線天線矩量法分析中積分方程的選取*

劉建廠

(海司信息化部 北京 100841)

線天線矩量法分析中積分方程的選取*

劉建廠

(海司信息化部 北京 100841)

介紹了矩量法的基本思想,分析并詳細推導了雙位積分方程、波克林頓積分方程、海倫積分方程和反應積分方程具體形式。分別對四種積分方程應用矩量法的過程進行了分析,其中,波克林頓積分方程在應用矩量法時,使用了一種新的分段和匹配方法。重點對在應用矩量法過程中的一些重要參數進行了研究。

雙位積分方程; 波克林頓積分方程; 海倫積分方程; 反應積分方程; 矩量法

Class Number TN820

1 引言

線天線是指輻射體由截面半徑遠小于波長的導線構成的天線,導線可以是電阻性類似導體結構,但一般是金屬導線[1～2]。線天線作為天線的一大類,在艦艇上應用廣泛,準確分析線天線的特性,對改善艦艇無線通信具有實際意義。任何天線的電特性取決于它的幾何結構、周圍媒質以及天線的激勵[3],而線天線的電特性主要取決于天線上的電流分布,但嚴格求解天線的電流分布是困難的,經常采用數值方法,矩量法就是重要的一種數值方法。

矩量法是基于泛函理論,利用線性函數空間和線性算子概念,采用基函數和權函數將積分方程離散化為矩陣方程,通過矩陣求逆或解線性方程組,得到矩陣方程的解。應用于線天線領域的矩量法是處理頻域積分方程的一種方法,常用的積分方程有多種,如雙位積分方程、波克林頓(Pocklington)積分方程、海倫(Hallen)積分方程、反應積分方程[3～6]等,這些積分方程一般應用于細的線天線,即假設電流只沿天線軸線流動,忽略天線周向電流和端面徑向電流。

偶極子天線是線天線的常用形式,以偶極子天線為例,分析了線天線的電特性,對基于各種積分方程的矩量法進行了比較,研究了在應用矩量法過程中的幾個重要問題。

2 天線電磁理論

對于任意線天線,假設外加的場為Ei,在Ei的作用下,天線表面產生的感應面電流密度J在空間的散射場為Es,且滿足導體表面的電場邊界條件

(1)

散射場Es可以表示為

(2)

其中,磁矢量位A和電標量位φ為

A=μ∫SJG(r,r′)ds

(3)

(4)

(5)

3 確定電流分布的積分方程

線天線的電流分布確定后,天線的各種電特性也就隨之確定了,嚴格求解線天線的電流分布一般有兩種方法,一種是場的方法,即帶入天線的導體邊界條件,直接求解麥克斯韋(Maxwell)方程,這種方法計算復雜且僅適用于少數振子型天線;另一種是路的方法,即廣義電路理論,首先建立起電流的積分方程,然后求出電流分布,過程中引入了廣義電壓、電流和阻抗概念。

為簡化過程,以偶極子天線為例對幾種積分方程的建立過程進行了推導。

圖1 偶極子天線示意圖

一般情況下,面電流密度J有一個局部平行于天線軸線的軸向分量和一個環繞天線的周向分量,天線很細時,周向分量很小。如圖1所示沿z軸放置于原點的中饋偶極子天線,振子半徑為a,一臂長為l,天線總長度L=2l,如果滿足a≤λ,a≤L,即可看作細線天線,于是有以下假設:

1) 電流沿天線軸向流動;

2) 忽略天線上的周向電流和端面徑向電流;

3) 天線上電流僅是長度變量的函數。

這樣一來,天線表面電流僅有軸向分量Jz,且可以用軸線上的電流I(z′)=2πaJz代替天線的表面電流,I(z′)可以看作位于軸線上,也可以看作位于天線表面上。

基于上述假設,散射場Es在天線表面僅有軸向分量:

(6)

(7)

(8)

(9)

3.1 雙位積分方程

將式(7)、(8)帶入式(6),并結合式(1)可得偶極子天線的雙位積分方程

(10)

