經濟分析與預測模型中信息矩陣的病態問題分析
2014-06-13 16:18:07羅娟
價值工程 2014年16期
羅娟
摘要： 對常用的經濟分析與預測模型中的線性回歸、時間序列及灰色系統信息矩陣的病態問題進行了討論。通過對統計資料附加干擾，基于最小二乘原理，得出每個模型中的每一參數與噪聲的數值關系。指出在經濟分析與預測模型的使用過程中，使用這類模型進行分析時必須考慮矩陣的病態問題，采取有效方法減輕或者消除信息矩陣的病態程度后方可使用這三種模型。
Abstract： The paper discusses theoretical and simulates in numerical of the economic analysis and forecasting model's ill-posed problem in linear regression analysis， time series analysis model and gray system model. Imposed interference noise on deformation observational data， it come out the numerical expression relation between every three model parameters and the noise interference using the least squares principle. The paper points out if one use any of the three models for modeling analysis to explain the deformation and deformation forecast， one must be required to inspect the information matrix A=XTX whether or not was ill-posed， and take effective method to reduce the ill-condition of the information matrix before using these three models.
關鍵詞： 經濟分析；病態；線性回歸分析；時間序列；灰色模型
Key words： economic analysis；ill-posed；linear regression analysis；time series；gray model
中圖分類號：F224 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2014）16-0019-03
0 引言
經濟分析與預測模型中[1]，線性回歸分析法、時間序列分析模型、灰色系統分析模型等都可能會產生矩陣病態問題。文獻[1]對計量經濟分析于預測模型中的灰色模型的病態問題進行了研究與探討。經濟分析與預測就是通過大量的經濟統計數據，利用統計方法，建立經濟指標或經濟指標影響因素之間的數學模型，并進行經濟預測，或者依據經濟發展隨時間空間變化特征及變化建立模型。前者有多元回歸分析模型、逐步回歸分析模型和嶺回歸分析模型等，后者有趨勢分析法，時間序列分析法、模糊聚類分析模型，動態響應分析等方法等。線性方程組Ax=b中，系數矩陣A或常數項b的極小變化，會引起解x的巨大變化，稱這樣的方程組為病態方程組，A稱為病態矩陣[2，3]。現對方程組Ax=b進行攝動分析。令A為固定非奇異矩陣，b攝動值為δb，解x則為x+δx，即：A（x+δx）=b+δb得δx=A-1δb，由范數的定義得：||δx||？燮||A-1||·||δb||，||b||？燮||A||·||x||，則：
■？燮||A-1||·||A||·■ （1）
從式（1）可以看出，常數項b的微小變化δb在解x中可放大||A-1||·||A||倍。令b固定，A攝動一個δA，解x變為x+δx，即：（A+δA）（x+δx）=b。如果δA不受限制，A+δA可能奇異，令：（A+δA）=A（I+A-1δA）當||A-1δA||？燮1時，（I+A-1δA）-1存在，得：δx=-（I+A-1δA）-1A-1（δA）x，||δx||？燮■。若||A-1δA||？燮1，有：
■？燮■ （2）
從（1），（2）式可以看出，||A-1|| ||A||愈大，A，b攝動時，解x的變化就越大，||A-1|| ||A||則是解相對于原始數據變化的靈敏度，是反映方程組病態的指標，稱cond（A）=||A-1|| ||A||為矩陣的條件數。常用的條件數是譜條件數：cond（A）2=||A-1||2||A||2=■。當A 是實對稱矩陣時，cond（A）2=■，λ■，λ■分別為A的按模最大和最小特征值。
信息矩陣的病態影響了經濟分析與預測模型的解釋和預測的精度和準確性。本文對回歸分析模型、時間序列模型和灰色GM模型中的病態問題進行了討論與分析。對經濟統計資料施加噪聲，基于最小二乘原理，給出上述模型每一個參數與噪聲的關系表達式。
1 回歸分析模型中的病態問題
考慮如下多元線性回歸分析[4]：
y■=b■+b■x■+…+b■x■+e■ …y■=b■+b■x■+…+b■x■+e■ （3）
其中yi，xij分別為經濟統計數據的因變量和自變量，bi為回歸系數，ei為觀測誤差，假設ei服從獨立同分布的N（0，σ2），k為回歸方程的階數，N為經濟統計數據樣本長度。式（3）用矩陣形式可以寫成
Y=Xb+e （4）
