基于Radau偽譜法的制導炸彈最優滑翔彈道研究

袁宴波,張科,薛曉東

(1.西北工業大學航天學院,陜西西安 710072;2.中國空空導彈研究院第12研究所,河南洛陽 471009)

基于Radau偽譜法的制導炸彈最優滑翔彈道研究

袁宴波1,2,張科1,薛曉東2

(1.西北工業大學航天學院,陜西西安 710072;2.中國空空導彈研究院第12研究所,河南洛陽 471009)

基于Radau偽譜法求解最優控制問題的原理,研究了滑翔型制導炸彈的最大射程優化問題。對制導炸彈動力學模型進行了無量綱化處理,結合極小值原理推導了最優控制軌跡的解析解和一階必要性條件,采用Radau偽譜法將彈道優化問題轉化為非線性規劃問題,基于協態映射原理給出了數值解的最優性驗證方法。仿真結果表明,Radau偽譜法能夠提供具有工程應用價值的最優解,與常規的最大升阻比滑翔彈道相比,優化后的彈道射程增加10%以上。

兵器科學與技術;滑翔制導炸彈;彈道優化;Radau偽譜法

0 引言

當前,相當多的制導炸彈采用了大升阻比氣動外形設計,如美國的JDAM-ER、SDB,中國的LS-6等。此類滑翔型制導炸彈具有很強的滑翔能力,因此射程較遠,可以實現防區外對地精確打擊。由于制導炸彈本身沒有動力,僅能依靠投放高度勢能和投放初速度動能來實現較遠的滑翔距離。采用怎樣的彈道規劃策略才能實現最遠的滑翔距離,是一個具有現實意義的問題。最常用的彈道規劃方案是將彈道劃分為滑翔段和俯沖攻擊段(如圖1所示):在滑翔段按照最大升阻比對應的攻角來進行飛行控制,在俯沖攻擊段按照比例導引的形式進行彈道控制。然而,這種彈道規劃方案只是一種經驗上的方法,并不是理論上的最優結果。

圖1 滑翔型制導炸彈常規彈道示意圖Fig.1 Conventional trajectory of glide guided bomb

實際上,制導炸彈的彈道優化問題可以歸結為帶有狀態約束和控制約束的非線性最優控制問題,其求解方法一般分為間接法和直接法[1]。間接法基于 Pontryagin極值原理將最優控制問題轉換成Hamiltonian兩點邊值(HBVP)問題,其優點是能夠滿足一階最優性必要條件,能夠精確求得協態變量和控制變量。但是由于保證HBVP問題收斂的協態變量沒有物理意義,其初值很難估計,同時還存在收斂半徑小,對初始值敏感等問題,HBVP的求解是非常困難的。直接法是采用參數化方法將連續空間的最優控制問題轉化成非線性規劃(NLP)問題,而NLP問題有很多成熟的數值解法。由于直接法對狀態微分方程進行了離散化,因此由直接法求得的協態變量和控制變量精度比間接法稍差。

偽譜法是最近發展的一類求解最優控制問題的方法,該方法融合了間接法和直接法的優點:不僅能夠獲得最優控制問題的數值解,而且可以提供協態變量的精確信息[2]。因而偽譜法在最優控制問題的數值解法方面,特別是飛行器軌跡優化方面逐漸流行并成為研究熱點。常見的偽譜方法包括:Legendre偽譜法(LPM)、Gauss偽譜法(GPM)以及Radau偽譜法(RPM)。文獻[3]對上述3種方法的計算精度、計算效率等方面進行了比較研究,指出GPM和RPM精度相當,并且均略優于LPM,而在計算效率方面3種方法差別不大。文獻[4]基于GPM對無人攻擊機(UCAV)對地攻擊武器的投放軌跡進行了優化計算;文獻[5]利用GPM進行了助推-滑翔導彈的彈道優化研究。但是對于飛行器的軌跡優化問題,離散解的最優性驗證在文獻中還是很少見。

本文采用RPM來求解制導炸彈的最優滑翔彈道,基于極小值原理推導了問題的解析解和最優性一階必要條件,同時基于協態映射原理[6]給出了數值解的最優性驗證方法,并對數值解的最優性進行了比較全面的驗證。

1 制導炸彈彈道優化模型

1.1 狀態方程及其無量綱化

進行彈道優化時主要關注制導炸彈鉛垂平面內的運動,不考慮地球自轉的影響,并假定重力加速度g為常值,則制導炸彈的運動可用如下簡化方程進行描述:

將以上各相對量(角度沒有相對量形式)代入(1)式中得到無量綱化的狀態方程:

下文為表述方便,省去式中的上標。在制導炸彈彈道優化問題中,僅考慮鉛垂平面運動的情況下,炸彈運動軌跡的改變取決于攻角α,取控制量為攻角α.

