確定統(tǒng)計權(quán)數(shù)的新方法——方程法

孫丹丹

(江蘇理工學(xué)院 商學(xué)院，江蘇 常州 213001)

0 引言

起源于上世紀(jì)七十年代的層次分析法(簡稱AHP)是由美國運(yùn)籌學(xué)家T.L.Sattyti 提出的，主要是對多指標(biāo)系統(tǒng)方案給出一種層次化、結(jié)構(gòu)化的決策方法。該方法綜合考慮了定性與定量兩種決策分析方法，在決策分析問題中有著廣泛的應(yīng)用。層次分析法主要是一個模型化、數(shù)量化的過程，通過對復(fù)雜系統(tǒng)的分解，將其轉(zhuǎn)化為若干因素，在各因素之間通過比較和計算，從而得出不同方案的權(quán)重，該權(quán)重可為最佳方案的選擇提供依據(jù)。在處理實(shí)際問題的過程中，經(jīng)常會遇到諸如目標(biāo)準(zhǔn)則層次較多以及非基本結(jié)構(gòu)的復(fù)雜決策問題，此時如何能夠?qū)⒃搯栴}簡化主要取決于如何從少量的定量信息入手，深入探究問題的本質(zhì)及其內(nèi)在關(guān)系，將思維的過程數(shù)字化，從數(shù)學(xué)的角度思考，用數(shù)字說話，達(dá)到準(zhǔn)確計量的目的。

層次分析法中各層次的結(jié)構(gòu)反映了各因素之間的關(guān)系，如何確定該結(jié)構(gòu)是關(guān)鍵所在。通常準(zhǔn)則層中的各準(zhǔn)則在目標(biāo)衡量中所占的比重并不一定相同，處理的關(guān)鍵在于如何較為準(zhǔn)確的將這些比重進(jìn)行量化。很多時候，對某個因素有影響的因子比較多，如若直接給出各個因子的比重，難免出現(xiàn)偏差，主要原因有:問題考慮不全面、首尾數(shù)據(jù)顧此失彼、所有數(shù)據(jù)可能不符合整體性為1 的隱含條件等。比如我們有這樣的生活常識:假如有若干個大小不一的西瓜，每個人都能按照自己的感覺給出每個西瓜所占總體重量的大致比重，但是由于不知道每個西瓜具體的重量，每個人給出的數(shù)據(jù)都不盡相同，而且由于只是估計值，可能所有的比值會出現(xiàn)相互矛盾的情況，也容易出現(xiàn)比值和不等于1 的情形。因此，當(dāng)影響某因素的因子較多時，通常將眾多專家研判的均值作為各因子的比重，但這些比重只是初始值，通常要在初始值的基礎(chǔ)上經(jīng)過一系列嚴(yán)格的轉(zhuǎn)化、換算，才能最終得出各準(zhǔn)則層的相對權(quán)重。各準(zhǔn)則層相對權(quán)重求解的過程大致可以分為三個步驟:1.構(gòu)造判斷矩陣——分析系統(tǒng)中各因素間的關(guān)系，對同一層次各元素關(guān)于上一層次中某一準(zhǔn)則的重要性進(jìn)行兩兩比較，從而構(gòu)造得出兩兩比較的判斷矩陣;2.構(gòu)造判斷轉(zhuǎn)化矩陣——由上一步中的判斷矩陣中數(shù)據(jù)計算各比較元素所在準(zhǔn)則的相對權(quán)重，并進(jìn)行一致性檢驗。通常由判斷矩陣到判斷轉(zhuǎn)化矩陣的轉(zhuǎn)化方式不唯一，不同的轉(zhuǎn)化構(gòu)造方式往往對應(yīng)不同的適用和使用效果;3.計算各層次對于系統(tǒng)的總排序權(quán)重，并進(jìn)行排序。以上三個步驟中，第二步是關(guān)鍵，最終可以得到各方案對于總目標(biāo)的總排序。

在用層次分析法解決某些具體問題時，可能會出現(xiàn)相對權(quán)重明顯集中，權(quán)重差距較大的現(xiàn)象。因此，需要對層次分析法相對權(quán)重進(jìn)行改進(jìn)計算，努力提升層次分析法實(shí)際應(yīng)用效果。本文主要介紹確定相對權(quán)數(shù)的一種新算法—方程法，并且通過實(shí)例檢驗其使用效果。

1 層次分析法中相對權(quán)重的算法新思路

1.1 建立判斷矩陣

判斷矩陣是在對每一層次中的所有因素進(jìn)行相對重要性的兩兩比較的基礎(chǔ)上而建立的矩陣，即:

rij的取值不應(yīng)由個別人來確定，應(yīng)由眾多專家共同研判，最終取其均值。專家研判的取值是第i 個元素相對于第j 個元素的重要程度確定:特別重要(0.85-0.95)、重要(0.75-0.85)、相對重要(0.65-0.75)、稍重要(0.55-0.65)、重要程度相當(dāng)(0.5)。

1.2 判斷轉(zhuǎn)化矩陣

判斷轉(zhuǎn)化矩陣，需要將rij轉(zhuǎn)化為aij。

判斷轉(zhuǎn)化矩陣中aij和aji必須滿足兩個條件:①aij*aji=1;②aij-aji=rij-rji(其中i 為i 和j 兩個元素中較重要者，否則條件②改為aij-aji=rij-rji)。

1.3 準(zhǔn)則層的相對權(quán)重的計算

②計算Mi的n-1 次方根:。

判斷轉(zhuǎn)化矩陣中涉及元素是n 個，反映元素間的關(guān)系應(yīng)是n-1 個關(guān)系。事實(shí)上，由于判斷轉(zhuǎn)化矩陣中a11，a12，…，ann=1，因此對角線上的元素對計算判斷轉(zhuǎn)化矩陣中各行元素之乘積是沒有影響的。基于以上考慮，應(yīng)該計算Mi的n-1 次方根。