其中Y=y■，y■，…，y■■，b=b■，b■，…，b■■，
e=e■，e■，…，e■■
X=1 x■ … x■1 x■ … x■… … … …1 x■ … x■
令A=XTX，C=XTY，則式（4）的正規方程為Ab=C （5）
則b的最小二乘（LS）估計為
b=（XTX）-1XTY=？準TY=A-1C （6）
其中？準T=（XTX）-1XT稱為廣義逆矩陣或偽逆矩陣。
有表1的經濟統計數據，現采用二元回歸模型y=b0+b1x1N+b2x2N進行回歸分析。
從而X=1 2.0 16.01 2.1 16.11 6.9 49.01 7.0 48.91 7.6 52.01 7.7 52.6，Y=18.720.537.239.336.537.6，
從而，A=X■X=6 33.3 234.633.3 222.07 1546.43234.6 1546.43 10778.18
由于det（A）=449.0196≠0，信息矩陣A非奇異。cond（A）=281612.7484，矩陣A嚴重病態。即x1N和x2N兩列數據存在高度依賴性。根據b=（XTX）-1XTY=A-1XTY求出的b=[8.3571，-7.6957，1.6877]，從而可以得到二元回歸模型
y=8.3571-7.6957x1N+1.6877x2N （7）
為觀察信息矩陣A的病態性對對二元回歸模型系數的影響，現把Y值得后一項y6=37.6依序增加0.1，可得到b值隨其變化的趨勢，見圖1（圖中b（2）對應于b2，b（3）對應于b3，Y6對應于y6）。考慮到y6的微小增量對表1中經濟統計數據的規律無較大影響，但回歸系數變化很大，可認為式（4）的回歸分析模型不可靠。
2 時間序列分析模型中的病態問題
AR（n）模型中[5]，有
xt=φ1xt-1+φ2xt-2+…+φnxt-n+at （8）
若共有x1，x2，…xN等N個采樣數據，則有
Y=Xφ+a （9）
式中：
X=x■ x■ … x■x■ x■ … x■… … … …x■ x■ … x■，φ=φ■φ■…φ■，
Y=x■x■…x■，a=a■a■…a■
則φ的最小二乘（LS）估計為φ=（XTX）-1XTY （10）
信息矩陣XTX的元素是由數值接近的數據累加而成，數值互相很接近，X的列存在復共線性，式（10）為病態方程組，φ的數值解將不穩定。
某序列經濟統計數據共8個（單位：千萬），采用AR（4）模型進行統計數據的時間序列分析。（表2）
則可知：
X=6.01 7.02 7.98 9.017.02 7.98 9.01 10.007.98 9.01 10.00 10.999.01 10.00 10.99 12.01，Y=10.0010.9912.0113.02，則
A=XTX=230.261 260.2096 290.2096 320.2604260.2096 294.1409 327.9194 362.1701290.0299 327.9194 365.6406 403.8897320.2604 362.1701 430.8897 446.2003，XTX為對稱正定矩陣。det（A）=0.000398≠0，信息矩陣A非奇異，cond（A）=1909061.3249。根據式（10）可求得φ=[-0.5093，
0.1897，0.2187，1.1081]。把Y值后一項13.02依序增加0.001，則求得φ值的變化趨勢產生很大改變，是因為信息矩陣XTX是嚴重病態的。見圖2（圖中b（1）對應于φ1，b（2）對應于φ2，b（3）對應于φ3，b（4）對應于φ4，x（8）對應于x18，x18初值為13.020）。
3 灰色系統分析模型中的病態問題
灰色系統分析模型的病態問題一直有文獻進行了研究[6-8]。設有如表3某經濟統計資料。
現采用GM（2，1）模型對表3中的數據進行分析。從文獻[6]知，b=[（A■B）T（A■B）]-1（A■B）TY （11）
b為GM（2，1）的模型參數。從而得：（A■B）=-5.2448 -7.2208 1-5.2912 -12.4888 1-5.4240 -17.8464 1-5.8864 -23.5016 1，Y=0.64640.04640.13280.4624，從而可以得到（A■B）T（A■B）=119.5742 339.0911 -21.8464339.0911 1078.9293 -61.0576-21.8464 -61.0576 4，繼而利用matlab求矩陣逆函數inv命令可得（（A■B）T（A■B））-1=23.2464 -0.8890 113.3921-0.8890 0.0408 -4.2327113.3921 -4.2327 554.9427，最后，根據式（11）求得b=[-2.054487，0.086579，-9.577209]。
矩陣[（A■B）T（A■B）]，det（（A■B）T（A■B））=25.2807≠0，矩陣A非奇異，可其條件數為688123.87035。這么大的條件數對于一個三階矩陣是不正常的。令x■■（5）從5.8864以0.01步長遞增，可發現b的值改變的幅度遠比x■■（1）的幅度大。見圖3（圖中b（1）對應于b1，b（3）對應于b3，x1（5）對應于x■■（5））。
4 結語
本文對經濟分析與預測模型中的線性回歸分析法、時間序列分析、灰色系統等模型中的病態問題進行了討論與分析。研究結果表明：在經濟分析與預測中，使用類似模型時，應考慮信息矩陣的病態問題，采取適當的措施來減輕病態矩陣的影響才能用于實際。
參考文獻：
[1]鄭照寧，武玉英等.GM 模型的病態性問題[J].中國管理科學，2001，9 （5） ：38-44.