1.2 過程約束

過程約束即炸彈在飛行過程中彈道參數必須滿足的約束條件。一般地,由于彈體結構強度和操縱舵能力的限制,炸彈法向過載不能超過限制值。法向過載定義為

另外,炸彈飛行速度不能超出設計范圍太多,因此,應滿足彈道最小速度約束。同時,作為控制量的攻角必須在設計范圍內變化,并且變化速率不能太快,故攻角的幅值和變化率受到上限約束。綜上,過程約束如下:

1.3 邊界條件

邊界條件包括初始邊界條件和終端邊界條件。初始邊界條件即炸彈投放時刻狀態變量的初值,是完全給定的,即

終端邊界條件是指制導炸彈在彈道終點需滿足的條件,通常有落地速度與落地彈道傾角的要求,即

1.4 性能指標

制導炸彈彈道優化的目的是增大射程,以x(tf)表示彈道終點處射程,射程取極大值等效為-x(tf)取極小值,故取性能指標為

1.5 最優控制的一階必要條件

上述彈道優化問題對應的最優控制問題可描述為:在時間區間[t0,tf](其中tf自由)中,尋找最優控制變量α*(t),使(10)式中的性能指標J取極小值,并使狀態變量[x,y,v,θ]T和控制變量α(t)滿足狀態微分方程(5)式、過程約束(7)式、邊界條件(8)式和(9)式。

根據最優控制理論,上述最優控制問題的哈密頓函數為

本文將采用RPM求解上述最優控制問題,并驗證偽譜法求得的結果滿足最優性一階必要條件。

2 RPM優化基本原理

RPM求解最優控制問題的基本原理為:將未知的狀態變量和控制變量在一系列 Legendre-Gauss-Radau(LGR)點上離散化,構造全局插值多項式來逼近狀態變量和控制變量,再通過對狀態變量求導來代替動力學微分方程。這樣,連續系統最優控制問題被轉化為受一系列代數約束的NLP問題[7],可以采用數值方法求解。RPM離散最優控制問題的主要流程[8]如下。

2.1 時域變換

2.2 全局插值多項式近似狀態變量和控制變量

用RPM處理連續時間最優控制問題時,需要在一系列LGR離散點上對控制變量和狀態變量進行全局插值多項式逼近。控制變量在1,…,K-1個網格處用如下的Nk階Lagrange多項式來逼近:

由于終端時間tf沒被配置,第K個網格處的控制變量用Nk-1階Lagrange多項式來逼近。類似地,狀態變量在第k個網格處可以近似為

2.3 微分方程約束轉換為代數約束

通過全局插值多項式近似狀態變量后,狀態變量的導數可通過對多項式求導來近似,從而將動力學微分方程轉換為代數約束,即

將(19)式代入動力學微分方程,并在LGR點上進行離散,可得

2.4 離散后的性能指標及邊界條件

采用LGR配置點離散化后,性能指標函數可近似表示為

基于上述的數值近似方法,原連續最優控制問題被離散,并轉換為NLP問題,轉換所得的NLP問題可采用數值方法求解。其中,序列二次規劃(SQP)是一種較好的選擇,SQP算法較為成熟,在此不做介紹。

2.5 協態映射原理及最優性驗證

對于最優控制問題,令PN為該問題經偽譜法參數化得到的NLP問題,N為用于近似的Lagrange多項式階數。令Pλ為應用龐特里亞金極小值原理得到的邊界值問題。Benson等[9]和 Huntington[10]的研究證明了PN問題的KKT(Karush-Kuhn-Tucker)條件與Pλ問題最優性條件之間的等價性,即NLP問題的KKT乘子與LGR節點上的協態變量值之間存在一一對應的關系,這就是偽譜法的協態映射原理。事實上,Fahroo等[11]指出,RPM對協態變量的估計由下式確定:

利用數值優化結果和偽譜法得到的協態變量估值,可以根據1.5節中最優控制的一階必要條件得到最優控制軌跡的解析解,將其與全局插值多項式逼近得到的最優控制軌跡相比較,可以驗證偽譜法的有效性。本文將根據實例仿真結果對此進行驗證。

3 仿真驗證與結果分析

3.1 仿真結果

某制導炸彈升阻比與速度和攻角的關系如圖2所示。由圖2可知,在各個飛行馬赫數下,制導炸彈在攻角為5°時升阻比最大。因此,按照常規的彈道規劃方案,要保持制導炸彈在滑翔段始終處于最大升阻比的飛行狀態,只需要按照5°的攻角進行飛行控制即可。以下針對具體條件分析RPM優化算法的邊界條件和約束條件,并將RPM優化結果與常規彈道進行對比。

圖2 某制導炸彈升阻比與速度和攻角的關系Fig.2 Lift-to-drag ratio vs.angle of attack at different Mach numbers of a glide guided bomb

