地震學百科知識（十二）
——地震波散射＊

吳如山 謝小碧

1）美國加州大學圣克魯斯分校，地球與行星科學學院，美國加州CA 95064

2）美國加州大學圣克魯斯分校，地球物理與行星物理研究所，美國加州CA 95064

地震科普

地震學百科知識（十二）
——地震波散射＊

吳如山1）謝小碧2）

1）美國加州大學圣克魯斯分校，地球與行星科學學院，美國加州CA 95064

2）美國加州大學圣克魯斯分校，地球物理與行星物理研究所，美國加州CA 95064

廣義地說，由地球介質的任何三維非均勻性引起的地震波場畸變均可稱為地震波散射。不過，通常地震波散射是指由地球小尺度（與波長相比）非均勻性引起的、不適合用射線理論（幾何射線）研究的地震波場畸變現象。例如，波場傳播方向的偏折和分裂，P波和S波的相互轉換，地震尾波的產生，地震波的走時和振幅橫跨觀測臺陣的隨機起伏變化等。

1 地球介質的不均勻性及地震波散射

隨著對地球結構認識的深入，經典的球對稱地球模型或分層地球模型常常不能滿足研究的需要。人們逐漸認識到地球各個部分，包括地殼、地幔和地核都是橫向不均勻的。其不均勻性的變化范圍可以小到晶粒尺度，也可以大到整個大陸的尺度。

地球內部結構的非均勻性的存在往往揭示出地質構造活動的存在，例如，地震斷層活動、板塊俯沖、大陸碰撞、地幔對流或熱柱活動等。目前，地震波是研究這些非均勻性的最有效的工具之一。

不同尺度的非均勻體對地震波傳播具有不同的影響。全球性的非均勻性會使大地震激發出來的地球自由振蕩的振型產生分裂。區域性的或局部的非均勻性會使地震波的走時、波形以及振幅發生起伏變化。核幔邊界處的非均勻性會在地核影區產生散射波震相。小尺度的局部非均勻性會產生地震尾波并引起地震波的視衰減（散射衰減）。非常小尺度的非均勻體，例如介質中的裂隙或沉積地層中的薄互層，可以引起介質中的宏觀各向異性。

對于具有平均尺度a和速度擾動強度指數?v的非均勻體，它對地震波的影響可以用三個無量綱的特征量劃分為不同的區域來討論。這三個特征量是ka＝2πa／λ，L／a和?v，其中k是波數，λ是介質中的波長，L是波傳播的距離或非均勻區的尺度，?v＝（δv／v0）rms是速度相對擾動的均方根值，v0是區域速度的平均值。以下是介質不均勻性對地震波傳播的不同影響區域［1，2］（圖1）。

（1）準均勻區。當ka＜0.01時，地震波很難探測到非均勻性的存在。利用等效參數，介質可以被近似看成均勻介質。

（2）瑞利散射。當ka?1（例如ka＜0.1）時，散射能量正比于k4（振幅正比于k2）。在這一范圍中的散射會引起明顯的地震波衰減。

圖1 地球中地震波散射現象的分類及不同近似方法的使用范圍。a為非均勻體尺度；L為波傳播距離；k＝2π／λ為波數；IS是散射波功率，I0是入射波功率

（3）大角度散射。當ka≈（例如0.1＜ka＜10）時，非均勻體的大小與波長接近，散射現象變得非常重要。入射能量以較大的角度被散射到各個方向。在這一范圍中的散射現象也被稱為共振散射或Mie散射。它對于形成地震尾波或引起散射衰減具有重要貢獻。

（4）小角度散射或前向散射。當ka?1時，絕大部分散射能量集中在波前進的方向。在這一范圍，可以用拋物方程來近似全波波動方程。從物理上講，這是因為大部分能量向前傳播，所以可以用單向波方程來代替全波方程。在實踐中，單向波方程的應用常常被推廣到ka＞1。小角度散射問題與地震波的焦散現象、衍射現象和干涉現象有密切關系。它可以產生地震波走時和振幅的起伏，而由此產生的觀測結果也可作為研究地球內部速度分布的數據。引入兩個參數：

衍射參數：

散射強度參數：

其中衍射參數Λ是一個跟費涅爾半徑與不均勻尺度之比有關的無量綱量；LF＝是沿傳播路徑L上的平均費涅爾半徑；散射強度參數Φ可以被近似地理解為波通過距離L后所產生的均方根相位變化；aL是沿傳播方向上非均勻體的尺度；ξ＝aL／a是非均勻性的各向異性比率。根據這兩個參數，可以將小角度散射進一步細分為三個區域：

