維修時(shí)間截尾序貫驗(yàn)后加權(quán)檢驗(yàn)的實(shí)現(xiàn)*

劉勇，徐廷學(xué)，彭軍

(海軍航空工程學(xué)院 a.接改裝訓(xùn)練大隊(duì)；b. 2系，山東 煙臺(tái)264001)

0 引言

經(jīng)典的維修性指標(biāo)驗(yàn)證方法所需的樣本量較大，但由于條件、經(jīng)費(fèi)等因素的限制，獲取很多的現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)和進(jìn)行大量的維修性試驗(yàn)面臨巨大困難。為此，基于Bayes理論的小子樣檢驗(yàn)方法在工程應(yīng)用上獲得了成功。這些方法主要有驗(yàn)后似然比檢驗(yàn)[1]、序貫概率比檢驗(yàn)[2-3]和序貫驗(yàn)后加權(quán)檢驗(yàn)(sequential posterior odd test, SPOT)[4-9]，其中SPOT方法是基于Bayes理論的小子樣檢驗(yàn)方法的核心。SPOT方法盡可能地利用未知參數(shù)的驗(yàn)前信息，在每次試驗(yàn)之后作統(tǒng)計(jì)判斷，若尚不足以作出決定，就進(jìn)行下一次試驗(yàn)，故試驗(yàn)次數(shù)并不是固定的。但出于試驗(yàn)時(shí)間和經(jīng)費(fèi)的考慮，并不能無(wú)限制地序貫下去，因此，有時(shí)會(huì)在試驗(yàn)前就把所需試驗(yàn)次數(shù)即試驗(yàn)樣本量的上界確定下來(lái)，這時(shí)就稱為截尾SPOT方法[6]。應(yīng)用截尾SPOT方法時(shí)，如果截尾后仍不能用SPOT方法進(jìn)行判決，則需要引入決策閾值并對(duì)之進(jìn)行求解。部分學(xué)者文獻(xiàn)對(duì)決策閾值的求解問(wèn)題進(jìn)行了研究，但未給出可行的實(shí)現(xiàn)方法。為了能將此方法應(yīng)用于工程實(shí)踐，本文在滿足檢驗(yàn)精度的情況下嘗試用近似計(jì)算的方法代替積分運(yùn)算，并通過(guò)某導(dǎo)彈維修性指標(biāo)驗(yàn)證的實(shí)例證明了該方法的可行性。

1 截尾SPOT方法介紹

由于一般可認(rèn)為系統(tǒng)維修時(shí)間服從正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布，所以本文按正態(tài)分布來(lái)討論。當(dāng)維修時(shí)間服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布時(shí)，將維修時(shí)間以及可接受值作對(duì)數(shù)變換。

設(shè)系統(tǒng)維修時(shí)間均值的可接受值為μ1，檢驗(yàn)假設(shè)為

H0:μ≤μ1，H1:μ>μ1.

若Y=lnX～Nθ,σ2，σ2已知，對(duì)μ1的轉(zhuǎn)換方法為

θ1=lnμ1-σ2/2.

于是檢驗(yàn)假設(shè)可更改為

H0:θ≤θ1，H1:θ>θ1.

(1)

(2)

有了上述公式計(jì)算ON，然后引入A，B兩值進(jìn)行判決檢驗(yàn)。

設(shè)2類假設(shè)的驗(yàn)前概率分別為PH0和PH1，取

(3)

PH1=1-PH0,

(4)

式中：Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

若生產(chǎn)方和使用方風(fēng)險(xiǎn)值分別為α和β，則

(5)

(6)

如果在試驗(yàn)之前就確定了樣本量N，在N次試驗(yàn)后有A

D1={Ω:A

判決檢驗(yàn)如下：

(1) 當(dāng)A

(2) 當(dāng)C

由文獻(xiàn)[4, 12]可知

(7)

且有

(8)

式中:

式中：Z1/(B+1)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的1/(B+1)分位點(diǎn)。

