有色噪聲條件下的卡爾曼濾波

陳 方，吳小役，劉文逸，劉 芳

（西北機(jī)電工程研究所 第六研究室，陜西 咸陽(yáng)712099）

卡爾曼（Kalman）濾波技術(shù)［1］誕生于20世紀(jì)60年代，是現(xiàn)代控制理論發(fā)展過(guò)程中產(chǎn)生的一種最優(yōu)估計(jì)技術(shù)，是在動(dòng)態(tài)噪聲和觀測(cè)噪聲均為白噪聲條件下推導(dǎo)出來(lái)的。其核心思想［2］是根據(jù)當(dāng)前數(shù)據(jù)和前一時(shí)刻的諸量估計(jì)值，依據(jù)遞推公式，計(jì)算出新的諸量估計(jì)值。卡爾曼濾波實(shí)際是對(duì)隨時(shí)間變化的參數(shù)估計(jì)的一種順序最小二乘逼近，特別適用于動(dòng)態(tài)測(cè)量。

目前，卡爾曼濾波技術(shù)已經(jīng)廣泛應(yīng)用在導(dǎo)航，數(shù)據(jù)融合技術(shù)，控制技術(shù)等領(lǐng)域，特別是在計(jì)算機(jī)圖像處理方面，臉部識(shí)別，圖像邊緣處理中大都采用卡爾曼濾波技術(shù)［3］。而在實(shí)際工程當(dāng)中，經(jīng)常會(huì)遇到有色噪聲。對(duì)于卡爾曼濾波，需要同時(shí)考慮有色動(dòng)態(tài)噪聲和有色觀測(cè)噪聲的雙重影響。現(xiàn)有的處理方法，大都是采用白噪聲驅(qū)動(dòng)下的有色卡爾曼濾波技術(shù)，就是將有色噪聲進(jìn)行白化處理，即表達(dá)成白噪聲函數(shù)［4］，再進(jìn)行濾波。或者通過(guò)差分、差分組合或加大采樣間隔的方法來(lái)消除或減弱動(dòng)態(tài)序列的有色噪聲影響，若要減弱有色觀測(cè)噪聲，采用增廣狀態(tài)方程，即將有色噪聲作為模型狀態(tài)參數(shù)，與更正的狀態(tài)參數(shù)一起求解［5－6］。這樣也很難消除有色噪聲的影響，還可能會(huì)造成濾波發(fā)散或者結(jié)果失真。

在卡爾曼濾波基本方程的基礎(chǔ)上，通過(guò)增加計(jì)算噪聲相鄰歷元間的協(xié)方差，利用線性變化，推導(dǎo)出了有色噪聲條件下的卡爾曼濾波方程，最后通過(guò)Matlab仿真進(jìn)行驗(yàn)證。

1 卡爾曼濾波技術(shù)及有色噪聲

卡爾曼濾波技術(shù)的原理是考慮一個(gè)隨時(shí)間變化的參數(shù)向量（即狀態(tài)向量），通過(guò)一個(gè)線性系統(tǒng)（即觀測(cè)方程），可以測(cè)得一組在不同時(shí)刻下與參數(shù)相對(duì)應(yīng)的參數(shù)值。如果能夠建立一個(gè)參數(shù)的確定性和不確定性隨時(shí)間變化的模型（即系統(tǒng)模型），卡爾曼濾波就可以在任何時(shí)刻下對(duì)狀態(tài)矢量進(jìn)行估計(jì)，而且，它對(duì)狀態(tài)矢量的估計(jì)是無(wú)偏的，方差最小的。

線性隨機(jī)系統(tǒng)［1］

式中xk＋1為k＋1時(shí)刻的狀態(tài)向量，νk為k時(shí)刻系統(tǒng)觀測(cè)量。Ak、Γk和Ck分別是n×n、n×p、q×n已知常值矩陣，且1≤p，q≤n。基于初始條件E（x0）和D（x0），xk的線性無(wú)偏最小方差估計(jì)

式中

且｛βk｝和｛γk｝是不相關(guān)的零均值高斯白噪聲序列，滿足

其中Mk－1和Nk－1為已知的p×p和q×q常值矩陣。若噪聲序列｛εk｝和｛ηk｝滿足上述條件，則稱為有色噪聲過(guò)程［1］。

2 有色動(dòng)態(tài)噪聲的處理

卡爾曼濾波是基于系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型和觀測(cè)序列來(lái)求解狀態(tài)向量估計(jì)的算法，其函數(shù)模型和隨機(jī)模型為［1］

