可靠性數(shù)值模擬的不確定度量化

馬智博， 李海杰， 殷建偉， 黃文斌

（1.北京應(yīng)用物理與計(jì)算數(shù)學(xué)研究所，北京 100088；2.長(zhǎng)沙機(jī)電產(chǎn)品研究開(kāi)發(fā)中心，湖南長(zhǎng)沙 410100；3.流體物理研究所，四川綿陽(yáng) 621900）

可靠性數(shù)值模擬的不確定度量化

馬智博1， 李海杰2， 殷建偉1， 黃文斌3

（1.北京應(yīng)用物理與計(jì)算數(shù)學(xué)研究所，北京 100088；2.長(zhǎng)沙機(jī)電產(chǎn)品研究開(kāi)發(fā)中心，湖南長(zhǎng)沙 410100；3.流體物理研究所，四川綿陽(yáng) 621900）

根據(jù)可靠性認(rèn)證對(duì)不確定度量化的技術(shù)要求，結(jié)合復(fù)雜工程系統(tǒng)的層級(jí)結(jié)構(gòu)和數(shù)值模擬從校準(zhǔn)、驗(yàn)證與確認(rèn)到最終具有預(yù)測(cè)能力的歷程，對(duì)可靠性數(shù)值模擬不確定度量化的要求和方法進(jìn)行探索，并結(jié)合爆轟算例對(duì)這些方法進(jìn)行演示和驗(yàn)證.

數(shù)值模擬；不確定度量化；驗(yàn)證與確認(rèn)；可靠性認(rèn)證

0 引言

可靠性問(wèn)題源自產(chǎn)品本身和任務(wù)環(huán)境中A、B兩類(lèi)不確定度的存在，其中前者對(duì)應(yīng)于客觀隨機(jī)性引起的偶然不確定度（aleatory uncertainty），后者對(duì)應(yīng)于主觀認(rèn)知缺陷帶來(lái)的認(rèn)知不確定度（epistemic uncertainty）.根據(jù)對(duì)不確定問(wèn)題的存在是否預(yù)知，認(rèn)知不確定度又分為已知的未知（known unknowns）和未知的未知（unknown unknowns）［1］.為了保證產(chǎn)品工作可靠，必須在綜合考慮兩類(lèi)不確定度的前提下，為定型的批量產(chǎn)品留下足夠的設(shè)計(jì)裕度.

實(shí)物試驗(yàn)和統(tǒng)計(jì)分析可用于量化這兩類(lèi)不確定度，也可用于消減認(rèn)知不確定度并發(fā)現(xiàn)其中未知的未知，但偶然不確定度只能通過(guò)改進(jìn)設(shè)計(jì)方案和制造工藝來(lái)實(shí)現(xiàn)其消減.

數(shù)值模擬包含建模和模擬（modeling and simulation，M＆S）兩個(gè)技術(shù)環(huán)節(jié)，建模和模擬均受人類(lèi)主觀意志的主導(dǎo)，只能在人的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上借助計(jì)算機(jī)完成對(duì)客觀現(xiàn)象的分析，所以數(shù)值模擬主要用于研究偶然不確定度以及認(rèn)知不確定度中已知的未知，一般不直接用于研究認(rèn)知不確定度中未知的未知.

當(dāng)受到成本因素或其它條件制約時(shí)，很多大型復(fù)雜產(chǎn)品往往難以實(shí)施系統(tǒng)級(jí)可靠性試驗(yàn)，此時(shí)，需要用M＆S技術(shù)對(duì)可靠性特征量進(jìn)行工程預(yù)測(cè)，而基于裕度和不確定度量化的QMU認(rèn)證方法（quantification of margins and uncertainties，QMU）為M＆S在可靠性認(rèn)證中發(fā)揮巨大作用提供了科學(xué)的技術(shù)平臺(tái)，M＆S預(yù)測(cè)結(jié)果以及預(yù)測(cè)結(jié)果的不確定度將是QMU認(rèn)證的重要信息來(lái)源［2－4］.

