古巴比倫人的數(shù)學(xué)智慧

林革

古巴比倫王國是世界四大文明古國之一，它建于公元前19世紀(jì)。古巴比倫位于西亞底格里斯河和幼發(fā)拉底河的中下游地區(qū)，也就是現(xiàn)在的伊拉克境內(nèi)。人類歷史上最古老的兩河流域文明孕育了璀璨奪目、享譽(yù)世界的古巴比倫文化。尤其值得稱道的是，古巴比倫人在3000多年前就掌握了大量的數(shù)學(xué)知識和一些獨(dú)特巧妙的解題策略，令人驚訝之余，不由得擊節(jié)嘆服。

泥板書上的數(shù)學(xué)成就

考古學(xué)研究表明，古巴比倫人當(dāng)時(shí)使用的是特殊的楔形文字，并把文字刻在泥板上曬干，曬干后的泥板變得和石頭一樣堅(jiān)硬，可以長期保存；但歲月的侵蝕還是使得大部分泥板書消蝕破損，保存下來的泥板書數(shù)量遠(yuǎn)不及埃及的紙草書。不過，這并不影響后人對古巴比倫燦爛文化的全面了解。古巴比倫人對于數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和記載，也是采用這種獨(dú)特的泥板書，在已經(jīng)挖掘出的50萬塊古巴比倫泥板中，純數(shù)學(xué)泥板有300塊左右。

從這些存世發(fā)掘的數(shù)學(xué)泥板書中人們發(fā)現(xiàn)，古巴比倫人不僅早就形成“逢十進(jìn)一”的概念，而且掌握了每隔六十進(jìn)一的計(jì)數(shù)法。在泥板上，古巴比倫人用“▼”表示1，用“<”表示10，從1到9是把“▼”寫相應(yīng)的次數(shù)，而60以內(nèi)的其他數(shù)字則通過“▼”和“<”的組合實(shí)現(xiàn)。比如35，就用：<<<▼▼

▼▼▼來表示。顯然，這種記數(shù)方法對如今普遍使用的十進(jìn)制和六十進(jìn)制有著重要而直接的影響。

古巴比倫人還掌握了許多計(jì)算方法，并且編制有各種數(shù)表輔助計(jì)算。從數(shù)學(xué)泥板書上，人們發(fā)現(xiàn)古巴比倫人使用乘法表、倒數(shù)表、平方和立方表、平方根和立方根表。他們在代數(shù)領(lǐng)域達(dá)到了相當(dāng)高的水平，能卓有成效地處理一般的三項(xiàng)二次方程和某些三次方程，特別是開方根的算法非常成熟。美國耶魯大學(xué)收藏的一塊編號7289的古巴比倫泥板書上，載有的近似值，用現(xiàn)代阿拉伯?dāng)?shù)字表示就是1.414213，這已是相當(dāng)?shù)木_。古巴比倫人還掌握了等差數(shù)列的概念，對級數(shù)問題有一些研究。

他們還具備初步的幾何知識，能把不規(guī)則形狀的田地分割為長方形、三角形和梯形來計(jì)算面積，也能計(jì)算簡單的體積。他們非常熟悉等分圓周的方法，求得圓周與直徑的比π=3，甚至還使用了勾股定理。

諸如此類，林林總總，足以證實(shí)古巴比倫人杰出的數(shù)學(xué)成就。

兄弟分銀與等差數(shù)列

在德國柏林博物館收藏的一塊古巴比倫數(shù)學(xué)泥板書上記載了這樣一道題目：兄弟10人分米那的銀子（米那和后面的賽克爾都是古巴比倫的重量單位，其中1米那=60賽克爾），相鄰的兄弟倆，比如老大和老二、老二和老三……所分銀子

的差相等，而且已知老八分到的銀子是6賽克爾，求每人所得的銀子數(shù)量？通俗轉(zhuǎn)化的意思是：“10個(gè)兄弟分100兩銀子，一個(gè)比一個(gè)多，只知道每一級相差的數(shù)量都一樣，但究竟相差多少不知道，現(xiàn)在第八個(gè)兄弟分到6兩銀子，問每級間相差多少？”這是一則涉及到等差數(shù)列的問題，古巴比倫人給出的解題方法是如此巧妙簡便，甚至連小學(xué)生也能理解。