3.2 波克林頓積分方程

將洛倫茲規范條件

(11)

帶入式(6)可得

(12)

將式(7)帶入式(12)可得波克林頓積分方程

(13)

對格林函數求導可得

(14)

3.3 海倫積分方程

(15)

(16)

結合式(7),得到海倫積分方程

(17)

3.4 反應積分方程

場源(Ji、Mi)照射到邊界為S的導體散射體產生的場為(Es、Hs),根據等效原理,空間的場E、H等效于是由S面上的面源(Js、Ms)產生的,令Jc、Mc和Ec、Hc為檢驗源和場,由互易定理得

∫S(Js·Ec-Ms·Hc)ds=∫Vc(Jc·Es-Mc·Hs)dv

(18)

進一步可得

∫S(Js·Ec-Ms·Hc)ds=-∫Vc(Jc·Ei-Mc·Hi)dv

(19)

上式右面再應用互易定理,得到反應積分方程為

∫S(Js·Ec-Ms·Hc)ds=-∫Vi(Ji·Ec-Mi·Hc)dv

(20)

∫SJs·Ecds=∫ViMi·Hcdv

(21)

如果采用δ間隙電壓源饋電,則Mi=0,這樣式(20)化簡為

∫SJs·Ecds=-∫ViJi·Ecdv

(22)

4 矩量法

矩量法是將積分方程離散化為矩陣方程或線性方程組的一種數值方法,矩量法的求解過程一般分為四個步驟:

1) 選擇合適的積分方程;

2) 選擇合適的基函數,將未知量展開為由基函數構成的級數;

3) 選擇合適的權函數,利用內積形成矩陣方程;

4) 求解矩陣方程,得到未知量。

(23)

進一步寫作形如ZI=U的矩陣方程,如果矩陣Z非奇異,則可以得出未知系數矩陣

I=Z-1U

(24)

其中,Z的元素Zmn=〈wm,h(fn)〉,各式中,h是線性算子,g為源或激勵,f為場或響應,αn為待求系數,fn為基函數,wm為權函數。

矩量法應用線天線時,通常使用一維分段模型,后面的雙位積分方程、波克林頓積分方程和海倫積分方程在應用過程中,選用的都是脈沖基函數,即

(25)

4.1 矩量法用于雙位積分方程[3,8]

-ψ(m-,n+)+ψ(m-,n-)]

(26)

式中,

(27)

4.2 矩量法用于波克林頓積分方程[4,9]

采用了一種新的分段方式,即與雙位積分方程的分段方式一樣,權函數選用的也一樣,這樣得到廣義阻抗矩陣元素

(28)

廣義電壓向量元素

(29)

如果采用1V磁流環饋電,則

(30)

4.3 矩量法用于海倫積分方程

采用文獻[7]的方法,將偶極子分為N段,N為偶數,每段長Δl=L/N,天線兩端各留半段,N-1個分段中點為zn=-L/2+nΔl,N個匹配點

(31)

離散后的N階線性方程組為

(32)

4.4 矩量法用于反應積分方程[5～6]

應用伽遼金(Galerking)法,權函數與基函數相同。將偶極子天線分為N+1個子段,N為奇數,每個子段的長度Δl=L/(N+1),除天線端點外的N個子段節點坐標為zn=-L/2+nΔl。基函數選用分段正弦函數

(33)

廣義電壓向量元素

(35)

m=(N+1)/2時。

5 數值計算分析

數值計算使用如圖1所示的半波偶極子天線。波克林頓積分方程使用磁流環饋電。

5.1 電流分布

1) 雙位積分方程

在應用雙位積分方程時,N值不能取任意大,N取值過大會使電流分布出現波動。a取值較大時,取N

2) 波克林頓積分方程與海倫積分方程

波克林頓積分方程與海倫積分方程都屬于第一類弗雷德霍姆(Fredholm)積分方程[2],進行點匹配時,只要求在一些離散點上滿足天線表面電場邊界條件,在匹配點以外的地方,邊界條件并不滿足,當分段數N增加時,相當于在天線表面有更多的點滿足了邊界條件,所以足夠大的N值能夠得到更精確的解[4]。

