三維虛擬路面的諧波重構*

李鵬飛 馮國勝 鄧曉龍 于海征 袁新華

（石家莊鐵道大學機械工程學院）

近幾年，隨著計算機及相關技術的發展，虛擬樣機技術已廣泛應用于車輛動力學性能分析，而在虛擬樣機中進行車輛動力學仿真所要解決的首要問題便是道路激勵，路面輸入模型能否準確的反映實際研究的路面對分析準確性有著根本的影響，因此文章提出了一種三維路面重構方法。近年來，很多學者提出了不同的路面重構方法，文獻[1]基于有理函數描述的標準路譜以白噪聲濾波法建立了四輪輸入激勵的時域模型。文獻[2-3]基于有理函數描述的路譜建立了三維路面不平度的AR模型，從而建立了三維路面模型。文獻[4]基于指數函數描述的路譜用諧波疊加法重構了隨機道路不平順高程的時域模型。而文章提出的重構三維路面方法不僅可很好的模擬各種路面，且提出的編制Adams三維路譜的方法可廣泛的應用于各種汽車動力學分析軟件，為車輛動力學仿真提供了準確通用的路面構造方法。

1 諧波疊加法原理

通過選取合適的三角級數進行疊加可以逼近任意一個波形，根據長期對路面不平度的測量與統計，可知路面為穩態各態歷經均值為0的Gaussian隨機過程。因此對路面不平度的測量數據是一個隨機過程，無法得到具體表達式，但經過計算機處理可以得到其頻率模型和方差等統計特性參數，這樣就可以通過對其方差的離散構造一組諧波來對這一隨機過程進行模擬。離散區間內，在保證其方差的條件下，隨機的選取不同相位的諧波來對隨機路面進行重構。由諧波疊加而得的隨機路面不僅數學邏輯嚴謹，并且可以模擬任意的隨機路面。

隨機路面功率譜密度常用擬合表達式[6]為:

式中:n——空間頻率，m-1，為波長λ 的倒數；

w——頻率指數，決定路面功率譜的頻率結構；

n0——參考空間頻率，取0.1 m-1；

Gq（n0）——n0下路面功率譜密度，又稱路面不平度系數，m3。

式（1）是基于空間頻率的表達式，為了轉換成所熟悉直觀的時間頻率需要考慮車速(u/(m/s)) 和時間頻率（f/Hz），這樣就可以將空間功率譜密度（Gq（n）/m3）換算為時間功率譜密度（Gq（f）/m2·s），如式（2）和式（3）所示。

選取一段典型頻率范圍（f1＜f＜f2）內的Gq（f），對其進行頻譜分析可得路面不平度的方差（σz2），如式（4）所示。

把所選頻率范圍（f1＜f＜f2）離散為n 個小區間，取每個小區間中心頻率（fmid-i/Hz，i=1，2，…，n）處的功率譜密度值（Gq（fmid-i）/m2·s）來取代Gq（f）在整個小區間內的值，▽fi/Hz 為每個小區間長度，式（4）經近似離散化后寫為:

對應每個小區間，具有fmid-i，i=1，2，…，n，且其標準差為的正弦波函數可為[7]:

把離散后的正弦函數疊加起來，就可以得到時域下的路面隨機譜:

式中:θi——[0，2π]的隨機數；

q（t）——時域內的路面高程，m。

將其化為空間域內的諧波疊加式如下:

式中:θi（x，y）——[0，2π]上均勻分布的相互獨立的隨機變量；

x，y——路面縱橫向行程，m；

q（x，y）——空間域內路面高程，m。

2 三維路面仿真實例及驗證

一般路面的空間頻率段分布在0.011 m-1＜n＜2.83 m-1范圍內，通常的車速范圍在u=10～30 m/s（相當于u=36～108 km/h），在此車速范圍下，可以使時間頻率分布在f=0.33～28.3 Hz。此頻率段將懸掛質量固有頻率1～2 Hz 及非懸掛質量固有頻率10～15 Hz 包含在其中[6]。

取u=20 m/s，將時間頻率f=0.33～28.3 Hz 分為200 等分，即:n=200，n 取得過小會使生成的路譜誤差較大，若n 取較大值則會大大增加計算量。由式（8）在Matlab 中建立4 m×140 m 區域的B 級路面，生成的三維路面高程圖，如圖1所示。

