基于等參數線法離散NURBS曲面的插補算法

李學斌

（內江職業技術學院，四川 內江 641100）

1 引言

在模具、航空等制造領域，經常會遇到復雜曲線曲面的數控加工。傳統的數控系統往往只具有直線和圓弧插補，對于非直線或圓弧的曲線插補則往往采用微小段直線或圓弧分段逼近的方法，這種方法在處理復雜曲線時會導致諸如數據量大、進給速度不均、精度和通用性較差、編程復雜等問題。目前只有極少數FANUC、SIEMENS、三菱等高檔計算機數控CNC（Compute Numerical Control）系統裝備有非均勻有理B 樣條NURBS（Non Uniform Rational B－Spline）曲線插補功能［1］。隨著曲面造型的復雜化，傳統的曲面加工方法（如環切法、螺旋線法［2］等）已無法滿足提高加工效率的要求?；谝陨显颍恍W者提出了曲面的直接插補SDI（Surface Direct Interpolation）算法，這種插補方法極大地提高了插補精度和插補速度。本文介紹一種基于等參數線法離散NURBS 曲面的插補算法，該算法通過離散NURBS 曲面獲得一族NURBS 曲線，最后按NURBS 曲線直接插補算法來進行插補。

2 NURBS 曲線曲面定義

2.1 NURBS 曲線定義

根據德布爾（deBoor）和考克斯（Cox）導出的B樣條遞推定義，B 樣條曲線定義為：

式中：Ci（i＝0，1，…n）為控制頂點，又稱德布爾點，Ni，p（u）稱為p 次規范B 樣條基函數，雙腳下標中的i 表示序號、p 表示次數。由德布爾—考克斯的遞推公式定義：

式中：ui稱為節點，當ui＋1－ui＝常數時，則表示均勻B樣條函數，反之稱為非均勻B樣條函數，即NURBS曲線。

NURBS 曲線定義：

式中：Wi是與控制頂點Ci相對應的權因子。

2.2 NURBS 曲面定義

空間曲面的參數方程可表示為：

B 樣條曲面則定義為：

其中：其中Ci，j（i＝0，1，……n；j＝0，1，……m）為控制頂點，Ni，p（u）和Nj，q（v）分別是沿u 向節點矢量和υ 向節點矢量定義的p 次和q 次B 樣條基函數，u和υ 是曲面的兩個參數。

NURBS 曲面定義［3］為：

式中：Wi，j是與控制頂點Ci，j相對應的權因子。

在實際應用中，常將節點矢量U 和V 中兩端節點重復度取為p＋1 和q＋1 個，并且兩端節點值分別為0 和1，即表示為：

根據上述定義可知，NURBS 曲面就由基函數的冪次、控制頂點、節點矢量和權因子所確定。

3 NURBS 曲面插補技術

3.1 NURBS 曲面插補思路與方法

對于NURBS 曲面的插補，可采取先將NURBS曲面離散成NURBS 曲線的方法。將曲面離散成曲線的方法通常有兩種：一是平面切割法，就是用一族平行平面切割曲面，獲得一系列的NURBS 曲線，然后按NURBS 曲線進行插補；二是等參數線法，就是先將曲面的兩個參數u 和υ 中的任意一個進行離散，可獲得一系列的參數值，將這些參數值代入曲面公式，獲得一系列的NURBS 曲線，最后按NURBS 曲線進行插補。

插補的實質就是點的密化，密化的常用方法有等距法、等步長法和自適應法等。等參數線法就是先將曲面上兩個參數中的一個參數進行點的密化，獲得該參數上一系列點的參數值，再按曲面規律得到另一參數上一系列對應點的參數值。這種方法的好處是可以將一部分計算放在插補前集中進行計算，當計算出兩個參數值之后，就可以求出曲線上相應的型值點了，同時求出該點的一階、二階導矢量，既加快了計算速度，又提高了插補的實時性。

3.2 等參數線法離散曲面法則

為討論方便，假設先u 向、后υ 向進行。

（1）取參數υ 為某一定值，可得到一條等參數曲線。如令υ＝υe，NURBS 曲面就被離散成等參數值為υe的一條NURBS 曲線，記為S（u，υe），如圖1所示。

圖1 等參數線法離散NURBS 曲面示意圖

（2）確定加工行距（即υ 向的進給距離，也是υ向的增量Δυ）時要保證殘留高度在規定誤差范圍之內。

（3）取邊界曲線S（u，0）和S（u，1）分別作為NURBS 曲線插補的起始邊界和終止邊界。

4 NURBS 曲線插補算法

4.1 預處理中的一階二階導矢計算

在插補前的預處理中，主要要完成NURBS 曲線在某一點處一階、二階導矢的計算任務，即對上述（3）式求一階、二階導數，其目的是為獲得該點處的一階、二階導矢量，為實時插補作好數據準備。