可靠性數(shù)值模擬的任務(wù)主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：其一是研究產(chǎn)品狀態(tài)和任務(wù)環(huán)境與產(chǎn)品性能之間復(fù)雜而又確定的物理關(guān)系（對(duì)隨機(jī)過(guò)程而言，統(tǒng)計(jì)意義下的物理關(guān)系是確定的），發(fā)現(xiàn)失效模式并量化可靠性特征量，其二是研究產(chǎn)品狀態(tài)和任務(wù)環(huán)境的不確定度所引起的產(chǎn)品性能的不確定度，促成不確定度的傳遞分析.因?yàn)楹笳叩牟淮_定度起源于工程因素而非數(shù)值模擬本身，所以數(shù)值模擬的不確定度主要體現(xiàn)在反映前者對(duì)應(yīng)的確定性物理關(guān)系時(shí)所帶來(lái)的模擬結(jié)果的不確定度.

對(duì)M＆S實(shí)施不確定度量化（uncertainty quantification，UQ），本身也是一項(xiàng)復(fù)雜的系統(tǒng)工程，相關(guān)技術(shù)正處在發(fā)展中［5－7］.本文根據(jù)可靠性認(rèn)證的要求，對(duì)M＆S不確定度的基本概念、組成結(jié)構(gòu)、量化原則、量化方法和方法檢驗(yàn)進(jìn)行探索，并以爆轟計(jì)算為例展示這些方法的思想基礎(chǔ)和應(yīng)用效果.

1 數(shù)值模擬不確定度量化的基本原則

不確定度量化的源頭信息往往是誤差數(shù)據(jù)，綜合不同行業(yè)對(duì)誤差和不確定度的定義［8－13］，可以從廣義的角度上總結(jié)出兩者的普適性?xún)?nèi)涵.本文認(rèn)為，誤差是行為結(jié)果與期望目標(biāo)之間可以辨識(shí)的差別，它來(lái)自有期望目標(biāo)的行為，沒(méi)有期望目標(biāo)的行為不產(chǎn)生誤差，不能辨識(shí)的差別形不成誤差，而不確定度是行為結(jié)果的分散性或背離期望目標(biāo)的程度，對(duì)無(wú)期望目標(biāo)的行為，不確定度主要表現(xiàn)為行為結(jié)果的分散性，對(duì)有期望目標(biāo)的行為，不確定度主要表現(xiàn)為行為結(jié)果背離期望目標(biāo)的程度.

可靠性數(shù)值模擬的期望目標(biāo)是準(zhǔn)確預(yù)測(cè)客觀物理過(guò)程中的確定性規(guī)律，所以既產(chǎn)生誤差，也產(chǎn)生不確定度，其中誤差為模擬結(jié)果減去參照解所得的差值，基于可靠性工程的需要，不確定度應(yīng)被理解為模擬結(jié)果背離真值的程度.

無(wú)論可靠性認(rèn)證（針對(duì)抽象的型號(hào)）還是可靠性評(píng)估（針對(duì)具體的產(chǎn)品），都需要對(duì)可靠性特征量的真值作出估計(jì)，根據(jù)QMU方法對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)格式，該估計(jì)結(jié)果包含兩個(gè)部分，其一是最佳估計(jì)結(jié)果，其二是針對(duì)該最佳估計(jì)的不確定度估計(jì)結(jié)果，兩者共同形成關(guān)于可靠性特征量估計(jì)的不確定度區(qū)間.

再考慮到其它方面的因素，數(shù)值模擬的不確定度量化應(yīng)該遵循以下原則：

1）UQ的前提是M＆S的技術(shù)狀態(tài)得到相對(duì)固化且計(jì)算過(guò)程不依賴(lài)人為干預(yù)；

2）UQ的目標(biāo)是量化對(duì)應(yīng)于工程預(yù)測(cè)且無(wú)參照解時(shí)數(shù)值模擬的不確定度；

3）可靠性數(shù)值模擬的不確定度應(yīng)該理解為模擬結(jié)果背離真值的程度；

4）模擬結(jié)果和不確定度估計(jì)值所形成的不確定區(qū)間要立足于覆蓋真值；

5）基于給定輸入信息，方法上要盡量使不確定度的量化結(jié)果達(dá)到最?。?/p>

6）量化方法要有利于診斷和消除M＆S存在的問(wèn)題以促進(jìn)不確定度消減；

7）量化方法要有利于保證量化信息的充分性和量化結(jié)果的可信性.

