最小均方自適應(yīng)濾波器集平均理論及實(shí)驗(yàn)仿真

姚雪春 張茂勝 王曉晨 姜林

摘 要：在自適應(yīng)濾波器應(yīng)用中的一個(gè)重要問題是確定可調(diào)節(jié)濾波器參數(shù)最優(yōu)的標(biāo)準(zhǔn)，以及利用這種標(biāo)準(zhǔn)形成實(shí)際上可行的算法。最小均方算法是現(xiàn)今應(yīng)用最為廣泛的一種線性自適應(yīng)濾波算法。在變步長最小均方算法中，變步長算法的選取十分關(guān)鍵，它對自適應(yīng)濾波器的濾波效果有重大的影響。基于最小步長理論的最小均方自適應(yīng)濾波器理論，簡化均方誤差的計(jì)算過程，設(shè)計(jì)合適的參數(shù)使實(shí)際值與理論性逼近，驗(yàn)證最小步長理論的實(shí)用性，仿真結(jié)果表明實(shí)驗(yàn)值與理論值十分吻合，具有較強(qiáng)的實(shí)用性。

關(guān)鍵詞：自適應(yīng)；濾波器；最小均方；步長

Ensemble average of least mean square adaptive filter and simulation

Yao Xuechun1，2 Zhang Maosheng1，2 Wang Xiaocheng1，2 Jiang Lin1，2，3

（1.Shenzhen Institute of Wuhan University，Shenzhen Guangdong，518063；2.Wuhan University，Wuhan Hubei，430072，China；3School of software，East China Institute of Technology，Nanchang，Jiangxi，330013）

Abstract： The optimization method of determining the parameters of an adaptive filters and the way to make the optimization method be a feasible algorithm are vital problems in the application of adaptive filters. Least mean square （LMS） is the most popular linear adaptive filters. The step size significantly influent the effect of adaptive filters in the variable step size least mean square method. Base on the variable step size least mean square theory， a simplified method to estimated mean square error （MSE） is used. A appropriate step size is developed to verify the minimum step size theory. The simulation shows that the experimental values is in accordance with theory values.

Key words：adaptive；filter；least mean square；step size

根據(jù)環(huán)境的改變使用自適應(yīng)算法來改變?yōu)V波器的參數(shù)和結(jié)構(gòu)的濾波器稱之為自適應(yīng)濾波器，其優(yōu)點(diǎn)是能夠根據(jù)輸入信號自動(dòng)調(diào)整性能進(jìn)行數(shù)字信號處理的數(shù)字濾波器。自適應(yīng)濾波器以其優(yōu)良的濾波效果獲得了廣泛的應(yīng)用， 如自適應(yīng)天線系統(tǒng)、數(shù)字通信接收機(jī)、自適應(yīng)噪聲對消技術(shù)、系統(tǒng)建模等[1]。

在自適應(yīng)濾波器應(yīng)用中一個(gè)重要問題是確定可調(diào)節(jié)濾波器參數(shù)最優(yōu)的標(biāo)準(zhǔn)，以及利用這種標(biāo)準(zhǔn)形成實(shí)際上可行的算法。最小均方（LMS，least mean square）算法是現(xiàn)今應(yīng)用最為廣泛的一種線性自適應(yīng)算法，它不需要有關(guān)的相關(guān)函數(shù)和矩陣求逆運(yùn)算[2][3]，是一種極為簡單的算法。變步長最小均方算法是最小均方算法的一種，變步長算法的選取十分關(guān)鍵，它對自適應(yīng)濾波器的濾波效果有重大的影響[4]。目前，羅小東[5]、覃景繁[6]提出的變步長算法應(yīng)用較廣泛。在自適應(yīng)濾波器中，參考輸入信號x（k）是幅值固定的余弦信號，誤差ε（k）在自適應(yīng)調(diào)節(jié)過程中是衰減振蕩的，而當(dāng)自適應(yīng)調(diào)節(jié)過程趨于穩(wěn)定時(shí)，ε（k）近似為幅值固定的交變信號。如果實(shí)際輸入信號d（k）只含2個(gè)頻率分量，那么自適應(yīng)調(diào)節(jié)過程趨于穩(wěn)定時(shí)，ε（k）近似為正弦信號。由于步長變化算法的步長μ（k）與ε（k）或x（k）有關(guān)，所以，在自適應(yīng)調(diào)節(jié)過程中，盡管步長μ（k）是衰減的，但是它存在較大的波動(dòng)，這對自適應(yīng)濾波器的濾波效果有較大的影響[7]。