對（3）式進行一階求導得：

由此得到X、Y、Z 方向的一階導矢計算式：

式中：xi＝Px（ui），yi＝Py（ui），zi＝Pz（ui）。

由（9）式就可求出NURBS 曲線上ui點處的一階導矢量［x′（ui），y′（ui），z′（ui）］。

同理對（8）式再次求導可獲得NURBS曲線上ui點處的二階導矢量［x″（ui），y″（ui），z″（ui）］。

4.2 進給速度計算的預處理

為了保證加工精度，必須將弓高誤差控制在允許的范圍內，因此進給速度應根據曲線曲率半徑的變化自動地進行調整，可以采用圓弧逼近的近似處理方法來確定，如圖2所示。

圖2 圓弧逼近法近似計算進給速度

圖2表示的是用一段圓弧在區間u∈［ui，ui＋1］內近似地代替NURBS 曲線。C（ui），C（ui＋1）分別為近似圓弧上ui點和ui＋1點的插補點，P（ui）、P（ui＋1）分別為NURBS 曲線上ui點和ui＋1點的插補點。

弓高誤差ERi、曲率半徑ρi、NURBS 曲線上ui點處切線方向的進給速度V（ui）和插補周期T 的關系式如下：

式中：ρi是曲率ki的倒數，ki可按式（11）計算。

假設編程進給速度為F，允許的最大弓高誤差為ER，由于在實際加工中，插補周期T 非常小，進給步長ΔLi也非常小，可認為與該段弧長相等，因此V（ui）可近似認為與編程進給速度F 相等。為使弓高誤差ERi≤ER，需自動調節進給速度V（ui）的大小，調整規律［4］如下：

4.3 曲線插補算法

插補過程就是插補點的密化過程，也就是在一個插補周期內，根據上述求出的一階、二階導矢量和確定的進給速度V（ui），利用當前的參數值ui實時地計算出下個周期的參數值ui＋1，再求出曲線上插補點Pi＋1坐標值的過程。

曲線參數u 是時間t 的函數，記為u（ti）＝ui，u（ti＋1）＝ui＋1，將參數u 對時間t 進行泰勒展開可獲得相應的近似計算。

式中：ti＋1－ti＝T，T 稱為插補周期，ΔG 為高階微量。

一階泰勒展開的近似表達式為：

二階泰勒展開的近似表達式為：

將（16）式代入（14）式可得到求ui＋1的一階近似表達式：

如果想得到更高的加工精度，減小進給速度的波動，可根據（15）式求ui＋1的二階近似表達式：

將（17）式或（18）式求出的參數值ui＋1代入NURBS曲線方程就可獲得下一個插補點Pi＋1或該插補點的坐標值，即：

以上就是根據泰勒展開法求解NURBS 曲線的一階或二階的插補算法過程。

5 誤差分析

在實時插補過程中，因為每求出一個ui＋1后都是代入NURBS 曲線方程求出該插補點的x、y、z坐標值，因此插補點必然是在NURBS 曲線上，不存在插補點偏離曲線的誤差。誤差主要來源存在于進給速度V（步長ΔLi的大小）和弓高誤差ERi上。由于在插補前的預處理中已作了根據弓高誤差自動調整進給速度的計算，已把誤差控制在允許的范圍內，所以這種插補方法足以滿足精度要求。

6 結束語

本文詳細討論了將NURBS 曲面采用等參數線法離散成一族NURBS 曲線，然后按NURBS 曲線的直接插補算法進行的NURBS 曲面插補。在NURBS 曲線的插補算法過程中，根據加工精度要求的高低，采用了泰勒一階或二階展開的遞推方式求出下一參數值ui＋1，從而獲得插補點Pi＋1的x、y、z 坐標值，整個算法以控制弓高誤差在允許范圍內并適時調整進給速度為前提，保證了曲面的加工精度。

［1］徐 宏，胡自化，張 平，楊冬香，楊端光.基于冗余誤差控制的非均勻有理B 樣條曲線插補算法研究［J］.計算機集成制造系統，2007，（5）.

［2］孟書云，趙東標.復雜曲面筆式加工的直接插補算法［J］.東南大學學報，2006，22（1）：73－77.

［3］李 霞，梁宏斌，邱長華.基于STEP－NC 的NURBS 曲面插補技術的研究［J］.計算機集成制造系統，2008，（6）.

［4］梁宏斌，王永章，李 霞.自動調節進給速度的NURBS插補算法的研究與實現［J］.計算機集成制造系統，2006，（3）.

［5］魏勝利，常國權.NURBS 曲線曲面插補算法基于S12 的測試［J］.電腦知識與技術，2010，（9）.

［6］孫玉娥，林 滸，蓋榮麗.基于速度平滑控制的高效非均勻有理B 樣條曲線插補算法［J］.計算機集成制造系統，2008，（11）.

［7］范克東，肖世德，龔邦明.實現高速高精度加工的智能NURBS 插補算法研究［J］.制造業自動化，2006，（4）.

［8］徐夏民，邵澤強.數控原理與數控系統［M］.北京：北京理工大學出版社，2009.