2 數(shù)值模擬不確定度的組成結(jié)構(gòu)

對(duì)大部分工程問(wèn)題，M＆S的本質(zhì)是求解物理系統(tǒng)初始狀態(tài)和邊界條件與其最終性能的映射關(guān)系，該映射關(guān)系可表示為一個(gè)泛函［14］

其中x為物質(zhì)點(diǎn)的空間坐標(biāo)；t為時(shí)間變量，下標(biāo)“0”和“e”分別表示初始和最終時(shí)刻；ξ為物質(zhì)點(diǎn)的物理狀態(tài)參數(shù)組，反映材料的物理狀態(tài)；ω為隨空間和時(shí)間而變化的邊界條件函數(shù)組，反映產(chǎn)品的工作環(huán)境；η為由物質(zhì)行為屬性決定的描述物質(zhì)行為規(guī)律的函數(shù)組，是物理狀態(tài)ξ的函數(shù)；ζ為隨時(shí)間變化的系統(tǒng)性能參數(shù)組；P為由普遍物理規(guī)律決定的聯(lián)結(jié)系統(tǒng)性能和眾多參數(shù)或函數(shù)的泛函關(guān)系式.

建模與模擬的不確定度，指的是用模擬計(jì)算結(jié)果來(lái)預(yù)測(cè)對(duì)應(yīng)實(shí)體模型的真實(shí)行為所帶來(lái)的不確定度，根據(jù)式（1），該不確定度可分解為三個(gè)組成部分：U1為實(shí)體建模不確定度U01所引起的模擬結(jié)果不確定度，實(shí)體建模即構(gòu)造ξ（x，t0）和ω（x，t）；U2為物理建模不確定度U02所引起的模擬結(jié)果不確定度，物理建模即構(gòu)造η（ξ）和P［·］；U3為數(shù)值計(jì)算所引起的模擬結(jié)果不確定度，數(shù)值計(jì)算即用數(shù)值方法求解泛函P［·］.

因此，M＆S的總不確定度可表示為

其中符號(hào)“⊕”表示總不確定度由三個(gè)部分組成，在某些情況下，總不確定度可近似表示為右端三項(xiàng)簡(jiǎn)單相加所得的總和.

對(duì)建模引起的不確定度U1和U2，需要首先量化建模的不確定度U01和U02，然后通過(guò)傳遞分析得到U1和U2，U01和U02均由兩部分構(gòu)成，其一是模型形式的不確定度Uform，其二是模型輸入?yún)?shù)的不確定度Upara．?dāng)?shù)值計(jì)算引起的不確定度U3，主要源自數(shù)值離散、迭代計(jì)算和四舍五入等.

3 不確定度量化的技術(shù)環(huán)節(jié)

數(shù)值模擬不確定度量化所涉及到的技術(shù)環(huán)節(jié)及其對(duì)應(yīng)方法主要有以下幾個(gè)方面.

1）物理系統(tǒng)的層級(jí)劃分

可根據(jù)物理過(guò)程從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的邏輯關(guān)系或從開(kāi)始到結(jié)束的先后順序，將物理系統(tǒng)劃分為不同的層級(jí)，層級(jí)劃分有助于隔離和診斷M＆S存在的問(wèn)題，也有利于獲取更多的不確定度信息.

2）建模的不確定度量化

主要目的是量化U01和U02．對(duì)不同特性的模型，可基于相應(yīng)的測(cè)量技術(shù)、科學(xué)理論和實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)方法來(lái)獲取U01和U02的量化信息.

3）不確定度的傳遞分析

常用于對(duì)建模的不確定度U01和U02進(jìn)行傳遞以得到U1和U2，該過(guò)程可借助數(shù)值模擬程序用變動(dòng)分析的方法來(lái)完成，兩者分別用變分簡(jiǎn)記為

4）模擬結(jié)果與參照解的對(duì)比分析

該方法主要基于數(shù)值模擬的驗(yàn)證與確認(rèn)（verification＆validation，V＆V）技術(shù)，通過(guò)與高可信度參照解的對(duì)比來(lái)量化數(shù)值模擬的不確定度［1］，基準(zhǔn)模型的設(shè)計(jì)及其參照解的構(gòu)造是V＆V的重要技術(shù)支撐.

5）不確定度的預(yù)測(cè)推斷

數(shù)值模擬的實(shí)際價(jià)值體現(xiàn)在對(duì)新模型的工程預(yù)測(cè)，但此時(shí)的不確定度不能通過(guò)對(duì)比分析來(lái)獲取，需要基于已有的對(duì)比信息以及對(duì)不確定度隨模型參數(shù)變化規(guī)律的認(rèn)識(shí)來(lái)綜合推斷預(yù)測(cè)結(jié)果的不確定度.

