流場中功能梯度材料圓柱殼的頻散特性

姚熊亮，葉曦，計方（哈爾濱工程大學船舶工程學院，哈爾濱5000；中國艦船研究院，北京009）

流場中功能梯度材料圓柱殼的頻散特性

姚熊亮1，葉曦1，計方2
（1哈爾濱工程大學船舶工程學院，哈爾濱150001；2中國艦船研究院，北京100192）

文章基于Love殼體理論和Helmholtz波動方程推導了內外流場作用下功能梯度材料圓柱殼流固耦合振動方程。研究了流場作用下功能梯度殼內傳播波的頻散特性，并與各向同性圓柱殼進行比較。研究表明：在以拉伸和扭轉運動為主的頻段上，功能梯度殼體的材料特性改變對各支傳播波相速度的影響較大，且扭轉運動對應頻段所受的影響大于拉伸運動對應的頻段，而對彎曲波相速度的影響較小。該文可為水下航行器新型復合材料殼體的波動特性研究提供參考。

圓柱殼；功能梯度材料；體積分數指數；頻散；傳播波

dispersion characteristics;propagation wave

1 引言

現今水下航行器殼體多采用復合材料，一般的復合材料整體材料性能是統一的，而功能梯度材料（FGMs）的宏觀理化特性在空間上呈現梯度變化，從而使殼體兩側呈現截然不同性能和功能，使結構能更好地適應水下的復雜環境，提高水下航行器的綜合聲隱身性能。由于沒有明顯的分界面，且其性能的梯度變化規律可根據實際需要進行配置，較其他類型的復合材料具有更好的抗熱沖擊性、耐高溫性以及更強的使用靈活性，同時具有較高的機械強度和較好的力學性能，廣泛應用于船舶，航天，能源等關鍵工程領域，擁有良好的開發和使用前景。

目前，國內外已有許多學者正在進行功能梯度圓柱殼結構的動態特性研究，但是對殼內傳播波特性的研究開展得較少。Loy[1]首先利用Love殼體理論研究了功能梯度圓柱殼的自由振動，計算了鎳和不銹鋼復合而成的功能梯度圓柱殼固有頻率，討論了殼體參數以及功能梯度材料體積分數指數的變化對殼體固有頻率的影響。Tahmasebi等人[2]研究了功能梯度圓柱殼在兩端自由以及兩端剛固的邊界條件下的自由振動特性，同時加入了剪切變形對殼體振動方程的影響。伊克巴爾等[3]利用波動法討論了功能梯度圓柱殼內充液時的自振特性，計算了不同邊界條件下充液殼的固有頻率。功能梯度材料具有巨大的開發潛力，國內學者也展開了大量的研究。曹志遠[4]利用Love理論，對相當長圓柱殼提出軸向、周向分離變量振型函數，求解了功能梯度材料長圓柱殼的固有頻率。梁斌等人[5]利用Rayleigh-Ritz方法建立了功能梯度材料圓柱殼自由振動固有頻率的特征方程，計算了兩段簡支、一端固定一端簡支兩種邊界條件下的固有頻率，并討論了殼體幾何參數以及材料組分等變化對自由振動的影響。功能梯度材料自振特性的相關文獻還有[6-15]。功能梯度殼體自振特性研究已經獲得相當多的成果，但是對于當內外流場存在時殼體波動特性的研究成果還相對較少。

本文研究指數型體積分數功能梯度圓柱殼在流體環境下的傳播波頻散特性。根據Love殼體理論以及Helmholtz波動方程建立系統控制方程，分別討論了功能梯度殼體在內外流場作用下的傳播波特性，并與各向同性圓柱殼進行比較，最后分析了功能梯度材料體積分數指數對傳播波頻散特性的影響。為功能梯度材料應用于水下航行器殼體及舷間結構等提供理論參考。

2 流場中功能梯度材料圓柱殼振動基本理論

功能梯度圓柱殼結構模型如圖1所示。考慮由兩種材料復合而成，具有均勻厚度的功能梯度材料圓柱殼結構，取殼體中面為參考面，則殼體的楊氏模量E，泊松比μ和密度ρ可以表示為如下形式[1]：