仿真生成的三維路面譜與標準路面譜存在一定誤差，通過其功率譜密度來考察其可信度。取y=1 m 處的路面高程，如圖2所示。由于u=20 m/s，由t=x/u 可得其時域內路面不平度信號，如圖3所示。文章使用welch算法計算三維路譜y=1 m 截面的功率譜密度，此法以加窗求取平滑，以分段重疊求平均，雖然此法估計曲線比較粗糙，但其分辨率較好，且可有效減小方差和偏差[8]。可得到B 級路面功率譜密度與標準路面功率譜密度的比較，如圖4所示。從圖4可以看出，仿真算法生成的路譜可以很好的模擬真實路面。

3 Adams三維路面生成及仿真

空間一系列的三角平面組成的三維路面模型就是3D等效容積道路，如圖5所示，先確定點1～5的空間坐標，然后連接1—2—3；2—3—4；3—4—5；3—5—6來構成路面塊A，B，C，D。Adams路面文件包含5個數據段Header（標題）、Units（單位）、Model（模式）、Nodes（節點）及Element（元素），其中的核心部分為Nodes和Element，該模型可以精確的反映路面形狀，提供精準的仿真環境[9]。但在構造模型時需要輸入繁瑣的數據，對于4 m×140 m的道路模型需要輸入57 441個節點（采樣間隔0.1 m），無法手工完成，需在Matlab中編程獲取。

設路面的縱向長度為x，橫向長度為y，縱向取樣間隔為Δx，橫向取樣間隔為Δy。通過諧波疊加法在Matlab中計算路面高程時涉及到數組的運算，為了便于程序的編寫，通常使 Δx，Δy滿足x/Δx，y/Δy的關系，這樣總節點數為（x/Δx+1）2。由于諧波疊加法構造的節點其坐標已知，故以下是確定其節點號，及節點號之間的連接關系以構成三角形單元。

3.1 節點生成算法

3.2 單元生成算法

單元的生成實質就是確定各節點的連接關系，將相鄰的3個節點連接在一起組成一個三角塊。將三維路面投影到水平面上，將其分割為個矩形，取每個矩形的左下角3個點連接成一個三角形單元，然后再取右上角3個點連接成一個三角單元，相當于將一個大矩陣劃分為小矩陣，然后再對小矩陣進行三角單元劃分，以此為思想可得到三角單元。設四維向量Elements矩陣的第i行j列元素為（aij，bij，cij，1），aij，bij，cij為對應的節點編號，1為靜摩擦因數[10]。

在Matlab中編寫程序生成節點矩陣和單元矩陣后導出其數據，編寫成Adams中的rdf文件，最終生成的三維路面模型，如圖6所示。

3.3 三維路面仿真分析

采用Adams/Car 中的整車模型，修改其輪胎模型，采用Ftire 輪胎模型替換原輪胎模型，Ftire 輪胎模型為不規則路面的高分辨率輪胎模型，可提高仿真精度。編寫dcf 驅動控制文件來驅動汽車以20 m/s 的速度分別在生成的B 級3D 路面和平直路面上做勻速直線運動，得到不同路面下汽車質心的垂直位移圖和垂直加速度，如圖7～10所示。

由圖7可知，在平直路面上汽車質心垂直位移沒有變化；圖8中汽車質心垂直位移在仿真3D 路面上變化明顯，由于在汽車起步階段汽車沒有達到靜平衡；在圖9中汽車質心在平直路面上垂直加速度起初有所跳動，最后為0；圖10中汽車質心垂直加速度在仿真3D路面上變化明顯。由此驗證了Matlab 中生成的三維路譜及編制而成的路譜文件能很好的應用于Adams 中，并且反映了路面的實際情況，為汽車的運動仿真提供了合適、精確的路面激勵。

4 結論

1）采用改進的諧波疊加法建立了三維隨機路面模型，對創建的B 級路面進行了功率譜密度分析并能與標準路面的功率譜密度很好的吻合，表明所創建的三維隨機路面符合路面實際狀況。

2）利用Matlab 軟件編制了適用于Adams 的三維隨機路譜文件，并在Adams 中進行了驗證，其反映了路面的實際情況，為路面譜的數值模擬以及為汽車的振動、控制原理及疲勞耐久性研究等帶來了很大的方便，應該指出雖然文章是針對Adams 軟件，但也適用于所有以三角單元作為基本元素構造路面的情況。