（1）幾何光學區。這個區域處于ka＞1，Λ＜1以及ΛΦ＜2π。由于Λ＜1，沿著路徑的平均費涅爾半徑小于非均勻體的橫向尺度，所以衍射現象可以被忽略。如果使用射線理論，同時還要滿足ΛΦ＜2π。由方程（1）和（2），ΛΦ＝（L／a）3／2，所以使用射線理論受到傳播長度和速度擾動強度v?的限制。當ΛΦ＞2π，射線會分裂成互相干涉的微射線（microrays），問題會變得更加復雜。

（2）衍射區。這個區域由ka＞1，Λ＞1以及Φ＜2π來界定。由于Λ＞1，衍射現象必須加以考慮。Φ＜2π把問題限定在弱（非飽和）振幅起伏的范圍。在衍射和幾何光學的范圍內，可利用里托夫（Rytov）近似（或平滑擾動近似）來處理問題。

（3）飽和區。這個區域由Φ＞2π和ΛΦ＜2π來界定。在這一區域中，振幅起伏趨于飽和，射線分裂為無數相互干涉的微射線。目前尚無有效的解析方法來研究這種現象。隨機介質的散射理論可以用來導出一些關于波特性的統計學特征（更詳細的分析，請參考文獻［1-2］）。

2 地震波散射研究方法

2.1 確定性理論研究方法

在一個無源的線性彈性介質中，適合位移場u的運動方程為

其中ρ是密度，ui是位移分量，“，j”代表?／?xj，重復角標表示對于空間變量的求和，λ和μ是介質的拉梅常數。λ、μ和ρ均為位置χ的函數。為簡便起見，這里僅考慮各向同性介質。

（1）適用于離散非均勻體的邊界元方法。如果在非均勻體的內部和外部，介質分別是均勻的且二者之間有明確的分界面，則可以利用邊界元或界面積分方程的方法求解和研究散射問題。

（2）利用擾動方法研究弱散射問題。當利用擾動方法來處理問題的時候，可以將非均勻介質分解為背景部分和擾動部分。例如，在方程（9）中，介質的參數可以被表示為

其中λ0、μ0和ρ0是背景介質參數，它們是均勻的或者是位置的緩變函數。δλ、δμ和δρ是介質參數偏離參考值的部分。與此類似，位移場也可以分解為

其中u0是對于背景介質的解，U是散射場。將方程（4）和（5）帶入（3），得到

方程（13）是背景介質中的波動方程，Q（χ，t）是由于波場與非均勻性相互作用所產生的等效體力。引用格林函數G0ij（χ，t|χ′，t′）并利用表象定理，散射場可以表示為

如果散射場U相對于初始場u0來說比較弱，我們可以用初始場u0來近似式（8）中的總場u。這一近似被稱為波恩（Born）近似。這時，式（8）變成對于散射場的顯式方程，可以很方便地用來研究弱散射問題。

（3）高頻近似方法：平滑介質近似。當非均勻體的尺度遠遠大于波長的時候（ka?1），反向散射或大角度散射可以被忽略。如果波傳播的距離不是很大，即費涅爾半徑不大于非均勻體的尺度a，則傳播方式在幾何光學描述的范圍內（見圖1）。其中僅有聚焦現象起作用。通常，我們并不把幾何光學描述的范圍包括在散射的范疇之內。但是，當傳播距離加大，以至于費涅爾半徑大于非均勻體的尺度a時，問題就進入了衍射的范疇。此時，我們必須考慮衍射和干涉現象。在這種情況下里托夫近似是適當的方法，因為它同時適用于衍射范疇和幾何光學范疇。

（4）高頻近似方法：間斷面散射問題。如果非均勻體的尺度遠遠大于波長，它與周圍介質的性質有很大差別且由清晰的間斷面分隔（例如邊緣、劈形體、塊體、空腔、裂縫等），可以利用很多高頻近似的方法。例如，適用于衍射的幾何理論。當非均勻體是由彎曲界面的層狀結構組成，且與波長相比它的分界面比較光滑，則可以利用物理光學近似（也稱為克希霍夫近似）的方法。

2.2 隨機理論方法和介質的統計特性

對于非常復雜的介質，特別是當波散射牽涉到大量的不規則小尺度非均勻體時，確定性的研究方法或者非常困難，或者根本不可能。在這種情況下，我們通常采用隨機介質散射的研究方法。例如，當波傳播距離遠大于不均勻尺度，即L／a?1時（見圖1），就非常適合于用隨機方法來研究。對于隨機介質，我們并不奢望能確定每個小非均勻體的位置、形狀和參數，而只是希望能觀測反演出它們的統計特性，用幾個統計參數來表征它們：例如它們的平均尺度或功率譜（即非均勻性在不同波數下的能量密度），介質參數變化起伏的均方根值等。如果數據足夠多，還可以求出這種統計參數隨空間的變化。散射波場的統計特性有波場的相關函數或相干函數，包括空間相關，頻率相關，角度相關，或它們的聯合相關函數，用這些相關函數可建立波場統計特性與非均勻體統計特性之間的關系。一旦這兩種統計特性之間的關系被建立（有了隨機散射的正演模型），就可根據觀測數據的統計特征來反推地下非均勻體的統計特性了。