他們的具體解答是：首先要判斷出10個(gè)兄弟分得的銀子數(shù)，從老大到老十要么越來越多，要么越來越少。如果10個(gè)兄弟平均分這100兩銀子，則每人應(yīng)該分到10兩。而現(xiàn)在第八個(gè)兄弟分到了6兩，說明只能是第二種情況，即老大分得多，往下是一個(gè)比一個(gè)少。

其次，要找到各兄弟所得銀子數(shù)間的關(guān)系。根據(jù)題意條件，假設(shè)老十的銀子數(shù)為A，一級相差d，那么老九的銀子數(shù)為A+d，老八的銀子數(shù)為A+2d，老七的銀子數(shù)為A+3d……老三的的銀子數(shù)為A+7d，老二的銀子數(shù)為A+8d，老大的銀子數(shù)為A+9d。這樣不難得出，老大與老十的銀子數(shù)之和=老二與老九的銀子數(shù)之和=老三與老八的銀子數(shù)之和=老四與老七的銀子數(shù)之和=老五與老六的銀子數(shù)之和，這樣100兩銀子就分成了相等的5組，每組為20兩。

最后，就從老三與老八的銀子數(shù)之和為20兩入手。由老八的銀子數(shù)6兩，可求出老三的銀子數(shù)為20-6=14（兩），這就說明，老三比老八多得14-6=8（兩）。而老三與老八相差（A+7d） -（A+2d）=5d，因此可求得一級相差d=8÷5=1.6（兩）。

古巴比倫人的原始算術(shù)解答，都是采用楔形文字?jǐn)⑹觥＿@里為了直觀說明才加進(jìn)了字母，解答的數(shù)學(xué)本質(zhì)沒有改變。

“普林頓322號”與勾股數(shù)

在古巴比倫數(shù)學(xué)泥板書中，最引人矚目的當(dāng)數(shù)“普林頓322號”。這是美國哥倫比亞大學(xué)普林頓收集館的第322號收藏品。此泥板書完成于公元前1900年～前1600年，現(xiàn)存的半部長12.7厘米，寬8.8厘米，用古巴比倫文字記錄書寫。盡管該泥板書有些殘缺，但大體完整，只是左邊掉下一塊，靠右邊中間部分有一個(gè)很深的缺口，左上角也剝落了一片，仍可以清楚地看到，有3列15行非常明顯的六十進(jìn)制數(shù)字，可用大家熟知的阿拉伯?dāng)?shù)字改寫直觀表示如下圖。

顯然，最右側(cè)這一列數(shù)字表示的是順序號，剩下的兩列數(shù)就讓人頗為費(fèi)解。不過，有關(guān)學(xué)者經(jīng)過修補(bǔ)考證研究，還是揭示出其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)意義：兩列中的對應(yīng)數(shù)（除了4個(gè)例外，有學(xué)者認(rèn)為是筆誤所致）恰好是，邊長為整數(shù)的直角三角形的斜邊和一條直角邊。比如：1692=1192+1202，66492=46012+48002，185412=127092+135002等等。圖中的4個(gè)例外情形，原泥板上的不正確數(shù)字均標(biāo)注在括號里。簡單地說，“普林頓322號”與“勾股數(shù)”有關(guān)。

大家都知道，像3、4、5這樣一組能作為直角三角形三條邊的正整數(shù)叫作“勾股數(shù)”，或稱“畢氏三數(shù)”。這是由于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了“勾股定理”，所以西方習(xí)慣把“勾股數(shù)”稱為“畢氏三數(shù)”。如果一組勾股數(shù)中，除了1之外沒有其他的公因子，就把這種特殊的勾股數(shù)叫作“素勾股數(shù)”或“素畢氏三數(shù)”。數(shù)學(xué)研究表明，所有的“素勾股數(shù)”a 、b、c都能用a =2uv，b2=u2-v2，c2= u2+v2來表示，其中u、v互質(zhì)，奇偶互異，且u>v。3、4、5這組最為常見的“素勾股數(shù)”就是取u=2、v=1時(shí)所得。

據(jù)此進(jìn)行驗(yàn)證，人們驚訝地發(fā)現(xiàn)，專業(yè)人士根據(jù)“普林頓322號” 給出的斜邊c和直角邊b來確定另一條直角邊a的“勾股數(shù)”中（如下表），除第11行的60、45、75和第15行的90、56、106之外，竟然都是“素勾股數(shù)”。為直觀