制導炸彈相關參數為:質量m=557 kg,參考面積S=0.116 m2,最大法向過載nymax為2g,彈道最小速度vmin=120 m/s;炸彈初始狀態:投放高度y(t0)= 10 km,投放速度v(t0)=250 m/s;末端狀態約束: y(tf)=0 m,v(tf)=270 m/s,θ(tf)=-80°;取xref= 10 km,vref=250 m/s,則RPM算法的邊界條件為

按照(24)式和(25)式設定RPM優化算法邊界條件及約束條件,優化后的狀態變量和控制變量曲線如圖3～圖8所示,圖中給出了與常規的最大升阻比滑翔彈道的對比情況。

圖3 彈道曲線對比Fig.3 Trajectory vs.time

由圖3可以看出,從炸彈投放后開始,RPM優化彈道就比常規彈道高度要高,且整體上彈道曲線更加平直,最終射程由81 km增大到92 km,增幅達13.5%.圖4、圖5表明在射程增大的同時,彈道飛行時間由435 s增加到513 s,并且在彈道末端兩種方案均滿足(24)式中的速度約束和彈道傾角約束。圖6顯示在彈道初始段和末段兩種方案控制變量差別較大,而中段大部分時間RPM優化結果只是在常規方案附近波動,說明常規的最大升阻比方案作為一種簡單易行的方案,仍具有一定的工程應用價值,但是如果追求發揮制導炸彈的射程極限,則RPM優化算法顯示出優勢。圖7和圖8表明在全彈道上(25)式的過程約束條件得到滿足。

圖6 攻角曲線對比Fig.6 Angle of attack vs.time

圖7 法向過載曲線對比Fig.7 Normal overload vs.time

圖8 攻角變化率曲線對比Fig.8 Angle of attack vs.time

3.2 最優性驗證

按照(24)式和(25)式確定的邊界條件及約束條件,經RPM優化算法得到的協態變量曲線如圖9所示;由RPM優化算法得到的控制軌跡α(t)與通過最優性一階必要條件得到的最優控制軌跡α*(t),如圖10所示,RPM算法給出的哈密頓函數曲線如圖11所示。

圖9 RPM算法給出的協態變量曲線Fig.9 Co-states obtained from RPM optimization

由圖9可以看出,橫截條件(14)式得到滿足;另一方面,由于經過無量綱化后各狀態變量處于同一數量級,大大縮小了尋優范圍,因而協態變量變化范圍也不大。由圖10可知,除個別地方由于控制約束限幅,RPM算法求得的控制變量軌跡與最優控制軌跡稍有差別外,二者軌跡完全重合。由前文的分析知,哈密頓函數沿最優軌線保持為0.由圖11可見,哈密頓函數值在0附近波動,滿足最優性一階必要條件,充分說明了RPM算法求得的控制軌跡是最優的,算法是有效的。

圖10 RPM算法控制軌跡與一階必要條件給出的控制軌跡對比Fig.10 Comparison of control trajectory obtained from RPM optimization and first-order necessary condition

圖11 RPM算法給出的Hamilton函數曲線Fig.11 Hamiltonian function curve obtained from RPM optimization

3.3 工程應用分析

為了進一步說明RPM優化算法在增大制導炸彈射程方面的優勢,分別對上述兩種方案在不同初始條件下的彈道情況進行了仿真計算(末端邊界條件和約束條件與(24)式和(25)式相同),仿真結果如表1所示。

表1 不同初始條件下RPM優化算法增程情況Tab.1 The extended ranges obtained from RPM optimization under different initial conditions

從表1可以看出,與常規方案相比,在各種初始條件下,經RPM優化后制導炸彈最大射程均能得到顯著增加,增程效果均在 10%以上,最高達到17.8%.另一方面,從工程實現的角度來講,由于彈道優化工作可以事先離線完成,因此,可以將最優控制變量(即攻角)根據不同的飛行速度和高度進行擬合,然后將擬合后的參數表裝定到彈上,炸彈投放后,由飛控計算機根據飛行條件實時插值得到最優飛行攻角,進而可以根據最優飛行攻角進行彈道飛行控制。與常規的最大升阻比方案相比,只是增加了最優參數表的裝定和二維插值計算,占用彈載計算機資源不多,工程上完全可以實現。

4 結論

本文利用RPM對滑翔型制導炸彈的最優滑翔彈道進行了研究。對制導炸彈動力學模型進行了無量綱化處理,結合極小值原理推導了最優控制軌跡的解析解和一階必要性條件。采用RPM將彈道優化問題轉化為NLP問題,基于協態映射原理給出了數值解的最優性驗證方法。仿真和分析結果表明:

1)無量綱化處理使各狀態變量處于同一數量級,大大縮小了尋優范圍;

2)采用RPM可以求得滿足最優性一階必要條件的數值解,并且能夠準確地給出協態變量的估值;

3)與常規的最大升阻比滑翔彈道相比,采用RPM優化后的彈道增程效果超過10%.