已知

其中Xk為k時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)，Ak為系統(tǒng)參數(shù)陣，Γk為噪聲驅(qū)動(dòng)陣，εk為動(dòng)態(tài)噪聲，Vk為k時(shí)刻實(shí)際量測(cè)值，Ck為量測(cè)系統(tǒng)參數(shù)陣，ηk為觀測(cè)噪聲。

卡爾曼濾波基本方程［1］

式中

在方程中，εk和ηk為互不相關(guān)均值為零的白噪聲。是濾波估計(jì)值，是一步預(yù)測(cè)量，PXk是協(xié)方差更新矩陣，PXk，k－1是一步預(yù)測(cè)協(xié)方差矩陣，Gk是狀態(tài)增益陣。

若動(dòng)態(tài)噪聲εk和εj的協(xié)方差不等于零，則εk、ε2、…、εn為有色噪聲序列。考慮動(dòng)態(tài)噪聲εk與相鄰歷元噪聲εk－1、εk＋1相關(guān)，不相鄰的歷元噪聲不相關(guān)，則動(dòng)態(tài)噪聲的協(xié)方差矩陣為分塊三對(duì)角矩陣

其中a1，a2，…，an－1為相鄰歷元?jiǎng)討B(tài)噪聲間協(xié)方差值。

假設(shè)卡爾曼濾波基本方程初始狀態(tài)

且X0與｛εk｝，｛ηk｝都不相關(guān)。測(cè)量k－1次后，可得到的估計(jì)值，根據(jù)動(dòng)態(tài)方程可以預(yù)測(cè)第k次計(jì)算的狀態(tài)值。因?yàn)镋（εk）＝0，則的一步預(yù)測(cè)合理值為

假設(shè)

式（4）兩邊減去Xk即

可得

則有

由于

則式（7）中

有色噪聲濾波公式就化為白噪聲條件下的卡爾曼濾波公式。因此可以認(rèn)為，動(dòng)態(tài)噪聲為白噪聲條件下的卡爾曼濾波是動(dòng)態(tài)噪聲為有色噪聲條件下卡爾曼濾波的特殊情況。

3 有色觀測(cè)噪聲的處理

如果觀測(cè)噪聲的協(xié)方差不為零，則觀測(cè)噪聲為有色噪聲序列，假設(shè)卡爾曼濾波的觀測(cè)方程為［7］

其中Vk為k時(shí)刻實(shí)際量測(cè)值，Ck為量測(cè)系統(tǒng)參數(shù)陣，ηk為觀測(cè)噪聲。

對(duì)于觀測(cè)噪聲為有色噪聲的卡爾曼濾波，假設(shè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)噪聲和觀測(cè)噪聲均值為零，互不相關(guān)，動(dòng)態(tài)噪聲εk為高斯白噪聲，ηk為有色噪聲序列，因而與ηk相關(guān)，由式（3）可得其協(xié)方差為［8］

PXk，k－1ηk為k時(shí)刻下一步預(yù)測(cè)量與觀測(cè)噪聲間協(xié)方差。

考慮到相鄰歷元觀測(cè)噪聲相關(guān)的卡爾曼濾波公式為［9］

若設(shè)

則式（12）可以化簡(jiǎn)為

在式（11）中，當(dāng)觀測(cè)噪聲為白噪聲時(shí)，有

于是

此時(shí)，方程式退化為白噪聲條件下的卡爾曼濾波公式。可見(jiàn)，觀測(cè)噪聲為白噪聲條件下的卡爾曼濾波是觀測(cè)噪聲為有色噪聲條件下卡爾曼濾波的特殊情況。

結(jié)合上面兩種方法，就可以得到在動(dòng)態(tài)噪聲和觀測(cè)噪聲都是有色噪聲情況下的處理方法，即有色噪聲條件下的卡爾曼濾波。

4 仿真分析

利用Matlab軟件進(jìn)行仿真。給定周期為150s，幅值為1的正弦信號(hào)s作為系統(tǒng)輸入信號(hào)，假設(shè)系統(tǒng)參數(shù)陣Ak、噪聲驅(qū)動(dòng)陣Γk、量測(cè)系統(tǒng)參數(shù)陣Ck均為1階單陣，在動(dòng)態(tài)噪聲和觀測(cè)噪聲均為均勻白噪聲和有色噪聲的兩種情況下，分別利用傳統(tǒng)卡爾曼濾波和本文推導(dǎo)的有色噪聲條件下相鄰歷元噪聲相關(guān)的卡爾曼濾波方法進(jìn)行濾波處理，并在同一個(gè)界面中，對(duì)相同信號(hào)的兩種處理結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。仿真結(jié)果分別如圖1，圖2所示。