理解，表中也給出了畢氏參數(shù)u、v的值。

通過“普林頓322 號”不難看出，古巴比倫人早在3000多年前就知道“素勾股數(shù)”的一般參數(shù)表達(dá)式，否則，單靠巧合根本無法湊出這樣的數(shù)據(jù)。考慮到當(dāng)時(shí)的文化和數(shù)學(xué)背景，這絕對是個(gè)令人驚嘆的研究成果。

令人稱絕的巴比倫開方

不過，在名著《數(shù)學(xué)——人造的宇宙》中介紹的一種源自上古時(shí)代巴比倫的“開方”妙法，其奇妙構(gòu)思和獨(dú)特手法更令人拍案叫絕。

下面就以為例，向大家介紹別具一格的“巴比倫開方”法。

首先，我們可以通過計(jì)算器或查表得？≈？4.358898944。這樣的近似值把19的平方根寫到小數(shù)點(diǎn)后第9位，精確度已經(jīng)夠高，無需繼續(xù)拓展延伸，就放在一邊作為參照。

其次，用“迭代”（ 顧名思義就是指不停代換，也指循環(huán)執(zhí)行、反復(fù)執(zhí)行）來具體解釋“巴比倫開方”逐漸接近準(zhǔn)確結(jié)果的操作步驟：

第一次，設(shè)4為的起始近似值，雖然這極為粗略，但請不要放在心上。然后進(jìn)行如下計(jì)算：19÷4=4.75，接著求起始近似值4與商4.75的算術(shù)平均數(shù)，即（4.75+4）÷2=4.375，可以判斷的是，4.375的平方更接近于19，所以接下來就用相對準(zhǔn)確的4.375替代不準(zhǔn)確的4。

第二次，仍采用與上述一致的兩次計(jì)算，只是其中的4由4.375代換。如法炮制的計(jì)算就是：19÷4.375≈4.343，再求4.375與4.343的算術(shù)平均數(shù)，即（4.343+4.375）÷2=4.359，可以判斷的是，4.359的平方更接近于19，所以接下來就用更為準(zhǔn)確的4.359替代相對準(zhǔn)確的4.375。其中道理，仍是為了求出更接近于準(zhǔn)確結(jié)果的近似數(shù)。

第三次，設(shè)的近似值為4.359，則19÷4.359≈4.358798，（4.358798+4.359）÷2≈4.358899；

第四次，設(shè)的近似值為4.358899，則19÷4.358899≈4.3588989，（4.3588989+4.358899）÷2≈4.35889895；

第五次，設(shè)的近似值為4.35889895，則19÷4.358898959≈4.358898937，（4.358898937+4.35889895）÷2≈4.358898944。

至此，經(jīng)過5次迭代后，所得的近似值已經(jīng)與參照數(shù)值完全吻合，說明這種遞推結(jié)果非常精確。盡管這種“巴比倫開方”的計(jì)算過程比較繁瑣，但其科學(xué)合理和實(shí)用精妙毋庸置疑。

更令人驚奇的是，如果在假設(shè)的起始近似值時(shí)隨意離譜，比如設(shè)為7居然也不礙事。只要按照上述步驟持續(xù)操作，就會(huì)發(fā)現(xiàn)逐次接近的近似值變換為：7→4.857→4.3845→4.38895→4.358899→4.35889895→4.358898944。計(jì)算結(jié)果竟然在迭代過程中自我修復(fù)，悄悄回到正確軌道上，這真是匪夷所思。要知道，在歐洲被稱為“黑暗時(shí)代”的中世紀(jì)，大部分有文化的讀書人都不會(huì)開方運(yùn)算，遇到此等問題唯恐避之不及。

盡管古巴比倫的數(shù)學(xué)主要用于解決各類具體實(shí)際問題，但在早期文明中即達(dá)到極高水平。其精妙奇特的計(jì)算方法打開了人類對數(shù)學(xué)的探索之門，科學(xué)合理的計(jì)數(shù)規(guī)則對后世產(chǎn)生了重大影響。時(shí)至今日，我們回顧古巴比倫數(shù)學(xué)，仍能感受到奇特的魅力，驚嘆于古巴比倫人非同凡響的數(shù)學(xué)智慧。

【責(zé)任編輯】趙 菲