1 最小均方自適應(yīng)濾波器

自適應(yīng)濾波器的一般算法原理框圖如圖1所示[8]。

其中X（k）為輸入信號，Y（k）為輸出信號，d（k）為期望信號，E（k）為誤差信號，各信號的關(guān)系為：

最小均方誤差（LMS）算法是由Widrow和Hoff提出的，具有計(jì)算量小、易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)在實(shí)踐中廣泛應(yīng)用[9][10]。LMS算法的基本思想：調(diào)整濾波器自身的參數(shù)，使濾波器的輸出信號與期望輸出信號之間的均方誤差最小，系統(tǒng)輸出為有用信號的最佳估計(jì)。實(shí)質(zhì)上LMS可以看成是一種隨機(jī)梯度或者隨機(jī)逼近算法， 可以寫成如下的基本迭代方程：

其中L為步長因子，控制穩(wěn)定性和收斂速度的參量。從上式可以看出其結(jié)構(gòu)簡單、計(jì)算量小且穩(wěn)定性好等優(yōu)點(diǎn)[11]，但固定步長的LMS算法在收斂速度、跟蹤速率及權(quán)失調(diào)噪聲之間的要求是相互矛盾的[12]，為了克服其缺點(diǎn)，學(xué)者們提出了各種變步長的LMS改進(jìn)算法，主要是采用減小均方誤差或者以某種規(guī)則基于時(shí)變步長因子跟蹤信號的時(shí)變[13]，其中有正規(guī)LMS算法（NLMS）、梯度自適應(yīng)步長算法[14]、自動(dòng)增益控制自適應(yīng)算法、符號-誤差LMS算法、符號-數(shù)據(jù)LMS算法、數(shù)據(jù)復(fù)用LMS算法等。

2 最小均方自適應(yīng)濾波器仿真

2.1 LMS算法步驟

LMS算法基本上是一種遞推算法，它用任意選擇的初始值作為開始，然后將每一新的輸入樣本輸入到這個(gè)自適應(yīng)FIR濾波器，計(jì)算相應(yīng)的輸出{y（n）}，形成誤差信號e（n）=d（n）-y（n），并按方程

hn（k）=hn-1（k）+Δe（n）x（n-k），0≤k≤N-1

更新濾波器系數(shù)，這里Δ稱為步長參數(shù)，x（n-k）是輸入信號在時(shí)間n位于濾波器的第k個(gè)樣本，而e（n）x（n-k）是對第k個(gè)濾波器系數(shù)的一個(gè)梯度負(fù)值的近似（估計(jì)）[15]。即：

輸入抽頭向量x（n）在n時(shí)刻的抽頭輸入向量為：x（n）=[x（n），x（n-1），…，x（n-M-1）]，要計(jì)算w（n+1）在n+1時(shí)刻抽頭權(quán)向量估計(jì)：

對n=1，2，…，計(jì)算

2.2 Matlab仿真

為了直觀的展現(xiàn)基于小步長理論驗(yàn)證LMS的集平均學(xué)習(xí)曲線與理論值相符的程度，以Matlab為工具，對理論進(jìn)行仿真。取步長為0.001，采用100次獨(dú)立試驗(yàn)，預(yù)測誤差f（n）均方值集平均結(jié)果，期望結(jié)果是LMS的集平均學(xué)習(xí)曲線與理論結(jié)果相一致。

理論上LMS濾波器的均方誤差為

對于一階AR過程，σ2v=σ2μ（1-a2），代入上式得

小步長理論的基本結(jié)果是：LMS的集平均學(xué)習(xí)曲線出現(xiàn)與上式相一致的確定性結(jié)果，濾波器的自然模式將關(guān)于某些固定值做布朗運(yùn)動(dòng)。

在Matlab軟件中編程實(shí)現(xiàn)以上理論，首先利用抽頭權(quán)向量自適應(yīng)方程，實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)調(diào)整權(quán)值矩陣和步長，然后計(jì)算集平均結(jié)果并計(jì)算與理論值之間的誤差，最后繪制誤差曲線圖展示誤差的程度。其中關(guān)鍵代碼如下：

W=W+mu*e（n，：）'*Xi（n-1，：）；

if（LMSData.decay==1）

mu=mu*n/（n+1）；

end；

xp（n，：）=Xi（n-1，：）* W'；

e（n，：）=Xi（n，：）-xp（n，：）；

mean（（e'）.^2）

semilogy（mean（（E‘）.^2），-‘）；

所繪制理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果，如圖2所示。可以看出，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論結(jié)果吻合度很高，體現(xiàn)算法較好的逼近理論值，可以作為一種實(shí)用的實(shí)施方式。

3 結(jié)論

從仿真實(shí)驗(yàn)可以得出，基于小步長理論的LMS集平均結(jié)果與理論值十分接近。但同時(shí)通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，大的步長將極大的影響理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的一致性。如當(dāng)u由0.001改為0.003時(shí)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論出現(xiàn)明顯差異，當(dāng)為0.01時(shí)結(jié)果出現(xiàn)很大差異。步長需要小到什么程度，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論值的接近程度與步長之間是否有公式關(guān)系，是下一步研究的目標(biāo)。

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