兩階段脈沖控制螺旋波的數值模擬

楊翠云， 劉海英， 唐國寧

（1.廣西師范大學物理科學與技術學院，廣西桂林 541004；2.桂林師范高等專科學校物理與工程技術系，廣西桂林 541001）

兩階段脈沖控制螺旋波的數值模擬

楊翠云1，2， 劉海英2，*， 唐國寧1，*

（1.廣西師范大學物理科學與技術學院，廣西桂林 541004；2.桂林師范高等專科學校物理與工程技術系，廣西桂林 541001）

提出兩種兩階段的螺旋波控制方法，第一階段用正相脈沖力作用快變量，第二階段用反相脈沖力作用快變量或用正相脈沖力作用慢變量，用修改后的B?r模型進行數值模擬，結果表明：兩階段的脈沖控制方法比單階段控制方法更有效地控制螺旋波，作用力可以減少到后者力大小的38%～55%.結果建議，可以通過兩階段控制螺旋波的方法改進心臟電除顫.

可激發介質；螺旋波；脈沖控制

0 引言

螺旋波是一種自維持波，它在物理［1］、化學［2］、生物［3］、生態［4］等系統中都已經觀察到.研究表明，當心臟中的電信號出現螺旋波時，會導致心室心動過速；當螺旋波破碎形成時空混沌態時，會出現心室纖維性顫動，危及人的生命［5］.因此，很多學者對螺旋波的動力學行為進行了研究［6－9］，并提出許多抑制方法［10－11］，由于許多消除螺旋波的方法不方便用于心臟的除顫，因此在臨床上，人們只采用電除顫方式來消除心臟的纖維性顫動和治療心動過速.

電除顫器分單相除顫器和雙相除顫器［12］，單相除顫器是從正極向負極單向輸出電流，整個除顫過程中電流方向不發生改變，采用單相衰減正弦波形除顫，無論首次還是后續電擊一律采用360 J；而雙相除顫器在放電初期輸出正相電流，在第二階段反轉電流極性，輸出負相電流.采用雙相方波除顫，首次除顫電擊能量為120 J，采用雙相切角指數波形除顫，首次除顫電擊能量為150 J～200 J，后續電擊選擇相同或遞增的能量水平.研究表明［13］：雙相波比單相波除顫效果好，是因為電擊擴展了細胞的動作電位時程（action potential duration，APD），即在相同的強度下，雙相波比單相波擴展APD更多，而且APD空間分布更均勻.但是無論單相電除顫還是雙相電除顫，都會出現除顫失敗，原因并不是電擊電場不足以延長足夠多細胞的APD，從而終止心臟中的螺旋波，而是由于除顫電擊在終止了原有螺旋波的同時誘發了新的螺旋波［14］.

電除顫方法雖然有效，但是除顫電壓依然比較高，還是會損傷心肌組織和造成心肌功能絮亂［15］，影響人的存活率.為了降低電除顫的副作用，提高一次除顫的成功率和人的存活率，臨床上還采用電除顫聯合藥物（胺碘酮）治療心律失常患者，顯著提高除顫成功率，獲得了較好的效果［16］.文獻［17］提出了三階段的低能房室除顫方案，在該方案中，先后使用多次雙相電擊、多次單相電擊和抗心動過速起搏，這種除顫方案是通過將螺旋波驅趕出心房邊界達到治療目的，而不像傳統除顫方案用強電場在短時間內終止螺旋波（即直接讓螺旋波消失），所以需要的除顫能量很少.可見要實現低能除顫目標，不能使用強電場，只能使用弱電場，這又帶來電場無法終止螺旋波的問題，如何在弱電場下終止螺旋波值得研究.

本文采用B?r模型研究兩階段控制終止螺旋波的有效性.第一階段的控制，使用正相方波脈沖作用快變量，使大部分介質處于剛激發后的狀態后停止施力；第二階的控制，既可使用負相方波脈沖作用快變量，也可以使用正相方波脈沖作用慢變量，盡可能讓介質直接回到靜息態，若之后還出現孤立的激發點，也只會形成靶波后消失.在第一階段控制結束后延遲一段時間，才開始第二階段的控制，以達到用小的代價終止螺旋波的目的.數值模擬表明，使用兩階段控制，不但可以有效終止螺旋波，而且可以將第一階段的脈沖強度降低到原來的38%～55%，為除顫方案設計提供了理論依據.