[2]Horn，Roger.A.Johnson.Charles.A. Matrix Analysis[M].First Edition. New York：Cambridge University Press，1985：336-389.
[3]方保，李醫民.矩陣論基礎（第二版）[M].南京：河海大學出版社，1999：210-240.
[4]陳希孺，王松桂.近代回歸分析[M].合肥：安徽教育出版社，1987.
[5]徐東，劉志陽，徐奉臻.我國證券投資基金羊群行為的實證分析（1999～2004）——基于LSV和時間序列的研究[J].哈爾濱工業大學學報，2006，38（12） ：2132-2138.
[6]鄧聚龍，灰色控制系統（第一版）[M].武漢：華中工學院出版社，1985：293-360.
[7]唐利民，朱建軍，戴水財等.變形分析與預測模型中病態問題分析[J].測繪科學，2008（06）：47-49.
[8]唐利民，唐平英.公路路基沉降分析與預測模型病態問題研究[J].中外公路，2008（02）：75-79.
令A=XTX，C=XTY，則式（4）的正規方程為Ab=C （5）
則b的最小二乘（LS）估計為
b=（XTX）-1XTY=？準TY=A-1C （6）
其中？準T=（XTX）-1XT稱為廣義逆矩陣或偽逆矩陣。
有表1的經濟統計數據，現采用二元回歸模型y=b0+b1x1N+b2x2N進行回歸分析。
從而X=1 2.0 16.01 2.1 16.11 6.9 49.01 7.0 48.91 7.6 52.01 7.7 52.6，Y=18.720.537.239.336.537.6，
從而，A=X■X=6 33.3 234.633.3 222.07 1546.43234.6 1546.43 10778.18
由于det（A）=449.0196≠0，信息矩陣A非奇異。cond（A）=281612.7484，矩陣A嚴重病態。即x1N和x2N兩列數據存在高度依賴性。根據b=（XTX）-1XTY=A-1XTY求出的b=[8.3571，-7.6957，1.6877]，從而可以得到二元回歸模型
y=8.3571-7.6957x1N+1.6877x2N （7）
為觀察信息矩陣A的病態性對對二元回歸模型系數的影響，現把Y值得后一項y6=37.6依序增加0.1，可得到b值隨其變化的趨勢，見圖1（圖中b（2）對應于b2，b（3）對應于b3，Y6對應于y6）。考慮到y6的微小增量對表1中經濟統計數據的規律無較大影響，但回歸系數變化很大，可認為式（4）的回歸分析模型不可靠。
2 時間序列分析模型中的病態問題
AR（n）模型中[5]，有
xt=φ1xt-1+φ2xt-2+…+φnxt-n+at （8）
若共有x1，x2，…xN等N個采樣數據，則有
Y=Xφ+a （9）
式中：
X=x■ x■ … x■x■ x■ … x■… … … …x■ x■ … x■，φ=φ■φ■…φ■，
Y=x■x■…x■，a=a■a■…a■
則φ的最小二乘（LS）估計為φ=（XTX）-1XTY （10）
信息矩陣XTX的元素是由數值接近的數據累加而成，數值互相很接近，X的列存在復共線性，式（10）為病態方程組，φ的數值解將不穩定。
某序列經濟統計數據共8個（單位：千萬），采用AR（4）模型進行統計數據的時間序列分析。（表2）
則可知：
X=6.01 7.02 7.98 9.017.02 7.98 9.01 10.007.98 9.01 10.00 10.999.01 10.00 10.99 12.01，Y=10.0010.9912.0113.02，則