6）不確定度信息的整合

對(duì)一個(gè)新系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬，其不確定度信息至少有兩個(gè)來(lái)源，其一是建模不確定度傳遞到系統(tǒng)級(jí)模擬結(jié)果上的不確定度信息，其二是基于各層級(jí)對(duì)比分析和預(yù)測(cè)推斷得到的系統(tǒng)級(jí)模擬結(jié)果不確定度信息，另外還可能有不同程序之間計(jì)算結(jié)果的對(duì)比信息，這些信息可通過(guò)廣義信息理論進(jìn)行整合.

4 應(yīng)用域內(nèi)不確定度的預(yù)測(cè)推斷

根據(jù)文獻(xiàn)［1］，可將實(shí)體模型設(shè)計(jì)參數(shù)（包括環(huán)境參數(shù)）所對(duì)應(yīng)的多維參數(shù)空間劃分為確認(rèn)域和應(yīng)用域，確認(rèn)域即已經(jīng)實(shí)施的物理試驗(yàn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)空間，應(yīng)用域即數(shù)值模擬預(yù)期應(yīng)用所對(duì)應(yīng)的參數(shù)空間，由于應(yīng)用域內(nèi)一般沒(méi)有試驗(yàn)數(shù)據(jù)用于對(duì)比分析，所以其不確定度信息需要根據(jù)確認(rèn)域內(nèi)的不確定度以及兩個(gè)區(qū)域之間不確定度的某種聯(lián)系來(lái)進(jìn)行推斷.

為了揭示確認(rèn)域和應(yīng)用域之間不確定度的聯(lián)系方式，文獻(xiàn)［14］提出了不確定度與實(shí)體模型的設(shè)計(jì)參數(shù)存在函數(shù)關(guān)系的假設(shè)，并結(jié)合有理論解的黎曼問(wèn)題對(duì)基于該假設(shè)的應(yīng)用域不確定度預(yù)測(cè)量化方法進(jìn)行了驗(yàn)證分析，本文擬對(duì)該方法的思想基礎(chǔ)做進(jìn)一步完善，并結(jié)合試驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯?duì)該方法的有效性進(jìn)行檢驗(yàn).

本文就應(yīng)用域內(nèi)不確定度預(yù)測(cè)推斷的科學(xué)依據(jù)提出如下觀點(diǎn)：

1）用規(guī)定的工具和方法對(duì)物理量（如尺寸，質(zhì)量，密度，溫度，速度等）進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量結(jié)果的不確定度是被測(cè)量的函數(shù)；

2）用規(guī)定的運(yùn)算法則由觀測(cè)量推算其它導(dǎo)出量，導(dǎo)出量的不確定度是觀測(cè)量的函數(shù)；

3）計(jì)算程序固化后，計(jì)算環(huán)節(jié)引起的不確定度是實(shí)體模型設(shè)計(jì)參數(shù)的函數(shù)；

4）基于以上觀點(diǎn)，數(shù)值模擬不確定度可表示為實(shí)體模型設(shè)計(jì)參數(shù)的函數(shù)：

5）該函數(shù)既適用于確認(rèn)域也適用于應(yīng)用域.

根據(jù)以上五點(diǎn)，如果在確認(rèn)域獲取了不確定度隨實(shí)體模型設(shè)計(jì)參數(shù)的變化規(guī)律，就可將該函數(shù)內(nèi)推或外推以獲得應(yīng)用域內(nèi)M＆S的不確定度.

5 數(shù)值模擬不確定度量化的步驟

根據(jù)數(shù)值模擬不確定度量化的原則和V＆V的技術(shù)思想，建議按如下步驟實(shí)施數(shù)值模擬的不確定度量化：

1）根據(jù)可靠性認(rèn)證的工程需求，確認(rèn)數(shù)值模擬的不確定度要求；

2）根據(jù)物理過(guò)程從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的邏輯關(guān)系或從開(kāi)始到結(jié)束的先后順序，將物理系統(tǒng)劃分為不同的層級(jí)，低層級(jí)的模型有利于診斷和解決M＆S中的問(wèn)題以及不確定度信息的獲取；

3）根據(jù)不同層級(jí)中物理現(xiàn)象的特點(diǎn)和耦合程度，分析對(duì)應(yīng)的算法中需要重點(diǎn)考核的技術(shù)要素，基于這些考核要素為代碼驗(yàn)證逐層建立基準(zhǔn)模型并獲取基準(zhǔn)模型的高可信度參照解（比如理論解、人為解或由其它程序得到的被公認(rèn)為比較可信的數(shù)值解）；