1 模型和方法

B?r和Eiswirth于1993年提出的二維模型（簡稱B?r模型）［18］，雖然缺乏對心肌細胞內離子通道的描述，但是該模型提供一種手段去研究可激發介質中螺旋波的宏觀性質.修改后的B?r模型動力學方程組為

其中u是快變量（類似心肌細胞的膜電位，其最大值為1），v是慢變量（類似心肌細胞的膜電流），D為系統參數，Fu（t）和Fv（t）分別為作用在快變量和慢變量上的全局脈沖力，系統參數為a、b和ε．當參數a＝0.84、b＝0.07和D＝1.0時，方程（1）描述的介質是可激發介質，ε的大小反映了介質的激發性，ε越大，介質的激發性就越低．在適當初始條件下，當0.01＜ε＜0.06時，介質內可出現穩定的螺旋波，當0.06＜ε＜0.069時介質中螺旋波將發生漫游，當ε＞0.069時，介質中的螺旋波會破碎成時空混沌.

系統參數固定取ε＝0.03，a＝0.84，b＝0.07，D＝1.0，時間積分采用歐拉法和空間二階導數采用二階精度的有限差分方法數值解方程（1），空間步長取Δx＝Δy＝0.4，時間步長Δt＝0.02，采用無流邊界條件，系統尺寸為Lx×Ly＝120×120，即空間被離散成N×N＝120×120個格點，通過截斷平面波的方式產生螺旋波，在上述參數下，螺旋波的周期約為3.36時間單位.

為了實現低能量（小脈沖強度）終止螺旋波，我們使用如下兩階段的控制方案：

第一階段 用正相方波脈沖力作用快變量（記為A型力）

第二階段 用反相方波脈沖力作用快變量（記為B型力）

或者用正相方波脈沖力作用慢變量（記為C型力）

式中t∈ 表示脈沖持續時間為 ．第一階段控制結束后，延遲0＝1.7單位才執行第二階段的控制，這里

0＝1.7是介質由波峰回到波谷所需要的時間，目的是讓介質發生如下轉變，介質大部分格點處于波峰狀態（u≥0.5，相當心肌細胞的絕對不應態）過渡到大部分格點處于可激發狀態（u＜0.5，相當心肌細胞的相對不應態或靜息態），以便在實施第二階段控制后介質中出現傳導障礙，使螺旋波消失.

2 數值模擬

為了看出A型力與B型力或C型力混合使用的控制效果，下面我們先分別單獨使用A、B或C型力來控制螺旋波，并將控制結果作為參考.

2.1 單階段控制方法

我們用單個外力來控制螺旋波，稱為單階段控制方法.如果在適當的參數下，螺旋波演化到靜息態（或均勻態），則認為在該參數下螺旋波是可控制的.圖1給出了A、B、C三型力控制螺旋波的結果，從圖1可以看出：給定一個力F，存在一個最小作用時間min，當 ≥min時螺旋波可控；作用力F越強，最小作用時間越短，反之最小作用時間越長；當力弱到一定程度時，將無法使原螺旋波消失，即當作用力撤銷后，螺旋波會恢復正常形狀．如：當力FA≤0.75時，即使作用時間增加到2.0，也不能使原螺旋波消失．當力FB≤0.62和FC≤0.12時，即使作用時間增加到4.0，也不能使原螺旋波消失.A型力能控制螺旋波的原因是：力的作用使處于絕對不應態的部分格點和處于相對不應態的格點再激發，導致介質出現傳導障礙，螺旋波因傳導障礙而消失.B型力是通過抑制u變量的增加來抑制螺旋波，因此強的B型力可以使u變量直接衰減到0，導致螺旋波直接消失.從方程（1）可以看出，介質的激發閾值由（v＋b）／a決定，只有當u＞（v＋b）／a，介質才被激發，因此v越大，介質就越不易被激發.C型力的作用效果使v增大，從而可導致介質激發性降低，因此強的C型力可以使空間所有格點的v增加到最大，導致所有格點都不能被激發，使螺旋波無法傳播而直接消失.

