新型兩轉動自由度完全解耦并聯機構及其特性

侯雨雷，張占葉，胡鑫喆，曾達幸

（燕山大學機械工程學院，066004河北秦皇島）

新型兩轉動自由度完全解耦并聯機構及其特性

侯雨雷，張占葉，胡鑫喆，曾達幸

（燕山大學機械工程學院，066004河北秦皇島）

針對并聯機構內部耦合性給其運動學和動力學分析以及控制系統的開發帶來的問題，提出一種新型的兩自由度轉動解耦并聯機構.運用約束螺旋法對機構的自由度和運動特性進行分析，通過修正的Kutzbach-Grübler公式計算出機構自由度數目；利用各構件間幾何關系，求解機構位置正反解解析表達式；根據機構輸入與輸出參數間關系式，推導得到機構雅可比矩陣，進而依據雅可比矩陣表達式，驗證了機構的解耦特性，并進而討論了驅動輸入的選擇對機構奇異的影響.提出的解耦并聯機構豐富了機構構型庫，對進一步應用具有理論指導意義.

并聯機構；轉動解耦；約束螺旋；奇異；雅可比矩陣

并聯機構由固定與運動平臺及連接兩平臺的兩個或者兩個以上開環運動鏈組成，與串聯機構相比，具有比剛度大、無誤差累積、承載能力強等優點，在諸多領域得到獨特的應用.然而，一般而言，并聯機構工作空間較小，奇異具有多樣性，且控制系統復雜，在一定程度上限制了其應用.而若并聯機構實現解耦，即輸入、輸出變量呈一一對應關系，則其理論分析和實體研制將更簡便，故解耦并聯機構已成為當前機構學領域的研究熱點之一.Kong等［1］利用幾何描述法對3類2～4自由度解耦并聯機構進行了型綜合.李為民等［2］提出了僅由轉動副組成的R-CUBE三自由度移動解耦并聯機構.Altuzarra等［3］以具體實例闡述了如何通過分支選擇及組裝方式實現少自由度多級操作器部分解耦的問題.Glazunov［4］基于封閉螺旋組的思想研究了解耦并聯機構的設計方法.Legnani等［5］對Stewart結構予以改進，研制出在特定位形下解耦和各向同性的六自由度并聯機構.相比六自由度機構而言，少自由度并聯機構具有結構簡單，設計制造成本低廉等優點［6-7］.黃田等［8］分析了少自由度并聯機構的廣義雅可比.Amine等［9］提出一個分析少自由度機器人奇異性的通用方法.作為并聯機構的重要分支，轉動并聯機構引起了許多學者的關注［10-11］.Carricato等［12］提出一個包含兩個曲柄滑塊機構的兩轉動完全解耦并聯機構.劉辛軍等［13］提出一類具有高轉動能力的空間三自由度并聯機器人.Gogu［14］利用線性變換理論綜合出完全各向同性的兩自由度并聯手腕. Hervé［15］利用位移子群的代數特性綜合得到多種解耦的非過約束定位機構.轉動并聯機構已在許多領域得以廣泛應用，但迄今已有具有解耦特性的轉動并聯機構比較復雜，而兩自由度轉動解耦并聯機構還很缺乏［16］.

本文提出了一種新型的RU-RPR（R為轉動副，U為虎克鉸，P為移動副）兩轉動解耦并聯機構，并對其運動特性進行分析.描述了所提出并聯機構的結構組成，利用約束螺旋法分析了機構可能的運動，并由修正的Kutzbach-Grübler公式計算出機構自由度，然后討論了機構的位置正反解、解耦特性及不同驅動輸入下機構的奇異性.

1 RU-RPR轉動并聯機構結構組成

轉動并聯機構由定平臺、動平臺以及連接兩平臺的兩條支鏈組成（見圖1），從定平臺開始計，第一條分支AB依次由轉動副（R）和虎克鉸（U）組成，第二條分支CD依次由轉動副（R）、移動副（P）和轉動副（R）組成.其中，移動副的導路方向垂直于第二條分支中兩個轉動副的軸線，兩分支中與固定平臺相連的兩轉動副軸線相互平行且與虎克鉸的一條軸線平行，虎克鉸的另一條軸線與第二分支中與動平臺相連的轉動副軸線重合［17-18］.