4）結(jié)合基準(zhǔn)模型開(kāi)展代碼驗(yàn)證（code verification），發(fā)現(xiàn)并隔離算法設(shè)計(jì)和代碼編制中存在的錯(cuò)誤，驗(yàn)證離散方程的相容性以及數(shù)值求解的收斂性和穩(wěn)定性，保證計(jì)算程序能夠忠實(shí)地表現(xiàn)數(shù)學(xué)模型.代碼驗(yàn)證是解算驗(yàn)證的前提與基礎(chǔ)，其中計(jì)算誤差來(lái)自基準(zhǔn)模型數(shù)值解與參照解的對(duì)比，可通過(guò)對(duì)該誤差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析和區(qū)間估計(jì)以實(shí)現(xiàn)對(duì)計(jì)算不確定度的評(píng)估；

5）根據(jù)M＆S的應(yīng)用需求在不同層級(jí)上開(kāi)展解算驗(yàn)證（solution verification），以驗(yàn)證數(shù)值計(jì)算是否滿(mǎn)足給定的準(zhǔn)確度要求.解算驗(yàn)證也要估計(jì)輸入數(shù)據(jù)和后處理結(jié)果的不確定度，它是確認(rèn)活動(dòng)的前提和技術(shù)基礎(chǔ)，所對(duì)應(yīng)的模型較復(fù)雜，一般沒(méi)有用于對(duì)比分析的參照解，可通過(guò)數(shù)值解隨離散尺度的收斂趨勢(shì)來(lái)估計(jì)其收斂解——如Richardson外推方法等，并借助帶安全系數(shù)的網(wǎng)格收斂指標(biāo)（grid convergence index，GCI）來(lái)估計(jì)數(shù)值計(jì)算的不確定度，并使該結(jié)果滿(mǎn)足不確定度量化的真值覆蓋原則；

6）針對(duì)所需的實(shí)體建模和物理建模，設(shè)計(jì)并實(shí)施各個(gè)層級(jí)的校準(zhǔn)試驗(yàn)，對(duì)建模和模擬的模型參數(shù)、計(jì)算參數(shù)和可調(diào)參數(shù)進(jìn)行校準(zhǔn).可調(diào)參數(shù)指的是無(wú)物理意義或雖然有物理意義但存在較大認(rèn)知缺陷的對(duì)M＆S結(jié)果有明顯影響的建?；蛴?jì)算參數(shù)；

7）開(kāi)展各個(gè)層級(jí)的確認(rèn)試驗(yàn)，用校準(zhǔn)后的模型參數(shù)進(jìn)行數(shù)值模擬，通過(guò)數(shù)值模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比信息，量化各層級(jí)數(shù)值模擬的不確定度，并根據(jù)確認(rèn)過(guò)程發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題，完成對(duì)建模和模擬的技術(shù)改進(jìn)，以縮減數(shù)值模擬不確定度；

8）通過(guò)預(yù)測(cè)推斷由系統(tǒng)級(jí)確認(rèn)域內(nèi)的不確定度獲得應(yīng)用域內(nèi)的不確定度；

9）通過(guò)傳遞分析獲得由建模不確定度所引起的系統(tǒng)級(jí)數(shù)值模擬不確定度；

10）將預(yù)測(cè)推斷和傳遞分析得到的不確定度信息進(jìn)行整合，實(shí)現(xiàn)應(yīng)用域內(nèi)數(shù)值模擬總體不確定度的量化.

6 實(shí)例演示

6.1 實(shí)體模型

該實(shí)體模型主要包含一個(gè)起爆器和一塊炸藥，在軸線(xiàn)上炸藥的厚度為δ，該模型及其試驗(yàn)裝置主要研究炸藥起爆初期的爆轟波發(fā)展過(guò)程，用以建立該階段的起爆和傳爆物理模型.測(cè)量的參數(shù)為爆轟波傳到炸藥右端面時(shí)在軸線(xiàn)上貼近LiF窗口的炸藥峰值速度，該速度的相對(duì)測(cè)量誤差為±3.0%，如圖1所示.

圖1 實(shí)體模型及試驗(yàn)設(shè)備Fig.1 The entitymodel and test facility

6.2 層級(jí)劃分

將該實(shí)體模型視為一個(gè)系統(tǒng)，并劃分為兩個(gè)層級(jí)：

1）起爆器層級(jí)，僅有起爆器，沒(méi)有炸藥件；

2）全系統(tǒng)層級(jí)，包含起爆器和炸藥件.