圖1 白噪聲作用下的卡爾曼濾波

圖2 有色噪聲作用下的卡爾曼濾波

在圖1和圖2中，第一條曲線為輸入的正弦信號(hào)；第二條曲線為疊加了噪聲后的正弦信號(hào)，第三條曲線為利用傳統(tǒng)卡爾曼濾波方法處理后的效果；第四條曲線為利用有色噪聲條件下卡爾曼濾波方法處理后的效果。其中圖1是對(duì)疊加了均勻白噪聲的正弦信號(hào)進(jìn)行的兩種卡爾曼濾波處理，圖2是對(duì)疊加了有色噪聲的正弦信號(hào)進(jìn)行的兩種卡爾曼濾波處理。

由圖1可以看出，當(dāng)噪聲信號(hào)為白噪聲時(shí)，由于白噪聲相鄰歷元之間無(wú)相關(guān)性，則傳統(tǒng)的卡爾曼濾波與有色噪聲條件下卡爾曼濾波對(duì)信號(hào)的處理效果相同，證實(shí)了當(dāng)噪聲信號(hào)為白噪聲時(shí)，有色噪聲條件下的卡爾曼濾波公式退化為白噪聲條件下的卡爾曼濾波公式。

由圖2中可以看出，當(dāng)噪聲信號(hào)為有色噪聲時(shí)，利用傳統(tǒng)卡爾曼濾波的方法，將有色噪聲當(dāng)作白噪聲來(lái)處理，處理結(jié)果誤差較大，效果不理想，而利用有色噪聲條件下的卡爾曼濾波方法，處理后的信號(hào)曲線更為平滑，誤差減少。可見(jiàn)，通過(guò)對(duì)同一信號(hào)疊加不同噪聲，再對(duì)比兩種卡爾曼濾波方法處理的結(jié)果，證實(shí)了白噪聲條件下的卡爾曼濾波是有色噪聲條件下卡爾曼濾波的特殊情況，并且有色噪聲條件下的卡爾曼濾波方法優(yōu)于傳統(tǒng)的卡爾曼濾波方法，對(duì)噪聲的處理效果更佳。

5 結(jié)論

依據(jù)有色噪聲相鄰歷元間噪聲相關(guān)的特點(diǎn)，推導(dǎo)出了有色噪聲條件下的卡爾曼濾波方程，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)，證明改進(jìn)的方法可以減小計(jì)算誤差，有效避免濾波發(fā)散和結(jié)果失真，對(duì)于處理有色噪聲信號(hào)，效果更佳。

［1］崔錦泰，陳關(guān)榮.卡爾曼濾波及其實(shí)時(shí)應(yīng)用［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2013：58－63.

［2］秦永元，張洪鉞，汪叔華.卡爾曼濾波與組合導(dǎo)航原理［M］.西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，1998：128－129.

［3］張建軍.基于改進(jìn)的擴(kuò)展卡爾曼濾波伺服系統(tǒng)建模技術(shù)研究［J］.計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究，2012，29（3）：944－946.

［4］趙長(zhǎng)勝.有色噪聲觀測(cè)量的主次靜態(tài)濾波與配置［J］.測(cè)繪通報(bào)，2004（4）：17－18.

［5］張金槐，蔡洪.飛行器試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)學(xué)［M］.長(zhǎng)沙：國(guó)防科技大學(xué)出版社，1995：161－182.

［6］白輝，盧光躍，王曉侃.非信任環(huán)境中一致卡爾曼濾波的數(shù)據(jù)融合算法［J］.西安郵電學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，17（5）：10－14.

［7］宋國(guó)東，姜守達(dá)，林連雷.復(fù)雜有色噪聲廣義系統(tǒng)信息融合 Kalman濾波器［J］.儀器儀表學(xué)報(bào)，2013，34（5）：1195－1200.

［8］唐斌，陳金平，楊龍，等.基于有色噪聲卡爾曼濾波算法在電力系統(tǒng)母線的GPS多徑估計(jì)研究［J］.北京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，30（10）：1197－1225.

［9］崔希璋.廣義測(cè)量平差［M］.武漢：武漢大學(xué)出版社，2005：219－287.