實矩陣的正交相似標準形

咼林兵,陳忠 (長江大學一年級教學工作部,湖北荊州 434025)

實矩陣的正交相似標準形

咼林兵,陳忠 (長江大學一年級教學工作部,湖北荊州 434025)

通過對實數域上矩陣當特征值全為實數、全為虛數和既有實數又有虛數的情形下矩陣的正交相似標準形研究,得到了任意實矩陣正交相似標準形的具體形式,對矩陣的標準形的內容進行了補充。

矩陣;正交矩陣;特征值;標準形

矩陣標準形有多種形式,在很多文獻中對實矩陣的等價標準形、相似標準形、合同標準形以及實對稱矩陣的正交相似標準形進行研究[1-2],但對一個任意實矩陣,具有怎樣的正交相似標準形,沒有進行討論。下面就實矩陣的特征值全為實數、全為虛數和既有實數又有虛數的情形下,對矩陣的正交相似標準形進行了研究。

1 基本概念

2 主要定理

定理1 設A為n階實方陣,且A的特征值λ1,λ2,…,λn都是實數,則必存在正交矩陣Q,使得QTAQ為上三角矩陣,且對角線上的元素為λ1,λ2,…,λn。

又因相似矩陣有相同的特征值[3],則A1的特征值必為λ2,λ3,…,λn,對A1用數學歸納法,則存在n-1階正交矩陣Q1,使得:

由引理1知H1為正交矩陣,從而Q也為正交矩陣。

推論1[3]任意的實對稱矩陣A必存在正交矩陣Q,使得:

QTAQ=diag(λ1,λ2,…,λn) (λ1,λ2,…,λn為A的特征值)定理2 設A是2s階實方陣,A的特征值為λi=ai±i bi,這里ai、bi均為實數,且bi≠0,i= 1,2,…,s,則必存在正交矩陣Q,使得:

定理3 設A是n階實方陣,λ1,λ2,…,λr是矩陣A的實特征值,λi=ai±i bi是A的復特征值, ai、bi均為實數,且bi≠0,i=1,2,…,s,r+2s=n,則必存在正交矩陣Q,使得:

其中,Ai都是2階實矩陣,Ai的特征值為λi=ai±i bi,i=1,2,…,s。

證明 因為A為實方陣,λ1,λ2,…,λr是實數,由定理1及定理1的證明可知,存在有限個實鏡象矩陣H1,H2,…,Hl,l≤r,使得:

由定理3顯然可得如下的定理4。

定理4 設A是n階實方陣,則必存在正交矩陣Q,使得:

[1]孔莉芳,廖大慶,劉金波.實域中矩陣的幾種標準形式及應[J].大學數學,2007,23(6):158-162.

[2]高遵海,葉正道.關于實數域上矩陣的相似標準形[J].武漢工業學院學報,2005,24(3):107-109.

[3]北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組.高等代數[M].北京:高等教育出版社,1988.

[4]錢吉林.高等代數題解精粹[M].北京:中央民族大學出版社,2002.

[5]屠伯塤,徐誠浩,王芬.高等代數學[M].上海:上海科學技術出版社,1987.

[編輯]張濤

O151.2

A

1673-1409(2014)19-0011-03

2014-02-15

國家自然科學基金資助項目(11201039;61273179);湖北省教育廳重點項目(D20101304)。

咼林兵(1970-),男,碩士,副教授,現主要從事矩陣論方面的教學與研究工作。