起爆器層級(jí)要先于系統(tǒng)層級(jí)開(kāi)展校準(zhǔn)和確認(rèn)活動(dòng)，用于建立和評(píng)價(jià)起爆器動(dòng)作過(guò)程的數(shù)值模擬可信度，在此基礎(chǔ)上，再開(kāi)展全系統(tǒng)層級(jí)的校準(zhǔn)和確認(rèn)活動(dòng).

6.3 模型校準(zhǔn)

進(jìn)行模型確認(rèn)之前，要先進(jìn)行模型校準(zhǔn)，即通過(guò)試驗(yàn)對(duì)物理模型的參數(shù)進(jìn)行校準(zhǔn)，在校準(zhǔn)之前，要首先選定物理模型的形式，模型形式不在此細(xì)述.該模型的校準(zhǔn)活動(dòng)分兩步：

1）起爆器層級(jí)校準(zhǔn)

通過(guò)起爆器外半球形金屬薄膜中心位置的峰值速度測(cè)量值來(lái)校準(zhǔn)起爆器內(nèi)數(shù)值模擬的物理模型和計(jì)算參數(shù)；

2）全系統(tǒng)層級(jí)校準(zhǔn)

選擇不同的炸藥厚度，通過(guò)炸藥右端面峰值速度測(cè)量值來(lái)校準(zhǔn)炸藥對(duì)應(yīng)起爆和傳爆過(guò)程的物理模型和計(jì)算參數(shù).

6.4 模型確認(rèn)

該實(shí)體模型只有一個(gè)設(shè)計(jì)變量，即炸藥的厚度δ，炸藥密度不作為設(shè)計(jì)變量.

該例主要關(guān)心炸藥峰值速度V的數(shù)值模擬不確定度隨炸藥厚度的變化規(guī)律，炸藥厚度δ和炸藥密度均具有加工隨機(jī)性，數(shù)值模擬時(shí)要輸入它們的實(shí)測(cè)值.

確認(rèn)試驗(yàn)分4組，δ的設(shè)計(jì)值分別為5 mm、10 mm、15 mm和20 mm，每組共有2次重復(fù)性試驗(yàn)，由于加工隨機(jī)性，即使重復(fù)性試驗(yàn)，炸藥樣品的厚度和密度也不會(huì)嚴(yán)格等于其設(shè)計(jì)值.

在確認(rèn)環(huán)節(jié)，固定校準(zhǔn)后的模型參數(shù)（比如JWL狀態(tài)方程中的5個(gè)模型參數(shù)）不變，分別獲得8個(gè)實(shí)體模型的峰值速度模擬結(jié)果，如表1所示，對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果如表2所示.

表1 確認(rèn)域內(nèi)峰值速度V的模擬結(jié)果（δ／mm，V／（m·s－1））Table 1 Simulation results of V in the validated domain（δ／mm，V／（m·s－1））

表2 確認(rèn)域內(nèi)峰值速度V的試驗(yàn)結(jié)果（δ／mm，V／（m·s－1））Table 2 Test results of V in validated domain（δ／mm，V／（m·s－1））

本文將模擬誤差定義為模擬結(jié)果減去試驗(yàn)結(jié)果：

由于每組的重復(fù)試驗(yàn)只有兩次，我們根據(jù)這兩次試驗(yàn)中模擬結(jié)果對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的最大背離來(lái)近似提取確認(rèn)域內(nèi)建模與模擬的不確定度信息，如表3所示.

6.5 應(yīng)用域內(nèi)的不確定度量化

確認(rèn)域內(nèi)炸藥厚度δ的設(shè)計(jì)范圍是5 mm～20 mm，本文將炸藥厚度δ分別為2 mm、3 mm、4 mm和25 mm的實(shí)體模型劃入應(yīng)用域內(nèi)，根據(jù)δ的取值范圍，該例的確認(rèn)域和應(yīng)用域不重合.

在現(xiàn)實(shí)情況下，應(yīng)用域內(nèi)沒(méi)有試驗(yàn)值可以參照，不可能通過(guò)與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比來(lái)量化M＆S不確定度，必須建立不確定度的預(yù)測(cè)模型.