圖1 在不同類型力作用下F－ 參數平面上的可控區（Ⅰ為不可控區，Ⅱ、Ⅲ為可控區.在II區，螺旋波演化到靜息態（u＝0），在Ⅲ區螺旋波演化u＞1的均勻態.）Fig.1 Controllable regions on F－ plane with different types of forces（Ⅰis uncontrollable region. ⅡandⅢare controllable regions.In regionⅡ，spiral waves are becoming a resting state（u＝0）. In regionⅢthe system is becoming to a uniform state（u＞1）.）

2.2 兩階段控制方法

現在研究通過兩階段控制來消除螺旋波.采用如下兩種方案：方案1為A型控制力＋B型控制力，方案2為A型控制力＋C型控制力，兩階段的時間間隔為0＝1.7．為了解低強度力消除螺旋波的可能性，在下面的研究中，B型和C型控制力分別取FB＝0.6、FC＝0.2，這樣當作用時間小于1.2時，在這樣大的力作用下不能使螺旋波消失.取A型控制力的作用時間為A＝0.4，0.6．圖2給出了不同A和不同兩階段控制方案控制螺旋波的結果，從圖1和圖2可以看出：①取該參數時，單獨使用一種類型的力無法消除螺旋波；②在保證螺旋波可控的情況下，增大A型控制力FA，可以有效減少第二階段力的作用時間B和C，反之則需要延長第二階段力的作用時間；③增大A型控制力的作用時間A，在相同的FA下，可以有效降低B和C，這樣可以在更小FA下，通過適當延長第二階段力的作用時間，實現低強度力消除螺旋波的目的．如，當A＝0.4和A＝0.6時，在單一力控制下，要終止螺旋波，需要A型力的最小值分別為FA＝1.6和FA＝1.18．在兩階段控制下，如果采用方案1，需要A型力的最小值分別為FA＝0.88和FA＝0.62，力的強度減少到原來的55%.如果采用方案2，需要A型力的最小值分別為FA＝0.6和FA＝0.4，力的強度減少到原來的38%.

圖2 兩階段控制方案下F－ 參數平面上的可控區（Ⅰ為不可控區，Ⅱ為可控區.）Fig.2 Controllable regions on F－ plane for different two-stage control methods（Ⅰis uncontrollable region.Ⅱis controllable region.）

為了解低強度力能有效消除螺旋波的機制，我們計算快變量u≥0.5的格點數與總格點數的比率ρ．圖3給出了在不同參數和不同兩階段控制方案下ρ隨時間的變化，從圖3可以看出，對于方案1，經過第一階段的控制，大部分格點處于絕對不應態（因為ρ＞0.5），如圖4（a）所示.經過第二階段的控制，93%格點處于相對不應態或靜息態，螺旋波波臂變細，如圖4（b）所示.之后螺旋波波臂快速膨脹，使絕大部分格點處于絕對不應態，在介質中形成傳導障礙，導致螺旋波破碎后消失，形成很多小波，如圖4（c）和4（d）所示.最后小波演化為靶波后消失，如圖4（e）和4（f）所示.對于方案2，控制過程略有不同，經過第二階段的控制，99%格點處于相對不應態或靜息態，螺旋波直接消失后形成多個小波，以后波的演化與圖4（e）和4（f）所示類似.如果第二階段作用力比較強同時持續時間足夠長，經過第二階段控制，可以使100%格點演化到靜息態，這樣可以保證一次除顫成功.

圖3 在不同參數和不同兩階段控制方案下ρ隨時間的變化（虛線為控制的起止時刻，參數為A＝0.4，B＝C＝1.2，0＝1.7．）Fig.3 Ratio ρ versus time in two-stage control methods（Dashed lines indicate start and end times.）

圖4 在圖3（a）的參數下不同時刻的u變量斑圖Fig.4 Patterns of variable u at different moments（Adopted parameters are as in Fig.3（a）.）

