一種改進的多學(xué)科協(xié)同優(yōu)化算法及其應(yīng)用＊

許 輝

（中國艦船研究設(shè)計中心 武漢 430064）

1 引言

一個復(fù)雜工程系統(tǒng)往往涉及多個專業(yè)領(lǐng)域，存在很多設(shè)計變量及約束條件，各學(xué)科間相互影響或耦合。傳統(tǒng)的串行設(shè)計方式由于忽視學(xué)科間的關(guān)聯(lián)性，通常只能獲得設(shè)計的局部最優(yōu)解。上世紀八十年代，多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化（Multidisciplinary Design Optimization，MDO）興起于航空航天領(lǐng)域，以Sobieski和Kroo為代表的科學(xué)家在這方面做了一些開創(chuàng)性的工作［1～4］。MDO是一種通過充分探索和利用工程系統(tǒng)中相互作用的協(xié)同機制來設(shè)計復(fù)雜產(chǎn)品及其子系統(tǒng)的方法論。隨著MDO的發(fā)展，涌現(xiàn)出諸如多學(xué)科可行方向法（Multidisciplinary Feasible Method，MDF）、并行子空間優(yōu)化算法（Concurrent Subspace Optimization，CSSO）、協(xié)同優(yōu)化算法（Collaborate Optimization，CO）、兩級集成系統(tǒng) 綜 合 （Bi－Level Integrated System Synthesis，BLISS）等優(yōu)化框架。其中1994年 Kroo等［2］人提出的協(xié)同優(yōu)化算法由于具有良好的學(xué)科自治性和并行處理能力，一直被認為是多學(xué)科優(yōu)化中最具前途的優(yōu)化算法。

傳統(tǒng)協(xié)同優(yōu)化算法中系統(tǒng)級獨特的一致性約束表達形式，導(dǎo)致系統(tǒng)級約束過多計算迭代次數(shù)增大，優(yōu)化結(jié)果無法收斂等。針對這些缺陷，文獻［5］提出了最優(yōu)靈敏度方法，采用一階近似方法增大了收斂的可能性，但計算量大且魯棒性差；文獻［6］采用動態(tài)罰函數(shù)方法將系統(tǒng)級約束問題轉(zhuǎn)為無約束優(yōu)化問題，提高了系統(tǒng)級求解優(yōu)化效率，但如何選取合適的罰因子保證計算的穩(wěn)定性成為新的問題；文獻［7］將遺傳算法應(yīng)用于系統(tǒng)級優(yōu)化，克服了協(xié)同優(yōu)化可靠性不好的問題，但計算次數(shù)的顯著增大也不容忽視；文獻［8］將罰函數(shù)方法引入學(xué)科級，用學(xué)科級共享平均值代替系統(tǒng)變量實施系統(tǒng)優(yōu)化，有效提高了系統(tǒng)級收斂效率，但該方法無法求解學(xué)科級共享變量數(shù)目不對等的問題；文獻［9］提出在協(xié)同優(yōu)化框架類加入混合變量解決復(fù)雜產(chǎn)品系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計，該方法思想新穎，但混合變量的加入導(dǎo)致系統(tǒng)級更大的優(yōu)化負擔(dān)。綜合以上分析，提出了一種新的協(xié)同優(yōu)化算法（New Collaborative Optimization，NCO），并用工程測試算例進行驗證。

2 改進的協(xié)同優(yōu)化算法

2.1 協(xié)同優(yōu)化算法的數(shù)學(xué)描述及求解流程

CO是1994年斯坦福大學(xué)教授Kroo等針對單級多學(xué)科優(yōu)化方法在解決大型復(fù)雜系統(tǒng)工程時出現(xiàn)的低效率和大計算量問題，提出的具有兩級結(jié)構(gòu)的多學(xué)科優(yōu)化策略。CO將優(yōu)化問題分為兩級：一個系統(tǒng)級和并行的多個學(xué)科級。系統(tǒng)級的數(shù)學(xué)描述形式如下：

式中，f（z）為系統(tǒng)級優(yōu)化目標函數(shù)；為學(xué)科級i的第j個共享變量最優(yōu)解；m為系統(tǒng)級與學(xué)科級共享變量數(shù)目；zj為第j個共享變量；（z）為學(xué)科級i提供的一致性等式約束條件；n為優(yōu)化問題的學(xué)科級數(shù)目。

CO算法的學(xué)科級數(shù)學(xué)描述形式為

式中，Ji（xi）為學(xué)科級的優(yōu)化目標函數(shù)；xij為學(xué)科級i的第j個共享變量；xil為學(xué)科級i的局部設(shè)計變量；為系統(tǒng)級傳遞給學(xué)科級i的第j個共享變量；g（xij，xil）為學(xué)科級局部約束條件。

優(yōu)化之初，系統(tǒng)級向?qū)W科級分配系統(tǒng)級變量的目標值，如圖1流程圖所示，各學(xué)科級在滿足自身約束的條件下，其目標函數(shù)應(yīng)使學(xué)科間耦合變量與分配的目標值的差距最小，經(jīng)學(xué)科級優(yōu)化后，將優(yōu)化解傳回給系統(tǒng)級，系統(tǒng)級在一致性約束條件下，優(yōu)化共享變量，以解決各學(xué)科間耦合變量的不一致。通過系統(tǒng)級優(yōu)化和子學(xué)科級優(yōu)化之間的多次迭代，最終得到一個學(xué)科間耦合關(guān)系，達到一致的系統(tǒng)最優(yōu)設(shè)計方案。正是這種分布并行的設(shè)計思想，保證了各學(xué)科設(shè)計優(yōu)化的自由度，減少了學(xué)科間的數(shù)據(jù)傳輸，吸引國內(nèi)外不少學(xué)者將其應(yīng)用于飛機、衛(wèi)星、電動汽車、魚雷及船舶的設(shè)計［10～14］。