(2) 計(jì)算p(i)。

p(i)的精確表達(dá)式為

(9)

(3) 若τ>ε，進(jìn)行如下判斷

令i=i+1，轉(zhuǎn)(2)。

式(9)的Φ(·)中含有未知數(shù)θ。因?yàn)棣?·)沒(méi)有關(guān)于θ的解析表達(dá)式，因此不能直接對(duì)式(9)等號(hào)右邊的部分進(jìn)行積分運(yùn)算。p(i)的計(jì)算是關(guān)鍵的一個(gè)環(huán)節(jié)，為此，接下來(lái)對(duì)此作進(jìn)一步的探討。

2 決策閾值的近似計(jì)算方法

當(dāng)不能進(jìn)行積分運(yùn)算時(shí)，可以尋找近似計(jì)算方法作為替代。

設(shè)Y～N0,1，其分布函數(shù)為

(10)

其概率密度函數(shù)為

(11)

(12)

相應(yīng)的密度函數(shù)為

(13)

(14)

圖1 f(y)與f(y)aprFig. 1 Curves of f(y) and f(y)apr

圖2 近似與積分運(yùn)算的相對(duì)誤差曲線Fig.2 Curve of relative error between approximate calculation and integral calculation

由圖2可看出，近似計(jì)算與積分運(yùn)算的相對(duì)誤差小于2%，滿足工程上計(jì)算判別的需要，因此，這里用式(14)替代式(10)，以實(shí)現(xiàn)p(i)的計(jì)算。這樣就有

(15)

于是

(16)

(17)

將式(16)和(17)代入式(9)，最終可得到p(i)的計(jì)算模型為

(18)

3 案例分析

在定型階段對(duì)某導(dǎo)彈的平均修復(fù)時(shí)間MTTR進(jìn)行檢驗(yàn)，規(guī)定α=β=0.1，對(duì)MTTR的最大可接受值μ1=42 min，最大試驗(yàn)樣本量N=8。已知維修時(shí)間X服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，維修時(shí)間的對(duì)數(shù)方差為σ2=0.162，即Y=lnX～N(θ,0.162)；求得θ的先驗(yàn)分布為N(3.721，0.020)。

H0：θ≤3.730， H1：θ>3.730.

此時(shí)Θ=Θ0∪Θ1，其中Θ0={θ≤θ0}，Θ1={θ>θ0}。

經(jīng)過(guò)現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)，得到了8個(gè)維修時(shí)間數(shù)據(jù)，對(duì)之取對(duì)數(shù)，如表1所示。

表1 現(xiàn)場(chǎng)維修時(shí)間數(shù)據(jù)及其對(duì)數(shù)Table 1 Field maintenance data and their natural logarithms

由式(3)和(4)可得

P(H0)=0.526， P(H1)=0.474.

于是根據(jù)A，B的計(jì)算公式(5)和(6)，可以得到

A=0.048， B=17.122.

顯然有A

4 結(jié)束語(yǔ)

在應(yīng)用截尾SPOT方法進(jìn)行維修性指標(biāo)驗(yàn)證的過(guò)程中，現(xiàn)有基于數(shù)值逼近原理求解決策閾值的方法存在的難題是積分變量中含有的正態(tài)分布積分函數(shù)沒(méi)有解析表達(dá)式，因此不能直接進(jìn)行積分運(yùn)算。為此，本文在滿足檢驗(yàn)精度的情況下，用近似計(jì)算的方法代替正態(tài)分布積分運(yùn)算，給出了一種求解決策閾值的可行方法。用此方法對(duì)某導(dǎo)彈MTTR進(jìn)行驗(yàn)證的實(shí)例表明用近似計(jì)算代替積分運(yùn)算的方法是有效的，且可以看出，相比傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方法，基于Bayes理論的截尾SPOT方法減少了試驗(yàn)次數(shù)，能夠縮短試驗(yàn)時(shí)間，提高軍事效益。

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