顯然兩階段控制之間必須有一定的間隔，因為兩階段控制螺旋波的策略是不同的，第一階段脈沖力是促使格點再激發，第二階段是抑制格點的激發，這與傳統除顫策略不同.當第一階段結束后，更多的格點已經處于被激發后的絕對不應態，等這些格點回到靜息態再施加第二階段控制，可以充分利用它們自然回到靜息態性質，才有利于花費更小的代價，使更多的格點處于靜息態，這是導致螺旋波消失的關鍵.數值模擬也證實，少量減少0的值即可以導致控制失敗.因此我們的控制方法與臨床使用的方法以及文獻［12］使用的雙相波脈沖控制方法有所不同，后者雖然與我們的方案1相似，但是雙相之間無間歇，而且使用的電擊電壓依然很高.數值模擬還證實，我們的兩階段控制方法也可以用低強度力有效消除螺旋波湍流態（即時空混沌），這就是說兩階段控制方法既可以控制心動過速，也可以控制心顫.

應當指出，我們也用Luo-Rudy相Ⅰ心臟模型［19］驗證了我們提出的控制方案的可行性.選擇模型參數除鈣電導率比文獻［19］小一點外，其它參數與之完全相同.在力的作用時間都為20 ms的情況下，采用方案1，A、B型力都作用在膜電位變量上，兩階段控制需要力的大小可以減少到使用單個力控制需要的大小的40%.采用方案2，A型力作用在膜電位變量上，C型力改為用鈉通道阻塞劑使鈉電導率由23 ms·cm－2減少到一個較少的值，持續時間為20 ms后恢復到正常值23 ms·cm－2.單獨使用鈉通道阻塞劑控制螺旋波，鈉電導率必須降到6 ms·cm－2以下才能消除螺旋波，使用兩階段方案控制螺旋波，A型力的大小可以減少到使用單力控制所需要的力大小的30%，同時鈉電導可從6 ms·cm－2升到14 ms·cm－2也能有效消除螺旋波，這些結果表明我們的控制方案是有效的.

3 結論

提出兩種兩階段脈沖控制螺旋波的方法，研究發現：這些方法比單階段控制方法能夠更有效地消除螺旋波和時空混沌，且使用的脈沖力較小，而須付出的代價是，消除螺旋波的時間相對要長.兩階段脈沖控制螺旋波效果好的原因是，采用了先促使介質再激發然后抑制介質被激發的新控制策略，這種新策略的控制效果已經在電除顫聯合藥物治療心律失常中得到體現.電除顫就是使用脈沖力作用于膜電位，導致處于相對不應態的細胞再被激發，而使用的藥物胺碘酮具有阻斷鈉、鉀通道作用，因此藥物具有降低介質激發性的作用，這兩種方法同時使用使除顫效果改善.根據我們的結果，如果將電除顫和使用藥物按兩階段方式使用，有可能實現無疼痛除顫治療心動過速和心顫，希望我們除顫方案能夠得到實驗的驗證.

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Simulation on Control of Spiral Wave by Two-stage Pulse Force

YANG Cuiyun1，2，LIU Haiying2，TANG Guoning1
（1.College of Physical Science and Technology，Guangxi Normal University，Guilin 541004，China；（2.Department of Physics and Engineering Technology，Guilin Normal College，Guilin 541001，China）

Modified B?r model is used to study suppression of spiral wave.Methods of suppressing spiral wave by two-stage pulse force control are proposed.In the first stage，fast variable of the model is acted by a positive rectangular pulse force.In the second stage，direction of force is changed to the opposite or the force is acted on the slow variable.It shows that two-stage pulse control method is more efficient than one-stage method，and magnitude of the force is 38%～55%of the latter.It suggests that two-stage method of control of spiral wave can improve defibrillation efficiency.

excitable medium；spiral wave；pulse control

date：2013－09－15；Revised date：2014－01－24

O415.5

A

2013－09－15；

2014－01－24

國家自然科學基金（11165004）及廣西教育廳科研項目（201106LX699）資助項目

楊翠云（1972－），女，廣西桂林，副教授，碩士，主要從事非線性物理研究，E-mail：yangcuiyun_gl＠foxmail.com

*通訊作者：唐國寧，E-mail：tangguoning＠mailbox.gxnu.edu.cn；劉海英，E-mail：1550682352＠qq.com

1001-246X（2014）05-0625-06