波克林頓積分方程比較特殊,在積分項中存在R-5項,在應用時要尤其注意。實際上,波克林頓積分方程受分段數N和半徑a影響較大,隨著N和a的變化,電流分布波動較大。

海倫積分方程的積分核比較簡單,故海倫積分方程的解比較穩定,隨N的變化不大,但N也不能取得過大,a取值較大時,應滿足N

a=0.005λ的半波偶極子天線用兩種方程所得電流分布與N的關系如圖2所示。

3) 反應積分方程

反應積分方程是一類特殊的積分方程,表示的是檢驗源與“真源”之間的電磁反應,因為采用的是分段正弦基函數,故解的收斂性很好,受分段數N的影響不明顯,但N也不能取任意大,半徑越小受N的影響也越小。

不同半徑的半波偶極子天線用合適的N值得到的電流分布如圖3所示。

5.2 輸入阻抗

偶極子天線的輸入阻抗Zin=1/I(0),a=0.001λ的半波偶極子天線用四種積分方程得到輸入阻抗在合適的N的范圍內,隨著N的增大,都呈現出收斂性,四種積分方程所得輸入阻抗隨N的變化如圖4所示。

不同半徑的半波偶極子天線取合適的N值用四種積分方程得到的輸入阻抗典型值如表1所示。

表1 半波偶極子天線的輸入阻抗(單位Ω)

6 結語

對于半徑不是很大的線天線,在用矩量法分析時,在合適的N的范圍內,四種積分方程都能得到較為準確的電流分布和輸入阻抗,相對而言,由于采用了不同的基函數,反應積分方程的解更為準確,收斂性也要好一些。下一步的工作重點是進一步優化算法,研究復雜天線在應用矩量法時的阻抗矩陣填充技術。

[1] 波波維奇 B D.導線天線的分析與綜合[M].北京:人民郵電出版社,1987:1-33.

[2] 周朝棟,王元坤,周良明.線天線理論與工程[M].西安:西安電子科技大學出版社,1988:1-2,44-55.

[3] 劉其中,宮德明.天線的計算機輔助設計[M].西安:西安電子科技大學出版社,1988:86-111.

[4] STUTZMAN W L, THIELE G A.天線理論與設計[M].北京:人民郵電出版社,2006:400-426.

[5] 李世智.電磁輻射與散射問題的矩量法[M].北京:電子工業出版社,1985:25-62.

[6] 宋錚,張建華,黃冶,等.天線與電波傳播學習指導[M].西安:西安電子科技大學出版社,2011:173-186.

[7] 劉建廠.海倫方程矩量法分析[J].艦船電子工程,2013,33(9):52-54.

[8] 劉建廠,曹艷,張秀強.V形天線輻射特性分析[J].海軍航空工程學院學報,2013,28(增刊1):719-722.

[9] 王世錦,陳代宗,冀秀芹.天線微波程序集[M].北京宇航出版社,1989:73-80.

[10] 廖承恩.微波技術基礎[M].西安:西安電子科技大學出版社,1994:84-89.

Different Integral Equations in Method-of-Moments Analysis of Wire Antenna

LIU Jianchang

(Information Department of Naval Headquarters, Beijing 100841)

In this paper, the basic ideas of the method-of-moments(MoM) are briefly presented. Two-potential integral equation, Pocklington integral equation, Hallen integral equation and reaction integral equqtion. Two are analyzed and deduced. Four different integral equations are used to analyze the wire antenna of MoM are particularly studied. A new segmentation and matching method is used in MoM based on Pocklington integral equation. The research focuses on some important parameters in the application of MoM.

two-potential equation, pocklington integral equation, Hallen integral equation, reaction equation, MoM

2014年6月1日,

2014年7月25日

劉建廠,男,碩士,工程師,研究方向:電磁場數值計算、天線與電波傳播理論、天線仿真與設計。

TN820

10.3969/j.issn1672-9730.2014.12.017