本文的研究結果,對制導炸彈的增程設計具有工程應用價值,同時,對滑翔型制導炸彈的彈道規劃及制導律設計也具有一定的參考價值。

References)

[1] John B T.Survey of numerical methods for trajectory optimization [J].Journal of Guidance,Control and Dynamics,1998,21(2): 193-206.

[2] Rao A V,Clarke K A.Performance optimization of a maneuvering reentry vehicle using a Legendre pseudospectral method[C]∥AIAA Atmospheric Flight Mechanics Conference and Exhibit.California:AIAA,2002:1-13.

[3] Huntington G T,Benson D,Rao A V.A comparison of accuracy and computational efficiency of three pseudospectral methods[C]∥AIAA Guidance,Navigation and Control Conference and Exhibit. South Carolina:AIAA,2007:1-22.

[4] 張煜,張萬鵬,陳璟,等.基于Gauss偽譜法的UCAV對地攻擊武器投放軌跡規劃[J].航空學報,2011,32(7):1240-1251.

ZHANG Yu,ZHANG Wan-peng,CHEN Jing,et al.Air-toground weapon delivery trajectory planning for UCAVs using Gauss pseudospectral method[J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica,2011,32(7):1240-1251.(in Chinese)

[5] 劉欣,楊濤,張青斌.助推-滑翔導彈彈道優化與總體參數分析[J].彈道學報,2012,24(3):43-48.

LIU Xin,YANG Tao,ZHANG Qing-bin.Trajectory optimization and parameter analysis for boost-glide missile[J].Journal of Ballistics,2012,24(3):43-48.(in Chinese)

[6] Garg D,Patterson M A,Darby C L,et al.Directtrajectory optimization and costate estimation of general optimal control problems using a Radau pseudospectral method[C]∥AIAA Guidance,Navigation and Control Conference.Chicago,Illinois:AIAA,2009: 1-29.

[7] Darby C L,Hager W W,Rao A V.Direct trajectory optimization using a variable low-order adaptive pseudospectral method[J]. Journal of Spacecraft and Rockets,2011,48(3):433-445.

[8] 王鈾,趙輝,惠百斌,等.利用Radau偽譜法求解UCAV對地攻擊軌跡研究[J].電光與控制,2012,19(10):50-53.

WANG You,ZHAO Hui,HUI Bai-bin,et al.Air-to-ground trajectory planning for UCAVs using a Radau pesudosprctral method [J].Electronics Optics&Control,2012,19(10):50-53.(in Chinese)

[9] Benson D A,Huntington G T,Thorvaldsen T P.Direct trajectory optimization and costate estimation via an orthogonal collocation method[J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2006, 29(6):1435-1440.

[10] Huntington G T. Advancementand analysisofa Gauss pseudospectral transcription for optimal control problems[D]. Massachusetts,US: MassachusettsInstituteofTechnology, 2007:51-57,115-143.

[11] FahrooF, Ross IM. Costateestimation by a Legendre pseudospectral method[J].Journal of Guidance,Control and Dynamics,2001,24(2):270-277.

Optimization of Glide Trajectory of Guided Bombs Using a Radau Pseudo-spectral Method

YUAN Yan-bo1,2,ZHANG Ke1,XUE Xiao-dong2
(1.School of Astronautics,Northwestern Polytechnical University,Xi'an 710072,Shaanxi,China; 2.No.12 Institute,China Airborne Missile Academy,Luoyang 471009,Henan,China)

The problem of optimizing the maximum range of a glide guided bomb is studied based on the principle of solving optimal control problems using the Radau pseudo-spectral method.The dynamic model of the guided bomb is nondimensionalized.Combining with the Pontryagin minimum principle,the analytic solution of the optimal control and the first-order necessary condition are derived.The trajectory optimization problem is translated to a nonlinear programming via the Radau pseudo-spectral method.Based on covector mapping principle,an optimality verification method is presented for the numerical solution. Simulation results show that the Radau pseudo-spectral method can provide a highly valuable optimal solution for engineering application.Compared with the conventional maximum lift-to-drag ratio gliding trajectory,the trajectory after optimization can be extended by more than 10%.

ordnance science and technology;glide guided bomb;trajectory optimization;Radau pseudo-spectral method

TJ765.5

:A

:1000-1093(2014)08-1179-08

10.3969/j.issn.1000-1093.2014.08.007

2013-09-10

袁宴波(1981—),男,博士研究生。E-mail:runble@163.com;張科(1968—),男,教授,博士生導師。E-mail:zhangke@mail.nwpu.edu.cn