圖1 RU-RPR 2自由度轉動并聯機構

初始狀態下，RU-RPR并聯機構的動平臺與定平臺平行.以定平臺的幾何中心為原點建立固定坐標系O-XYZ，其Y軸平行于第二分支中和動平臺相連的轉動副的軸線，Z軸沿鉛垂方向且平行于與定平臺相連的轉動副軸線．在動平臺幾何中心建立動坐標系o-xyz，其y軸和第二分支中與動平臺相連的轉動副軸線共線，z軸垂直于動平臺平面．

2 RU-RPR轉動并聯機構自由度分析

圖2所示為RU-RPR并聯機構螺旋系，第一分支坐標系o1-x1y1z1的原點建立在虎克鉸的中心位置，y1軸和z1軸分別沿虎克鉸的兩個轉動軸線；第二分支坐標系o2-x2y2z2的原點建立在移動副運動方向和與動平臺相連的轉動副軸線的交點處，y2軸沿與動平臺相連的轉動副軸線方向，z2軸垂直于動平臺平面．

圖2 RU-RPR并聯機構螺旋系

則分支1的運動螺旋系為

式中a、b均為非零實數．

對式（1）求反螺旋，可得分支1的約束螺旋為

式（2）的約束螺旋系表示兩個約束力和1個約束力偶，即分支1限制了動平臺在xy平面內沿AB的移動、沿z1軸的移動以及繞x1軸的轉動．

類似的，可得分支2的運動螺旋為

式中c為非零實數．

對式（3）求反螺旋，可得分支2的約束螺旋為

式（4）的約束螺旋系表示兩個約束力和1個約束力偶，即分支2限制了動平臺沿z2軸的移動、過轉軸D沿y2方向的移動以及繞x2軸的轉動．

綜合上述分析可見，轉動并聯機構分支1和分支2的6個約束螺旋限制了動平臺的全部移動和繞X軸的轉動.因此，RU-RPR并聯機構只具有繞Y軸和Z軸轉動的兩個自由度.

并聯機構的自由度也可通過修正的Kutzbach-Grübler公式［19］求得，需要說明的是該機構有兩個公共約束，分別是沿Z軸的約束力和繞X軸的約束力偶，機構沒有冗余約束和局部自由度，因此其自由度為

式中:M為機構的自由度；d為機構的階數，且d=

6-λ；λ為公共約束；n為包括機架在內的構件數目；g為運動副的數目；fi為第i個運動副的自由度數目；ν為多環并聯機構在除去公共約束因素后冗余約束的數目；ζ為機構中存在的局部自由度．

3 RU-RPR并聯機構位置分析

如圖3所示，選擇第1分支的轉動副和第2分支與動平臺相連的轉動副作為驅動輸入副.定義各符號如下:θ為第1分支的轉動副繞Z軸旋轉角度，γ為第2分支與動平臺相連的轉動副繞Y軸旋轉角度；α和β分別為動平臺繞動坐標系z軸和y軸的旋轉角度；L為與定平臺相連的兩個轉動副軸線間的垂直距離，l1和l2分別表示桿AB和BC的長度．

圖3 RU-RPR并聯機構運動參數示意圖

3.1 位置反解

RU-RPR并聯機構的位置反解即指通過給定的機構動平臺姿態轉角（α，β）來求解機構的輸入量（θ，γ）．

根據前述RU-RPR并聯機構結構組成特點，顯然可得

如圖4所示，在XY平面內，ABCD構成一個平面四桿機構，假設AB與BC共線時為機構的初始狀態，且令δ為AD和AB的夾角．當第1分支AB繞Z軸轉過θ角后，RU-RPR并聯機構動平臺將相應的轉過α角，則此時平面四桿機構變化至AB′C′D位置．

圖4 XY平面內四桿機構簡圖

由圖4中所示幾何關系，有

對于四桿機構AB′C′D，可建立如下方程式:

即

其中:θ′=δ+θ，α′=δ+α．

進而可求得輸入參數θ為

3.2 位置正解

RU-RPR轉動并聯機構的位置正解指的是通過已知的機構兩個輸入參數（θ，γ）來求解動平臺的姿態參數（α，β）．由式（5），可得

又根據式（6），有

進一步整理可求得

式中:Δ=-l1sinθ′，Γ=L-l1cosθ′．

4 RU-RPR并聯機構速度分析

對并聯機構而言，其動平臺速度和驅動關節速度之間的映射關系可借助雅可比矩陣表達，即

式中:V為機構動平臺的速度矢量；˙q為驅動關節的輸入速度矢量；J為雅可比矩陣，表征了機構的輸入速度和動平臺輸出速度間的映射關系．

根據雅可比矩陣的表達形式，并聯機構可以分為以下4種類型［20］:1）完全各向同性并聯機構，J是對角陣且對角線上的元素都相同；2）完全解耦并聯機構，J為對角陣，但對角線上的元素并不全部相同；3）部分解耦并聯機構，J是三角陣；4）耦合并聯機構，J既不是對角陣，又不是三角陣．

將式（5）和式（6）分別對時間求導，可得

將式（7）改寫為矩陣形式，即

其中:

如果矩陣Φ非奇異，則由式（8）可得RU-RPR并聯機構的雅可比矩陣為

由式（9）可見，RU-RPR并聯機構的雅可比矩陣為對角陣，這意味著該并聯機構運動解耦，且實現了完全解耦.

5 RU-RPR并聯機構奇異性分析

機構在運動過程中，如果處于奇異位置，會導致機構處于死點或失去穩定或使機構的自由度瞬時發生突變，使得機構傳遞運動和動力的能力失常，因此奇異位形的分析是并聯機構研究的重要環節之一.

對同一個并聯機構而言，選取的驅動副不同，會導致不同的奇異表現，換言之，如果并聯機構的驅動改變，則其奇異的類型或是狀態也會隨之發生改變.

如前述分析，RU-RPR并聯機構具有繞Y軸和Z軸轉動的兩個自由度，在本節，以第2分支中與動平臺相連的轉動副作為實現動平臺繞Y軸轉動的驅動副，并保持不變；而選擇不同的運動副驅動動平臺實現繞Z軸轉動，本節將分析這兩種情況下機構的奇異性．

考慮到RU-RPR并聯機構的實際結構需要，有不等式L＞l1+l2成立．

5.1 A處轉動副作為驅動時機構的奇異

首先選取第1分支中A處的轉動副作為驅動．令｜J｜=0，由式（9）可知，RU-RPR并聯機構發生奇異時有如下方程成立:

l1sin（θ-α）=0．

考慮到實際情況下，機構桿長l1不可能為零，故有

或

上述兩式對應于RU-RPR并聯機構的兩種邊界奇異情況如圖5所示，此時運動鏈ABC完全拉直共線（圖a）或折疊共線（圖b），而桿DC分別到達最短或最長極限位置.

圖5 RU-RPR并聯機構以A作驅動副時邊界奇異

5.2 D處轉動副作為驅動時機構的奇異

若以第2分支中D處的轉動副作為驅動，則由于機構構型并不因驅動副選擇而發生變化，故前述機構位置分析中所得幾何關系式依然成立，只是表達式中不應再以A處轉動副轉角為輸入變量，而應代以D處轉動副的轉角．不妨定義φ為第2分支與定平臺相連轉動副（D處轉動副）繞Z軸旋轉角度，相應的XY平面內機構簡圖如圖6所示．

圖6 D為驅動副時XY平面內四桿機構簡圖

由機構簡圖顯見，對應此情況下，當存在φ= arcsin（（l1+l2）／L）或φ=arcsin（（l2-l1）／L）時，RU-RPR并聯機構發生奇異，相應的機構奇異位形如圖7所示.

圖7 RU-RPR并聯機構D作驅動副時的死點奇異

5.3 兩種奇異下機構運動特性對比分析

對比圖5和圖7可知，盡管機構奇異位形外在表現形式一樣，但由于驅動副選取的不同，使得兩種情況下奇異的物理意義和運動特性截然不同.

在圖7中所示機構狀態，因為D處的轉動副為驅動輸入，則此時RU-RPR并聯機構處于死點，意味著無論施加多大的驅動力，也不能使機構產生運動.而對應圖5所示機構狀態，因A處轉動副為驅動輸入，故并不存在死點，而是瞬時運動不確定，即機構動平臺此時既可能繞Z軸順時針轉動，也可能逆時針轉動.