A=XTX=230.261 260.2096 290.2096 320.2604260.2096 294.1409 327.9194 362.1701290.0299 327.9194 365.6406 403.8897320.2604 362.1701 430.8897 446.2003，XTX為對稱正定矩陣。det（A）=0.000398≠0，信息矩陣A非奇異，cond（A）=1909061.3249。根據式（10）可求得φ=[-0.5093，
0.1897，0.2187，1.1081]。把Y值后一項13.02依序增加0.001，則求得φ值的變化趨勢產生很大改變，是因為信息矩陣XTX是嚴重病態的。見圖2（圖中b（1）對應于φ1，b（2）對應于φ2，b（3）對應于φ3，b（4）對應于φ4，x（8）對應于x18，x18初值為13.020）。
3 灰色系統分析模型中的病態問題
灰色系統分析模型的病態問題一直有文獻進行了研究[6-8]。設有如表3某經濟統計資料。
現采用GM（2，1）模型對表3中的數據進行分析。從文獻[6]知，b=[（A■B）T（A■B）]-1（A■B）TY （11）
b為GM（2，1）的模型參數。從而得：（A■B）=-5.2448 -7.2208 1-5.2912 -12.4888 1-5.4240 -17.8464 1-5.8864 -23.5016 1，Y=0.64640.04640.13280.4624，從而可以得到（A■B）T（A■B）=119.5742 339.0911 -21.8464339.0911 1078.9293 -61.0576-21.8464 -61.0576 4，繼而利用matlab求矩陣逆函數inv命令可得（（A■B）T（A■B））-1=23.2464 -0.8890 113.3921-0.8890 0.0408 -4.2327113.3921 -4.2327 554.9427，最后，根據式（11）求得b=[-2.054487，0.086579，-9.577209]。
矩陣[（A■B）T（A■B）]，det（（A■B）T（A■B））=25.2807≠0，矩陣A非奇異，可其條件數為688123.87035。這么大的條件數對于一個三階矩陣是不正常的。令x■■（5）從5.8864以0.01步長遞增，可發現b的值改變的幅度遠比x■■（1）的幅度大。見圖3（圖中b（1）對應于b1，b（3）對應于b3，x1（5）對應于x■■（5））。
4 結語
本文對經濟分析與預測模型中的線性回歸分析法、時間序列分析、灰色系統等模型中的病態問題進行了討論與分析。研究結果表明：在經濟分析與預測中，使用類似模型時，應考慮信息矩陣的病態問題，采取適當的措施來減輕病態矩陣的影響才能用于實際。
參考文獻：
[1]鄭照寧，武玉英等.GM 模型的病態性問題[J].中國管理科學，2001，9 （5） ：38-44.
[2]Horn，Roger.A.Johnson.Charles.A. Matrix Analysis[M].First Edition. New York：Cambridge University Press，1985：336-389.
[3]方保，李醫民.矩陣論基礎（第二版）[M].南京：河海大學出版社，1999：210-240.
[4]陳希孺，王松桂.近代回歸分析[M].合肥：安徽教育出版社，1987.
[5]徐東，劉志陽，徐奉臻.我國證券投資基金羊群行為的實證分析（1999～2004）——基于LSV和時間序列的研究[J].哈爾濱工業大學學報，2006，38（12） ：2132-2138.
[6]鄧聚龍，灰色控制系統（第一版）[M].武漢：華中工學院出版社，1985：293-360.
[7]唐利民，朱建軍，戴水財等.變形分析與預測模型中病態問題分析[J].測繪科學，2008（06）：47-49.
[8]唐利民，唐平英.公路路基沉降分析與預測模型病態問題研究[J].中外公路，2008（02）：75-79.