從上述過程可以看出，新方法中準(zhǔn)則層的相對權(quán)重計算過程與傳統(tǒng)層次分析法相比，區(qū)別主要在于第二步，即判斷轉(zhuǎn)化矩陣的計算。在判斷轉(zhuǎn)化矩陣中，aij保留了最初判斷矩陣中rij之間的差異性，并進(jìn)一步將最初判斷矩陣的對角線相應(yīng)因素和為1 轉(zhuǎn)化為了判斷轉(zhuǎn)化矩陣中的對角線相應(yīng)因素積為1，這在一定程度上解決了相對權(quán)重明顯集中，權(quán)重差距較大的現(xiàn)象。下面將通過實(shí)例，來驗證該方法在處理權(quán)重差距較大問題時的可行性和優(yōu)越性。

2 層次分析法中相對權(quán)重的改進(jìn)算法實(shí)際應(yīng)用

全部國有及規(guī)模以上非國有工業(yè)企業(yè)主要經(jīng)濟(jì)效益指標(biāo):工業(yè)增加值率、總資產(chǎn)貢獻(xiàn)率、資產(chǎn)負(fù)債率、流動資產(chǎn)周轉(zhuǎn)次數(shù)、成本費(fèi)用利潤率、全員勞動生產(chǎn)率、產(chǎn)品銷售率，記這7個指標(biāo)分別為1、2、3、4、5、6、7。

2.1 判斷矩陣:

?1 2 3 4 5 6 7 1 0.5 0.25 0.80 0.55 0.70 0.80 0.75 2 0.75 0.5 0.90 0.80 0.85 0.95 0.90 3 0.20 0.10 0.5 0.35 0.35 0.80 0.40 4 0.45 0.20 0.65 0.5 0.55 0.85 0.60 5 0.30 0.15 0.65 0.45 0.5 0.75 0.60 6 0.20 0.05 0.20 0.15 0.25 0.5 0.25 7 0.25 0.10 0.60 0.40 0.40 0.75 0.5

2.2 判斷轉(zhuǎn)化矩陣

由上述矩陣結(jié)合算法新思路中判斷轉(zhuǎn)化矩陣的求法，不妨以a12與a21為例。

由r12=0.25，r21=0.75 可知:，即。

解方程組可得:a12=0.780 8;a21=1.280 2。

同理，可求得所有a1ij，i，j=1，2，…，7。

匯總整理后可得如下判斷轉(zhuǎn)化矩陣:

1 2 3 4 5 6 7 1 1 0.780 8 1.344 1.051 2 1.219 8 1.344 1.280 8 2 1.280 8 1 1.477 1.344 1.409 5 1.546 6 1.477 3 0.744 0.677 1 0.861 2 0.861 2 1.344 0.905 4 0.951 3 0.744 1.161 2 1 1.051 2 1.409 5 1.105 5 0.819 8 0.709 5 1.161 2 0.951 3 1 1.280 8 1.105 6 0.744 0.646 6 0.744 0.709 5 0.780 8 1 0.780 8 7 0.780 8 0.677 1.105 0.905 0.905 1.280 8 1?

2.3 準(zhǔn)則層的相對權(quán)重的計算

由上述矩陣結(jié)合算法新思路中準(zhǔn)則層的相對權(quán)重的計算方法可得:Mi分別為:2.316 294，8.186 244，0.454 378，1.345 582，0.909 344，0.154 815，0.612 73。Mi的n-1 次方根分別為:1.150 268，1.419 648，0.876 805，1.050 715，0.984 286，0.732 772，0.921 605。

從而可以求得每個Mi相對權(quán)重，匯總整理如下:

%1 2 3 4 5 6 7統(tǒng)計局公布權(quán)重16 20 12 15 14 10 13新算法權(quán)重 16.12 19.89 12.29 14.72 13.79 10.27 12.91傳統(tǒng)層次分析法權(quán)重 23.36 46.59 3.15 8.95 11.86 1.54 4.55??

本例中，由最后的計算結(jié)果可以看出:若使用傳統(tǒng)層次分析法，則最終計算出的權(quán)重值差距較大且僅集中于個別因素;而使用新方法所計算出來的相對權(quán)重明顯更接近于統(tǒng)計局所公布的數(shù)值，且由此方法計算出的權(quán)重值也有更為合理的解釋。

3 結(jié)語

本文在傳統(tǒng)層次分析法權(quán)重計算的基礎(chǔ)上，提出了一種確定統(tǒng)計權(quán)數(shù)的新方法—方程法。不僅給出了新方法的推導(dǎo)過程，并且通過實(shí)例計算，證實(shí)了該方法在解決實(shí)際問題中的可行性和優(yōu)越性。

［1］丁興爍，謝忠秋 確定權(quán)數(shù)的新方法—概率法［J］.統(tǒng)計與決策，2003(7):13-14.

［2］張貴軍.淺談層次分析法在教學(xué)效果評測中的應(yīng)用［J］.山西財政稅務(wù)專科學(xué)校學(xué)報，2008，10(1):73-75.

［3］李春好，孫永河，賈艷輝，等.變權(quán)層次分析法［J］.系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2010，30(4):723-731.

［4］游永彬，周延年，鄭玉山等.基于二元語義層次分析法的主觀權(quán)重確定算法［J］.西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2013，31(5):710-714.

［5］吳殿廷，李東方.從北京師范大學(xué)績效考核看層次分析法的不足及其改進(jìn)的途徑［J］.系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2005，25(1):100-104.