.The directional power spectrum is obtained through polar transformation to power spectrum of the target image，and thus the extending direction of the straight－edge object is calculated.Then the gray projection of the original image is executed along the extending direction，and thewidth value is obtained according to the projection gradient.The proposed method does not require some preprocessing operations such as edge detection and threshold segmentation，and hence itsmeasuring result ismore accurate and reliable.In addition，the proposed method holds low calculation and high measuring efficiency.The results of numerical simulation and experiment show that the proposedmethod can ensure themeasurement precision with one pixel and the length dimension of the object to bemeasured has no effect on the width measuring result.

width measurement；directional power spectrum；projection gradient

TP391.41

A

10.3969／j.issn.1001-5078.2014.02.0

1001-5078（2014）02-0222-05

國家自然科學基金（No.61108038）；內蒙古自然科學基金（No.2011BW0701）；教育部“春暉計劃”科研項目（No.Z2011069）資助。

張鐵英（1989－），女，碩士研究生，主要從事機器視覺及信號處理方面的研究。E-mail：zhangtieying52＠126.com

2013-09-23；

2013-10-17