逐差法處理打點紙帶數據的研究

何述平

(西北師范大學教育學院物理教育研究所 甘肅 蘭州 730070)

1 引言

打點紙帶的數據處理是普通高中物理實驗應用打點計時器(電磁、火花)研究勻變速直線運動的基本內容，數據處理方法之一的逐差法，前人雖有所論述[1～3]，但較零星、籠統，且推理欠嚴謹，因此有必要對其進行較深入、系統的探究．

本文就此進行相應的研究，以期拓展處理打點紙帶數據測定加速度、初速度的逐差法，解釋存在的疑惑，進而為合理運用逐差法處理打點紙帶數據奠定層次性、開放性的理論基礎．

2 逐差法的推證

紙帶隨物體做勻變速直線運動，打點紙帶的計數點為n，計數周期為T，連續計數點間的位移依次為s1,s2,…，sn,sn+1，…，如圖1．

圖1 打點紙帶的計數點n和位移sn

計數點n-1與n間的位移為

(1)

式中n=1,2,3,…，v0為n=0時的瞬時速度．

計數點n的瞬時速度為

(2)

2.1 基本逐差法

2.1.1 位移逐差法(s-n逐差法)

由式(1)得

sn=s0+naT2

(3)

sn+k-sn=kaT2

(4)

式(4)求和，得

(5)

若取k=3，l=3；則有[3]

(6)

由式(5)或(6)就可確定加速度as．s0代入式(3)、再求和，得

(7)

若取N=6，式(6)代入，則有

(8)

由式(7)或(8)可確定初速度v0．

2.1.2 速度逐差法(v-n逐差法)

紙帶做勻變速直線運動，則有

vn=v0+naT

(9)

式中n=1,2,3,…．vn為間接測量量，應表示成直接測量量sn，T的函數；式(2)代入得

sn+sn+1=2v0T+2naT2

(10)

式(10)表明：sn+sn+1與n呈線性關系(v0，T，a為恒量)；隔k項逐差、再求和，得

(11)

若取k=3，l=2；則有

(12)

由式(11)或(12)就可確定加速度av．式(10)求和，得

(13)

若取N=4，即n=1,2,4,5，式(12)代入，得

(14)

由式(13)或(14)可確定初速度v0．

2.1.3 速度-位移逐差法(v2-s逐差法)

紙帶做勻變速直線運動，則有

(15)

式中n=1,2,3,…．式(2)代入，得

8aT2(s1+s2+…+sn)

(16)

式(16)表明：(sn+sn+1)2與s1+s2+…+sn呈線性關系(v0，T，a為恒量)；隔k項逐差、再求和，得

(17)

若取k=3，l=2；則有

(18)

由式(17)或(18)就可確定加速度av-s．式(16)求和，得

(19)

若取N=4即n=1,2,4,5，式(18)代入，得

(20)

由式(19)或(20)可確定初速度v0．

2.2 奇異逐差法

從不同角度考慮同一問題，或許是有益的；這便形成了處理打點紙帶數據的奇異逐差法．

2.2.1 中時速度逐差法(v′-n逐差法)

紙帶做勻變速直線運動，則有

(21)

(22)

(23)

(24)

若取k=3，l=3；則有

(25)

式(24)或(25)可確定加速度av′，與位移逐差法的式(5)或(6)一致，可謂殊途同歸．

由勻變速直線運動的速度規律，有

(26)

式(26)代入式(23)、再求和，得

(27)

若取N=6，式(25)代入，則有

(28)

式(27)或(28)可確定初速度v0，與位移逐差法的式(7)或(8)一致，可謂異曲同工．

參照圖1，紙帶做勻變速直線運動，則有

(29)

式中n=1,2,3,…，v0為n=0時的瞬時速度．

式(29)線性化[5]，得

(30)

(31)

若取k=3，l=3；則有

(32)

(33)

若取N=6，式(32)代入，則有

(34)

由式(33)或(34)可確定初速度v0．

由上述5種逐差法的推證可見，逐差法形式簡明，易于計算(代數形式、代數運算)，其實質是差分-平均[5]．

3 逐差法的運用及結果

取測北京地區重力加速度的打點紙帶數據(g北京=980.12 cm/s2，T=0.04 s)[3]，如表1；則依次運用上述推證的逐差法處理打點紙帶數據測定加速度、初速度的結果如下．

表1 測定北京地區重力加速度的紙帶數據

(1)位移逐差法的結果

由式(6)、表1得gs=977.08cm/s2；再由式(8)、表1得v0=36.88cm/s．

(2)速度逐差法的結果

由式(12)、表1得gv=976.56cm/s2；再由式(14)、表1得v0=36.97cm/s．

(3)速度-位移逐差法的結果

由式(18)、表1得gv-s=979.08cm/s2；由式(20)、表1得v0=36.20cm/s．

(4)中時速度逐差法的結果

由式(25)、表1得gv′=977.08cm/s2；再由式(28)、表1得v0=36.88cm/s．

(5)線性化逐差法的結果

上述5種逐差法處理打點紙帶數據的結果表明，這5種逐差法的結果基本一致(重力加速度的相對誤差依次為0.31%，0.36%，0.11%，0.31%，

0.77%)；因摩擦、空氣阻力，則實驗測定值g實測應比公認標準值g北京偏小．因此，5種逐差法的結果具有合理性，進而說明5種逐差法具有合理性、可行性(以上各逐差法的結果與相應運用最小二乘法的結果[6]非常接近)．