基于式（5）所表達(dá)的基本思想，擬用二次多項(xiàng)式構(gòu)造不確定度預(yù)測(cè)模型，獲取不確定度隨炸藥厚度δ的變化規(guī)律

表3 確認(rèn)域內(nèi)峰值速度V的模擬誤差和不確定度（δ／mm，EV／（m·s－1），UV／（m·s－1））Table 3 Simulation errors＆uncertainties of V in validated domain（δ／mm，EV／（m·s－1），UV／（m·s－1））

方程（8）一般為超定方程，根據(jù)最小二范數(shù)原則進(jìn)行求解，得到

至此，式（7）所對(duì)應(yīng)的函數(shù)形式被完全確定下來(lái)，并由此得到應(yīng)用域內(nèi)的不確定度預(yù)測(cè)結(jié)果，如表 4所示.

表4 應(yīng)用域內(nèi)峰值速度V的M＆S不確定度預(yù)測(cè)值（δ／mm，UV／（m·s－1））Table 4 Predicted M＆S uncertainties of V in the applied domain（δ／mm，UV／（m·s－1））

7 對(duì)不確定度量化方法的檢驗(yàn)

本文僅對(duì)基于預(yù)測(cè)推斷的應(yīng)用域內(nèi)不確定度量化方法進(jìn)行檢驗(yàn).

基于上述算例模型，本文安排以下步驟進(jìn)行檢驗(yàn)：

1）根據(jù)預(yù)測(cè)模型，推斷應(yīng)用域內(nèi)對(duì)應(yīng)不同炸藥厚度δ的M＆S不確定度，如表4所示；

2）對(duì)應(yīng)用域內(nèi)每個(gè)δ設(shè)計(jì)值，加工2個(gè)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，?個(gè)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，制定試?yàn)計(jì)劃；

3）對(duì)8個(gè)試驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行初態(tài)參數(shù)的測(cè)量，在試驗(yàn)前完成數(shù)值模擬并凍結(jié)模擬結(jié)果；

4）完成8個(gè)試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷脑囼?yàn)，記錄試驗(yàn)的測(cè)試結(jié)果；

5）將模擬結(jié)果減去測(cè)試結(jié)果，得到8次試驗(yàn)的模擬誤差；

6）對(duì)比模擬誤差和推斷結(jié)果以檢驗(yàn)應(yīng)用域內(nèi)不確定度量化方法的準(zhǔn)確性.

對(duì)比結(jié)果列于表5.將表5中每個(gè)δ設(shè)計(jì)值下兩次重復(fù)試驗(yàn)的最大誤差絕對(duì)值與表4中由預(yù)測(cè)模型得到的不確定度進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)預(yù)測(cè)模型能基本上反映出不確定度隨δ的變化規(guī)律，具有一定的預(yù)測(cè)推斷效果.由于試驗(yàn)數(shù)太少，統(tǒng)計(jì)結(jié)果的隨機(jī)性較大，應(yīng)用域內(nèi)的量化結(jié)果還不能完全達(dá)到真值覆蓋的要求，并且隨著設(shè)計(jì)點(diǎn)遠(yuǎn)離確認(rèn)域，預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性也會(huì)逐漸降低.

表5 應(yīng)用域內(nèi)峰值速度V的模擬結(jié)果和模擬誤差（δ／mm，V／（m·s－1））Table 5 Simulation and test results and errors of V in applied domain（δ／mm，V／（m·s－1））

8 結(jié)論

在缺乏試驗(yàn)的前提下，全系統(tǒng)級(jí)的可靠性認(rèn)證主要依靠數(shù)值模擬結(jié)果以及該結(jié)果對(duì)應(yīng)的不確定度，對(duì)不確定度過(guò)大或過(guò)小的估計(jì)將顯著增加產(chǎn)品認(rèn)證決策中“棄真”和“納偽”的錯(cuò)誤，為供需雙方帶來(lái)?yè)p失.本文根據(jù)復(fù)雜工程系統(tǒng)的可靠性認(rèn)證將越來(lái)越多地依賴(lài)數(shù)值模擬這一發(fā)展趨勢(shì)，對(duì)可靠性數(shù)值模擬不確定度量化的概念、原則、思想方法與實(shí)施步驟進(jìn)行了分析和歸納，重點(diǎn)對(duì)數(shù)值模擬用于預(yù)測(cè)任務(wù)時(shí)應(yīng)用域內(nèi)的不確定度量化方法進(jìn)行了探索，并結(jié)合算例演示了不確定度量化所經(jīng)歷的層級(jí)劃分、模型校準(zhǔn)、驗(yàn)證與確認(rèn)、應(yīng)用域內(nèi)不確定度量化及其方法檢驗(yàn)等過(guò)程.檢驗(yàn)結(jié)果表明，以實(shí)體模型參數(shù)為自變量而建立的不確定度函數(shù)，能夠基本上反映數(shù)值模擬不確定度在該參數(shù)空間中的變化規(guī)律，并能夠用于應(yīng)用域內(nèi)數(shù)值模擬不確定度的推斷，但隨著實(shí)體模型遠(yuǎn)離確認(rèn)域，推斷的準(zhǔn)確性會(huì)逐漸降低，另外，由于該方法的思想基礎(chǔ)源自對(duì)科學(xué)規(guī)律的主觀認(rèn)識(shí)，所以還需要有更多的實(shí)踐檢驗(yàn).