可見，因機構驅動副選取的不同，導致盡管奇異時機構所處的位形一樣，但其運動特性是不同的.此外，還值得考慮的一個問題是，處于上述奇異位形時，是否會導致RU-RPR并聯機構自由度性質或數目發生改變.

針對上述兩種奇異位形中的ABC拉直共線情況，建立RU-RPR并聯機構及其各分支坐標系如圖2所示.

此時，相對于坐標系o1-x1y1z1下的分支1的運動螺旋系為

式中e為非零實數.

對式（10）求反螺旋，可得分支1的約束螺旋為

式（11）的約束螺旋系表示兩個約束力和一個約束力偶，其限制了機構動平臺沿y1軸、z1軸的移動以及繞x1軸的轉動．

分支2的運動螺旋為

對式（12）求反螺旋，可得分支2的約束螺旋為

式中h為非零實數.

式（13）的約束螺旋系表示兩個約束力和一個約束力偶，其限制了機構動平臺沿z2方向的移動和過D處沿y2方向的移動以及繞x2軸的轉動．

綜合以上分析可知，機構兩分支6個約束螺旋的共同作用限制了RU-RPR并聯機構動平臺沿Y軸和Z軸的移動以及繞X軸和Z軸的轉動，此時RU-RPR并聯機構只能繞Y軸轉動和沿X軸移動，即具有一轉動一移動兩個自由度．

換言之，在這種奇異位形下，盡管RU-RPR并聯機構的自由度數仍為2，但是自由度的性質發生了改變，由兩轉動變成了一轉動一移動，而且，這種情況僅取決于機構的位形，而與驅動副的選擇無關.

對于運動鏈ABC折疊共線情況，機構奇異位形的分析過程與上述類似，所得出的結論也是一致的，不再贅述.

6 結 論

1）本文提出了一種新型的RU-RPR兩轉動完全解耦并聯機構，豐富了并聯機構構型庫.利用約束螺旋理論分析了所提出并聯機構的可能運動，并借助修正的Kutzbach-Grübler公式驗證了該機構的自由度；求解獲得機構的位置正反解解析表達式，并基于所求得的雅可比矩陣證實了機構的解耦特性.

2）通過分析不同驅動對RU-RPR轉動解耦機構奇異位形的影響，發現選擇不同驅動導致奇異位形下機構的運動特性不同，并且奇異時機構的自由度性質發生了變化，由兩轉動自由度瞬時轉變為一轉動一移動.

3）本文所提出的RU-RPR并聯機構結構簡單且運動解耦，不需復雜的運動學計算，易于控制實現，可預見在兩自由度空間定向領域將會有很好的應用前景.研究內容對轉動解耦并聯機構的更進一步研究具有一定的理論指導意義.

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（編輯楊 波）

A novel 2-DOF fully decoupled rotational parallelmechanism and its characteristics

HOU Yulei，ZHANG Zhanye，HU Xinzhe，ZENG Daxing
（School of Mechanical Engineering，Yanshan University，066004 Qinhuangdao，Hebei，China）

To avoid the difficulties in the kinematics and dynamic analysis，development of control system，and so on brought by the existence of coupling in the parallel mechanism，a novel two degrees of freedom（DOF）rotational decoupled parallelmechanism（DPM）is proposed.Themobility and motion feature of this 2-DOF rotational DPM is analyzed with the constraint screw method，and the number ofmobility is calculated by using the Modified Kutzbach-Grübler criterion.The inverse and forward displacement problems of the proposed DPM are solved according to the geometrical relationship.The expression of the Jacobian matrix is deduced with the relational expression between the input and output parameters of the mechanism.And according to the expression of the Jacobianmatrix，the decoupled feature of the proposed parallelmechanism is validated.Aiming at different selection of the drive，the singular configuration of the mechanism is analyzed according to the Jacobianmatrix.The contents of this paper enrich the configurations of the decoupled parallel mechanisms and should be useful for the further application of the parallelmechanisms.

parallelmechanism；rotational decoupled；constraint screw；singularity；Jacobian matrix

TH112

A

0367-6234（2014）09-0080-06

2013-08-12.

國家自然科學基金資助項目（51005195，51205339）；中國博士后科學基金資助項目（2013M541199）.

侯雨雷（1980—），男，博士，副教授.

曾達幸，roboms＠ysu.edu.cn.