隨機散射理論大致可分為弱散射理論和強散射理論［3］。

（1）弱散射理論。在非均勻性很弱或傳播距離較小的情況下，可根據確定性理論中的微擾法，先用波恩近似或里托夫（Rytov）近似（常與拋物近似相結合）得到散射場的公式，然后再用集平均（ensemble average）的方法求波長相關函數（或統計矩）。這樣就可得到波長相關函數與介質統計參數的關系。

（2）強散射理論（多次散射理論）。在強散射時，多次散射變得明顯而重要。波恩散射等單次散射理論已不再有效。在強散射情況下曾推導出2階和4階統計矩方程。但在地震波研究中應用較少。地震波，特別是尾波理論研究中應用較多的是輻射傳輸（radiation transfer）或稱能量傳輸（energy transfer）理論。在這種理論中，波長的相位及干涉效應均被忽略，而只考慮在多次散射時的能量傳輸關系。因此這種方法本質上是一種高頻近似。而輻射傳輸理論本身也是在處理粒子散射時發展起來的。在處理強散射下長距離波傳播時，即當傳播距離遠大于波散射的平均自由路徑（相當于單次散射的有效范圍）時，詳細的波相位信息可被忽略，而集中研究波傳播的能量關系。在理論與觀測對比時，只注意地震圖包絡的衰降，而不管波形變化的細節。

2.3 數值模擬或物理模型實驗

最常用的數值模擬方法是有限差分法、有限元法、邊界元法、譜元法（spectral elements）和晶格玻爾茲曼方法，還有一些建立在單向波基礎上的計算方法，例如單向（one-way）及單返折（one-return）彈性波廣義屏方法。數值模擬方法的最大優點是適用性強，原則上可以處理任何散射問題。不過考慮到實際效率，通常利用理論方法對散射問題進行一定的近似，然后進行數值計算。

物理模型實驗是研究散射問題的另一種有用工具。模型通常由金屬、樹脂或玻璃鋼材料制成。實驗所用的頻率通常為幾十kHz至1MHz的超聲波。使用的P波波長通常為5～100mm，S波波長為3～60mm。散射體通常利用在材料上打孔或在材料中摻入其他成分來產生。在應用地震學中，水槽或固體槽的模型實驗也很普遍。

3 地震波散射的各種現象及其觀測應用

3.1 地震尾波的觀測和應用研究

地震波散射在地震圖中產生的最顯著的現象之一就是地震尾波的產生。地震尾波是指出現在主要地震震相（例如P波、S波或面波等）之后不規則的波列，它就像是這些震相的尾巴。在地震學的早期，這些尾波常被視為噪聲干擾。地震學家安藝敬一（K.Aki）最早開始研究尾波及其應用，并認為尾波是由地球內部小尺度不均勻性對地震波散射而產生。現在大家都承認尾波帶有大量的關于地球內部小尺度不均勻性的信息。提取并研究這些散射波攜帶的信息也成為地震學的一個分支，并日益得到重視。對于震中距為200～300km的地方震，在S波之后的尾波通常被稱為S-尾波（S-coda）。在遠震P波之后的尾波通常被稱為P-尾波（P-coda）。對于地方震產生的S波尾波已經做過相當細致的研究［4］。

3.2 透射地震數據中振幅和相位的起伏

地震波通過介質時，介質中的非均勻性使地震波產生衍射和焦散現象。由此會產生波前的不同參數（例如，振幅、到時、入射角等）的起伏變化。地震波到時和振幅的起伏已經在NORSOR、LASA等大型地震臺陣以及一些區域地震臺陣中被廣泛觀測到了。對于來自不同震源的數據，即使入射方向只相差一個很小的角度，波前的起伏就會有很大的差別。另一方面，對于來自同一方向的地震波，臺陣中相距很近的臺站觀測到的信號往往有比較大的差別。這些差別中含有關于地殼、上地幔和巖石層中非均勻性的寶貴信息。在臺站和震源分布相對于所要研究的結構有足夠的密度時，各種層析成像等確定性方法可被應用。但對高頻地震波（高于1Hz），小尺度非均勻性分布廣泛的情況下，隨機散射的理論可以用來反演地下非均勻體的統計特性，例如非均勻體的平均尺度，均方根速度擾動，非均勻層厚度，或非均勻體的功率譜。這種小尺度非均勻體的統計參數可以給地球內部的動力過程提供有用的信息。