4 逐差法的討論

4.1 逐差間隔

對式(5)，由誤差的方和根合成，并慮及s1,s2,…，sN相互獨立，標準差均為σs；可得

(35)

式中k+l≤N，于是

(36)

式(36)表明：l=k時，σas最小；此時，測量數據s1,s2,…，sN配成對，即2k=N，這樣可充分利用測量數據．因此，運用逐差法時，應合理選取逐差間隔[5][如式(6)、(25)，式(12)、(18)、(32)同理]．

4.2 逐差法的合理推證

鑒于：“先平均”法和“后平均”法各適用于兩類本質不同的問題；雖然“先平均”法與“后平均”法的數學運算結果對相當多的具體問題相差甚微，但也不宜混用[7]．因此，中學物理實驗數據處理中，不僅不應運用“后平均”法，而且更沒有必要涉及．

4.3 逐差法的特點及比較

逐差法的適用條件是因變量與自變量的函數形式為多項式和自變量等間距變化[5]；因此，由式(3)、(10)、(16)、(23)、(30)知：位移逐差法、速度逐差法、中時速度逐差法、線性化逐差法是嚴格意義的逐差法，速度-位移逐差法是非嚴格意義的逐差法，即差值法[5]；且它們均是一次逐差法[雖然由式(16)、(3)可推證二次速度-位移逐差法是嚴格意義的逐差法，并可推得相應的加速度計算式；但已顯復雜，且因位移和的平方使誤差放大以致加速度的計算結果欠合理]．線性化逐差法因線性化導致不等權，應按不等權測量處理[5，9]；然而，作為簡化處理即仍按等權測量處理，可能使線性化逐差法的結果略偏離(加速度的結果略偏小，初速度的結果略偏大)．逐差法作為解決擬合(回歸)直線時方程數多于變量數的粗略方法(相對準確的最小二乘法而言)[5]，可用于不要求計算標準差或不確定度的中學物理實驗；因此，逐差法不失為簡便、實用的中學物理實驗數據處理方法．

比較位移逐差法的式(5)或(6)、速度逐差法的式(11)或(12)、速度-位移逐差法的式(17)或(18)、中時速度逐差法的式(24)或(25)、線性化逐差法的式(31)或(32)可知，逐差法處理打點紙帶數據測定加速度的簡捷程度(由簡到繁)依次是：位移逐差法、中時速度逐差法、速度逐差法、線性化逐差法、速度-位移逐差法(同理，逐差法處理打點紙帶數據測定初速度的簡捷程度相同)．因此，更宜采用位移逐差法處理打點紙帶數據測定加速度、初速度．這就為逐差法處理打點紙帶數據的層次性、開放性實驗教學設計奠定了堅實的理論基礎．

4.4 線性化逐差法的實質

式(10)寫成與式(30)對稱的形式，有

(37)

4.5 逐差法的合理運用

就圖2所示測量的位移x1,x2,…,xn,xn+1，…如何運用逐差法？有認為不可運用位移逐差法的式(6)，否則就不合理，因為式(6)的前提條件是sn即連續相鄰計數點間的位移(見圖1)；而且合理的數據處理方法應是速度-時間圖像法[8]．

圖2 打點紙帶的計數點n和位移xn

由式(6)知，合理運用位移逐差法測定加速度應是：取偶數個計數點，測量前、后半段位移即可；而不必依次測量xn．

若要測量xn，又要充分利用測量數據；那么怎樣合理運用位移逐差法呢？紙帶做勻變速直線運動，則計數點0和n間的位移為

(38)

式中n=1,2,3,…，v0為n=0時的瞬時速度．式(38)隔k項逐差，得

(39)

(40)

式(40)減式(39)即再隔l項逐差，求和得

(41)

若取k=4，l=2，m=2；則有

(42)

由式(41)或(42)(位移逐差法的另一形式)就可確定加速度ax．

而由式(5)取k=4，l=4，得

(43)

比較式(42)、(43)知：僅測量sn的前、后半段，由式(43)計算as較簡捷；且式(43)更好地反映了數據測量方法與數據處理方法的辯證關系．

由式(5)、(41)的推證過程知：as和ax分別是一、二次位移逐差法的結果，且式(5)、(41)的適用條件不同(分別針對sn和xn)；因此，式(5)、(41)不應混用，且由式(5)確定加速度as更簡捷．

5 結束語

本文拓展化、具體化了處理打點紙帶數據測定加速度、初速度的逐差法，提供了運用細致推證的5種逐差法的一個典型實例，比較了各逐差法的特點、簡捷程度，探討了合理運用逐差法的現實問題．逐差法可作為中學物理實驗數據處理的實用方法，故本文的研究既可作為關于數據處理方法的高中物理課程資源，又可作為物理學方法論教育的顯性方法的內容，是高中物理教師深入認識、教學設計打點計時器實驗的理論基礎；同時體現了高中物理課程內容理念的基礎性、選擇性，高中物理課程實施理念的多樣性，并突出了開放性．可以預見，通過本文推證的處理打點紙帶數據測定加速度、初速度的逐差法的探究式教學，可很好地培養物理實驗的數據處理方法，可更好地理解勻變速直線運動的規律，進而提升物理實驗的數據處理能力．

參考文獻

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