圖1 功能梯度圓柱殼模型Fig.1 Themodel of FG cylindrical shell

其中：E1，E2，μ1，μ2，ρ1，ρ2分別為殼體內外層材料的楊氏模量，泊松比和密度；h為殼體厚度，h=Ro-Ri；p為功能梯度材料體積分數的指數，取值范圍為0，+∞［］。

對于由功能梯度材料組成的圓柱殼，當厚徑比小于0.05時，橫向剪切變形的影響較小[1]，因此經典的殼體理論仍適用。本文采用Love的經典殼體理論得出功能梯度圓柱殼在流場中的殼體振動方程。

圓柱殼微段平衡方程為[12]：

由于功能梯度材料圓柱殼周向仍為各向同性，故殼體的平面應力狀態可表示為：

其中：ω為圓頻率，km為軸向波數，n為周向模態數。

柱坐標系下理想流體的波動方程及邊界條件為：

其中：k0為流體中自由波波數，k0=ω/cf，cf為自由波相速度；ρf為流體密度。

由分離變量法可知（9）式的流體聲壓解可表示為如下形式：

式中：Ai，Bi，Ci分別為拉伸剛度，耦合剛度以及彎曲剛度，可定義如下：

對于任意的頻率和周向模態數，該流固耦合系統都有無數個軸向波數相對應，根據頻散方程求得的km值，可將其分為三類：當km為實數時，表示沿殼體軸向的傳播波；當km為虛數時，表示沿殼體軸向的近場衰減波；而當km為共軛復數時，表示一對沿相反方向傳播的共軛衰減波。本文僅求解頻散方程的實數根，即僅討論殼體軸向傳播波的性質。令傳播波相速度Cs=ω/km。

3 數值結果與討論

計算中取殼體厚徑比h/R=0.02，功能梯度材料體積分數的指數p=1。流體中自由波波速為cf= 1 500m/s，流體密度為ρf=1 000 kg/m3，不考慮初始壓力q的影響。定義A型圓柱殼為各向同性圓柱殼，材料為不銹鋼，彈性模量Es=2.077 88×1011N/m2，泊松比μs=0.317 756，密度ρs=8 166 kg/m3，B型圓柱殼為功能梯度材料圓柱殼，由兩層材料復合而成，外層材料為不銹鋼，內層材料為鎳，彈性模量En= 2.050 98×1011N/m2，泊松比μn=0.31，密度ρn=8 900 kg/m3。

圖2為流場作用下各向同性圓柱殼和功能梯度圓柱殼相速度頻散曲線的對比。

由圖2和圖3可知，有流場存在時，無論是內流場還是外流場，各向同性圓柱殼和功能梯度圓柱殼的相速度頻散曲線整體趨勢相似，A型圓柱殼的傳播波相速度高于B型圓柱殼，這是由于B型圓柱殼內層材料為鎳，其楊氏模量較不銹鋼低，而密度較不銹鋼高，因此B型功能梯度材料圓柱殼和A型各向同性圓柱殼相比，剛度減小，質量增加，固有頻率降低。

圖2 內流場作用下A型和B型圓柱殼相速度頻散曲線比較Fig.2 Dispersion curves of Type A and Type B cylindrical shellswith internal flow field

內流場作用時，呼吸模態下（n=0），相速度頻散曲線存在明顯的“臺階”。相速度較高處的各個“臺階”相連，在高頻段對應為拉伸波的相速度，相速度較低處的各個“臺階”相連，在高頻段對應為扭轉波的相速度。“臺階”之外的各支傳播波是由拉伸、扭轉和彎曲運動相互耦合形成，在較高頻率處轉化為彎曲波。

隨著周向模態數的增加，相速度頻散曲線的“臺階”逐漸變得不明顯，各支傳播波扭轉、拉伸和彎曲運動耦合增強。在高頻段，各支傳播波中扭轉運動較強的頻段逐漸接近于桿中的扭轉波相速度，同樣，各支傳播波中拉伸運動較強的頻段逐漸接近于板中的拉伸波相速度。