3.3 核幔邊界處的地震波散射

由地幔底部和核幔邊界處小尺度非均勻性產生的散射波在震中距為120°～142°之間以PKIKP和PKP前驅波的形式出現。這種波為研究地球深部的介質特性提供了非常寶貴的信息。散射波通常比較弱，且在近3000 km的傳播過程中受到很大衰減，因此常常需要在地核造成的直達波影區中觀測，或者利用臺陣技術通過疊加等方法來提取有效信息。近十幾年來，隨著數字地震資料的增加，特別是地震臺陣和高密度流動臺網的應用，相干疊加的方法獲得了很大發展。通過對PKP散射資料的研究，目前一般認為在核幔邊界之上數百千米的D”層中存在百分之幾的非均勻性，非均勻性的形式比較復雜。例如，散射波的存在表明其中有小尺度（10～30km）的散射體。而散射能量的空間分布揭示出存在尺度為1 000km以上的區域性變化。某些區域性特征與地球的大尺度過程存在一定的對應關系。這些觀測結果為研究若干地球動力學問題，例如熱柱起源、殘余板塊的下沉深度、下地幔介質物理性質與化學成分的不均勻性、以及地核與地幔的耦合等提供了約束條件。類似地，也可以利用對PKKP波的散射來研究地核中的不均勻性［5］。

3.4 裂隙產生的散射及由此產生的各向異性

當散射介質中存在大量微小的隨機散射體的時候，如果單一散射體的尺度遠小于波長，則個別散射體對于波傳播的影響并不重要。人們更感興趣的是大量散射體作為整體對波傳播的影響。在這種情況下，利用隨機方法研究散射問題更為合適。如果非均勻體在介質中的分布是大致均勻的，則可以將這種介質處理為具有某些等效介質參數（例如等效速度、等效衰減、等效頻散和等效反射率等）的“準均勻”介質（見圖2）。如果單一散射體（例如裂隙）是各向異性的，且眾多散射體在介質中的排列具有某種優勢取向，作為整體，介質可能表現出某種宏觀各向異性。在世界上的許多地區已經觀察到由這種宏觀各向異性所造成的S波分裂等現象。

3.5 多次散射（multiple scattering）和干涉測量（interferometry）

在尾波研究中，由于眾多的小尺度非均勻體以及雜亂和多次散射，使得尾波的相位信息很難被利用。因此，傳統的尾波觀測和理論只研究其包絡和能量關系。但近年來由于干涉測量技術（例如在高空和衛星干涉測量儀中）的發展，使得在尾波相位信息的利用上也取得了很大發展。

在復雜的高頻地震圖中（在天然地震中一般指高于1Hz的地震圖；勘探地震中信號頻率可以從幾分之一到幾十或幾百赫茲，都應屬于高頻地震），從概念上講可以把波（或事件）分為初次波（primary wave）（包括一次穿透、反射波或一次散射波）及多次波（多次反射或散射波）。在傳統的地震圖分析及物性成像研究中，反演數據多集中在利用初次波上，往往把多次波當成噪聲干擾。在利用了干涉測量（interferometry）后，這種多次波就成了有用的信息。如果把初次波以外的成分都視為尾波，則這種多次波干涉測量的方法也可稱為尾波干涉測量法。這種技術主要是利用疊加求相關函數的方法，即測量不同時移（time-shift）或空移（空間位置變化）的相關系數，以求把相干事件的時差（或相位）測量得更精確。

（作者電子信箱，謝小碧：xxie＠ucsc.edu；許忠淮：xuzh＠cea-igp.ac.cn）

［1］［美］安藝敬一.地震波的散射與衰減（上）.李玉澈，盧壽德等譯，吳建春，劉洪校.北京：地震出版社，1993

［2］Sato H，Fehler M，Wu R S.Scattering and attenuation of seismic waves in the Lithosphere.William H.Lee K，Kanamor H，Jennings P，Kisslinger C（Eds）.Intern.Handbook of Earthquake ＆Engineering Seismology，Part A.Academic Press，2002：195-208

［3］Sato H，Fehler M.Seismic Wave Propagation and Scattering in the Heterogeneous Earth.Springer-Verlag，New York，1998

［4］Snider R.The theory of coda wave interferometry.Pure and Appl.Geophys.，2006，163：455-473

［5］Wu R S，Maupin V.Advances in wave propagation in heterogeneous Earth∥Dmowska R（ed）.Advances in Geophysics，Vol.48，Academic Press，Elsevier，2006

P315；

E；

10.3969／j.issn.0235-4975.2014.06.007

2014-04-21。