［1］OberkampfWL，Roy C J.Verification and validation in science computing［M］.Cambridge University Press，2010：1－767.

［2］Ma Zhibo，Ying Yangjun，Zhu Jianshi.QMU certifyingmethod and its implementation［J］.Chinese Journal of Nuclear Science and Engineering，2009，29（1）：1－9.

［3］Pilch M，Trucano T G，Helton J C.Ideas underlying the quantification of margins and uncertainties［J］.Reliability Engineering and System Safety，2011，96：965－975.

［4］Helton JC.Quantification ofmargins and uncertainties：Conceptual and computational basis［J］.Reliability Engineering and System Safety，2011，96：976－1013.

［5］Doostan A，Iaccarino G.A least-squares approximation of partial differential equations with high-dimensional random inputs［J］.Journal of Computational Physics，2009，228：4332－4342.

［6］Helton JC，Johnson JD，Sallaberry C J，Storlie C B.Survey of sampling-based method for uncertainty and sensitivity analysis［J］.Reliability Engineering and System Safety，2006，91（10－11）：1175－1209.

［7］Roy C J，OberkampfWL.A comprehensive framework for verification，validation，and uncertainty quantification in scientific computing［J］.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2011，200：2131－2144.

［8］Reston，VA，Guide for verification and validation of computational fluid dynamics［S］.American Institute of Aeronautics and Astronautics，AIAA G－077－1998.

［9］Ye Depei，Song Zhenguo，Wang Xianzhi，Expression and evaluation of uncertainty inmeasurement［S］.Military Standard of the People's Republic of China，1999，GJB3756－99.

［10］The American Society ofMechanical Engineers.Testuncertainty［S］.American National Standard，2005，ASME PTC 19.1－2005.

［11］The American Society of Mechanical Engineers.Guide for verification and validation in computational solid mechanics［S］. American National Standard，2006，ASME V＆V 10－2006.

［12］The American Society of Mechanical Engineers.Standard for verification and validation in computational fluid dynamics and heat transfer［S］.American National Standard，2009，ASME V＆V 20－2009.

［13］The American Society of Mechanical Engineers.An illustration of the concepts of verification and validation in computational solid mechanics［S］.American National Standard，2012，ASME V＆V 10.1－2012.

［14］Ma Zhibo，Zheng Miao，Yin Jianwei，et al.Quantification of uncertainties in detonation simulations［J］.Chinese Journal of Computational Physics，2011，28（1）：66－74.

Uncertainty Quantification of Numerical Simulation for Reliability Analysis

MA Zhibo1，LIHaijie2，YIN Jinwei1，HUANGWenbin3
（1.Institute of Applied Physics and Computational Mathematics，Beijing 100088，China；2.Electromechanical Product Research and Development Center，Changsha 410100，China；3.Institute of Fluid Physics，Mianyang 621900，China）

According to demands of uncertainty quantification for reliability certification，in hierarchy of complex engineering system and development from calibration，verification＆validation to prediction ability ofmodeling＆simulation（M＆S），the principle and method of uncertainty quantification of M＆S are investigated.An example on detonation process is shown in which the ideas are demonstrated.

numerical simulation；uncertainty quantification；verification＆validation；reliability certification

date：2013－07－12；Revised date：2013－12－07

0242.1

A

1001-246X（2014）04-0424-07

2013－07－12；

2013－12－07

國(guó)家自然科學(xué)基金（11371066）、中國(guó)工程物理研究院科學(xué)技術(shù)發(fā)展基金（2013A0101004）及裝備預(yù)先研究（51319010207）資助項(xiàng)目

馬智博（1963－），男，河南，博士，研究員，主要從事計(jì)算力學(xué)和可靠性工程研究，E-mail：mazhibo＠iapcm.ac.cn