兩層有限大小地層中多電極電流場分布

曹婷 郭濤 楊少波 陳斐

摘 要：本文先根據兩層無限大導電媒質中恒定電流場的邊界條件及回路電極處電位所滿足的條件求出回路電極A、B處電流的解析解。再用COMSOL軟件進行仿真，并將兩者進行比較，驗證了所推公式的正確性。

關鍵詞：兩層媒質；COMSOL Multiphysics軟件；電流分布；多電極

1 引言

目前，在有限大小的導電媒質中，由恒定電流產生的電場只能通過三維模擬求得數值解，而沒有具體的解析解。本文首先研究了兩層無限大導電媒質的電流分布解析解，在用有限元數值軟件進行模擬，通過計算和比較分析，總結出了兩層有限大小地層中多電極的電流場分布。

2 兩層導電媒質模型

圖1為兩層有限大小的導電媒質模型，在媒質的上面中心位置放置發射電極T，左側上下兩層媒質的表面分別放置回路電極A、B。

3 兩層無限大導電媒質的解析解

當發射電極T與回路電極A、B導通時，發射電極發出電流I，并通過導電媒質全部流入回路電極A、B中，A、B處的電流分別記為IA、IB。其中I是給定的常數，IA、IB是待定的，隨上下地層電阻率分布的變化而變化。

由電路基礎可知，對于IA、IB的值，可通過地層電阻率分布變化時，模型滿足的以下兩個條件來確定：

⑴發射電極T發出的電流全部由回路電極A、B所吸收，故有電流之和為零，即IA+IB+I=0；

⑵回路電極A、B上的電位相等，即 。但因在無限大導電媒質中，由電位方程可知電極處的電位趨向于無窮大，而無法計算解析解，故本文在回路電極A、B附近分別取點P、Q，以P、Q點處的電位相等為條件代替回路電極A、B上的電位相等來研究模型中的電位分布并求解回路電極A、B的電流大小。

設上層與下層地層的電導率對比度 ，t從0.01變化到10，取I=1，（0，hT）=（0，0.5）、（xA，hA）=（0.5，0.25）、（xB，hB）=（0.5，-0.25），P、Q坐標分別為（0.4999、0.25）、（0.4999、-0.25）。根據以上推導的IA、IB表達式，采用Mat lab編程，并繪制出回路電極A、B處的電流大小，結果如圖2所示。

4 數值仿真兩層導電媒質中多電極電流場分布

比較圖2和圖3可知：

利用COMSOL軟件數值計算的回路電極A、B處電流變化與解析解所求結果一致，說明了在同時存在多個電極的情況下，可采用分場疊加來求解恒定電流場中電流分布。也說明了用COMSOL軟件建立有限大小的模型來模擬無限大地層中恒定電流場環境下的電流分布的有效性。

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