如圖2所示，殼體材料對傳播波相速度的影響在“臺階”上最為明顯，且對相速度較高處“臺階”的影響高于對相速度較低處“臺階”的影響，由此可知殼體材料參數對以拉伸波為主的傳播波頻段的相速度影響最為顯著，其次為以扭轉波為主的傳播波頻段，而對各支傳播波其余頻段的影響相對較弱。

如圖3所示，在外流場作用下，傳播波的相速度頻散曲線不存在“臺階”，3支傳播波在高頻段分別轉化為拉伸波、扭轉波和彎曲波。與內流場的情形相似，殼體材料對傳播波相速度的影響主要發生在扭轉波和拉伸波為主的頻段，且對后者的影響高于前者，而對彎曲波相速度的影響較弱。

上述討論中功能梯度材料的體積分數指數p=1，為了研究功能梯度材料體積分數指數對殼體傳播波性質的影響，取指數p=30，計算各支傳播波的相速度曲線并進行比較。

圖3 外流場作用下A型和B型圓柱殼相速度頻散曲線比較Fig.3 Dispersion curves of Type A and Type B cylindrical shellswith external flow field

圖4 指數p對B型功能梯度圓柱殼頻散曲線的影響Fig.4 The influence of exponent p on the dispersion characteristic of Type B cylindrical shell

由圖4可以得出，隨著指數p的增加，真空中與流場作用下，B型功能梯度圓柱殼的相速度曲線都有所下移，表明此時傳播波相速度減小，傳播波波數增加，殼體固有頻率減小，這與文獻[1]的結論相同。指數p的改變，會引起功能梯度材料殼體楊氏模量、密度和泊松比等材料參數沿厚度方向梯度分布的改變，宏觀上導致殼體的剛度和質量發生變化。對于B型功能梯度圓柱殼，指數p增加，殼體的彎曲剛度、耦合剛度和拉伸剛度降低，單位面積質量增加，因此固有頻率降低。p改變對各支傳播波相速度帶來的影響在拉伸和扭轉運動為主的頻段上最為明顯，且對前者的影響大于后者，而在其余頻段上影響較小。

4 結論

基于經典殼體理論，采用波動法計算并研究功能梯度圓柱殼傳播波的頻散特性，將所得結果與各向同性材料圓柱殼比較，分析體積分數指數改變對殼體內傳播波相速度的影響，可以得出如下結論：

當殼體為功能梯度材料時，其宏觀特性沿厚度方向按梯度變化，殼內傳播波頻散特性受到各材料組分及其相互之間體積比的影響。功能梯度殼體材料參數和各組分體積分數的改變會引起系統剛度和質量的變化，影響固有頻率及傳播波的相速度頻散特性。拉伸波和扭轉波的相速度受材料特性影響較大，且前者所受的影響更為顯著，而彎曲波相速度所受的影響較小，可以忽略。

通過合理配置功能梯度材料組分及體積分數指數，使功能梯度材料在水下的復雜環境中具備良好的自振及波動特性，對于提高水下航行器聲隱身性能具有一定的工程實用價值。

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Dispersion characteristics of functionally graded materials cylindrical shellw ith flow field

YAO Xiong-liang1,YE Xi1,JIFang2
(1 College of Shipbuilding Engineering,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China; 2 China Ship Research and Development Academy,Beijing 100192,China)

Based on the Love's shell theory and Helmholtz wave equations,the vibration equation about fluid-structure coupling with internal and external flow field is deduced.The dispersion characteristics of propagation waves in FG cylindrical shellwith flow field is studied and compared with the isotropic cylindrical shell.The research shows that in the frequency band themainlymotion components are tension and torsion,the change ofmaterial of FG cylindrical shell has great influence on phase velocity of the propagation waves.And the effect to torsion ismore obvious than tension.However it is less important to the phase velocity of bending wave.This paper can provide reference for studying wave-motion characteristics of non-pressure shellwith new style compositematerial.

cylindrical shell;functionally gradedmaterial;exponent of volume fraction;

TB535+.1 U663

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2014.10.012

1007-7294（2014）10-1254-08

2014-01-08

國家自然科學基金重點項目（50939002）；國際科技合作項目（2007DFR80340）

姚熊亮（1963-），男，哈爾濱工程大學教授/博士生導師；葉曦（1987-），男，博士，E-mail:63055418@qq.com。