令A=XTX，C=XTY，則式（4）的正規方程為Ab=C （5）
則b的最小二乘（LS）估計為
b=（XTX）-1XTY=？準TY=A-1C （6）
其中？準T=（XTX）-1XT稱為廣義逆矩陣或偽逆矩陣。
有表1的經濟統計數據，現采用二元回歸模型y=b0+b1x1N+b2x2N進行回歸分析。
從而X=1 2.0 16.01 2.1 16.11 6.9 49.01 7.0 48.91 7.6 52.01 7.7 52.6，Y=18.720.537.239.336.537.6，
從而，A=X■X=6 33.3 234.633.3 222.07 1546.43234.6 1546.43 10778.18
由于det（A）=449.0196≠0，信息矩陣A非奇異。cond（A）=281612.7484，矩陣A嚴重病態。即x1N和x2N兩列數據存在高度依賴性。根據b=（XTX）-1XTY=A-1XTY求出的b=[8.3571，-7.6957，1.6877]，從而可以得到二元回歸模型
y=8.3571-7.6957x1N+1.6877x2N （7）
為觀察信息矩陣A的病態性對對二元回歸模型系數的影響，現把Y值得后一項y6=37.6依序增加0.1，可得到b值隨其變化的趨勢，見圖1（圖中b（2）對應于b2，b（3）對應于b3，Y6對應于y6）。考慮到y6的微小增量對表1中經濟統計數據的規律無較大影響，但回歸系數變化很大，可認為式（4）的回歸分析模型不可靠。
2 時間序列分析模型中的病態問題
AR（n）模型中[5]，有
xt=φ1xt-1+φ2xt-2+…+φnxt-n+at （8）
若共有x1，x2，…xN等N個采樣數據，則有
Y=Xφ+a （9）
式中：
X=x■ x■ … x■x■ x■ … x■… … … …x■ x■ … x■，φ=φ■φ■…φ■，
Y=x■x■…x■，a=a■a■…a■
則φ的最小二乘（LS）估計為φ=（XTX）-1XTY （10）
信息矩陣XTX的元素是由數值接近的數據累加而成，數值互相很接近，X的列存在復共線性，式（10）為病態方程組，φ的數值解將不穩定。
某序列經濟統計數據共8個（單位：千萬），采用AR（4）模型進行統計數據的時間序列分析。（表2）
則可知：
X=6.01 7.02 7.98 9.017.02 7.98 9.01 10.007.98 9.01 10.00 10.999.01 10.00 10.99 12.01，Y=10.0010.9912.0113.02，則
A=XTX=230.261 260.2096 290.2096 320.2604260.2096 294.1409 327.9194 362.1701290.0299 327.9194 365.6406 403.8897320.2604 362.1701 430.8897 446.2003，XTX為對稱正定矩陣。det（A）=0.000398≠0，信息矩陣A非奇異，cond（A）=1909061.3249。根據式（10）可求得φ=[-0.5093，
0.1897，0.2187，1.1081]。把Y值后一項13.02依序增加0.001，則求得φ值的變化趨勢產生很大改變，是因為信息矩陣XTX是嚴重病態的。見圖2（圖中b（1）對應于φ1，b（2）對應于φ2，b（3）對應于φ3，b（4）對應于φ4，x（8）對應于x18，x18初值為13.020）。
3 灰色系統分析模型中的病態問題
灰色系統分析模型的病態問題一直有文獻進行了研究[6-8]。設有如表3某經濟統計資料。
現采用GM（2，1）模型對表3中的數據進行分析。從文獻[6]知，b=[（A■B）T（A■B）]-1（A■B）TY （11）
b為GM（2，1）的模型參數。從而得：（A■B）=-5.2448 -7.2208 1-5.2912 -12.4888 1-5.4240 -17.8464 1-5.8864 -23.5016 1，Y=0.64640.04640.13280.4624，從而可以得到（A■B）T（A■B）=119.5742 339.0911 -21.8464339.0911 1078.9293 -61.0576-21.8464 -61.0576 4，繼而利用matlab求矩陣逆函數inv命令可得（（A■B）T（A■B））-1=23.2464 -0.8890 113.3921-0.8890 0.0408 -4.2327113.3921 -4.2327 554.9427，最后，根據式（11）求得b=[-2.054487，0.086579，-9.577209]。
矩陣[（A■B）T（A■B）]，det（（A■B）T（A■B））=25.2807≠0，矩陣A非奇異，可其條件數為688123.87035。這么大的條件數對于一個三階矩陣是不正常的。令x■■（5）從5.8864以0.01步長遞增，可發現b的值改變的幅度遠比x■■（1）的幅度大。見圖3（圖中b（1）對應于b1，b（3）對應于b3，x1（5）對應于x■■（5））。
4 結語
本文對經濟分析與預測模型中的線性回歸分析法、時間序列分析、灰色系統等模型中的病態問題進行了討論與分析。研究結果表明：在經濟分析與預測中，使用類似模型時，應考慮信息矩陣的病態問題，采取適當的措施來減輕病態矩陣的影響才能用于實際。
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