圖1 標準CO流程

2.2 改進的協(xié)同優(yōu)化算法

傳統(tǒng)協(xié)同優(yōu)化算法的數(shù)學(xué)表述形式使其在實際系統(tǒng)工程優(yōu)化設(shè)計存在如下三個主要問題：

1）系統(tǒng)級優(yōu)化的一致性等式約束條件形式是2－范數(shù)形式。其導(dǎo)數(shù)（z）＝－2（ˉxi－ˉz）在最優(yōu)解處的Jacobian矩陣是奇異矩陣將導(dǎo)致系統(tǒng)級Kuhn－Tucker條件無法滿足，嚴重影響系統(tǒng)級收斂結(jié)果和效率。

2）對于實際的復(fù)雜MDO問題，子學(xué)科數(shù)目往往多余系統(tǒng)級共享變量數(shù)目使得系統(tǒng)級約束條件數(shù)大余系統(tǒng)級共享變量數(shù)，極大限制了系統(tǒng)級優(yōu)化的自由度。

3）系統(tǒng)級一致性等式約束形式，沒有考慮實際工程設(shè)計中不同設(shè)計變量量級的差別和設(shè)計精度的要求，各學(xué)科的一致性約束表達式中可能造成量級小的變量失去一致性控制作用且等式約束條件過于苛刻易使優(yōu)化過程無法收斂。

針對上述分析提出了NCO算法，NCO框架在繼承了傳統(tǒng)協(xié)調(diào)優(yōu)化分布并行的思想上，以新的系統(tǒng)級約束表達形式來克服傳統(tǒng)協(xié)同優(yōu)化計算困難的缺陷。

1）為了避免系統(tǒng)級約束Jacobian矩陣為零對Kuhn－Tucker條件的破壞，使用1－范數(shù)來代替2－范數(shù)。

2）系統(tǒng)級一致性約束形式改為由各個變量與系統(tǒng)級共享變量間差異最大的表達式來控制來增強系統(tǒng)級優(yōu)化自由度，同時有助于將不同設(shè)計變量分離處理。

3）根據(jù)實際各個設(shè)計變量精度要求選取不同的松弛變量。

改進后的系統(tǒng)級優(yōu)化模型為

式中j為系統(tǒng)級設(shè)計變量個數(shù)。εj為實際工程中第j個共享變量要求的精度。

3 算例分析

分別采用典型函數(shù)和實際工程問題將Alexandrov提出的松弛協(xié)同優(yōu)化與NCO優(yōu)化算法比較，以說明NCO算法的有效適用性。

3.1 數(shù)值算例

選取一個典型函數(shù)優(yōu)化問題，對本文的改進策略進行測試。其數(shù)學(xué)模型為［15］

按照協(xié)同優(yōu)化的思想，將該優(yōu)化問題分為一個系統(tǒng)級和兩個學(xué)科級。松弛協(xié)同優(yōu)化算法的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型如下：

1）系統(tǒng)級優(yōu)化模型：

式中，z1，z2為系統(tǒng)級設(shè)計變量，為系統(tǒng)級一致性約束。

2）子學(xué)科1的優(yōu)化模型：

3）子學(xué)科2的優(yōu)化模型：

采用NCO算法對系統(tǒng)級表述形式進行改進，改進后的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型如下：

1）系統(tǒng)級優(yōu)化模型：

2）子學(xué)科1的優(yōu)化模型：

3）子學(xué)科2的優(yōu)化模型：

由文獻［15］可知，當(dāng)β＝0.1時，最優(yōu)解x＊為（0.198，1.980），目標函數(shù)f＊為3.998。取四組不同初始點，兩種方法系統(tǒng)級和子系統(tǒng)級都采用序列二次規(guī)劃法（NLPQL），NCO系統(tǒng)級表達式中ε1取10－5，ε2取10－4優(yōu)化結(jié)果如表1所示。

表1 優(yōu)化結(jié)果比較

圖2 初始點1處松弛CO算法系統(tǒng)級目標函數(shù)迭代圖

圖3 初始點1處NCO算法系統(tǒng)級目標函數(shù)迭代圖

由表1的數(shù)據(jù)可以看出，在不同的初始點處，松弛CO算法和NCO算法方法都求得最優(yōu)解，且優(yōu)化結(jié)果與給定的最優(yōu)目標值接近。但對于所有不同的起始點NCO的系統(tǒng)迭代次數(shù)大幅度下降，收斂效率明顯得到提升。圖2、圖3所示為在初始點1處，松弛CO和NCO算法系統(tǒng)級目標函數(shù)迭代圖。

3.2 齒輪減速器優(yōu)化問題

齒輪減速器優(yōu)化算例是NASA評估多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化方法性能的十個標準算例之一［16］。該設(shè)計問題包括七個設(shè)計變量，如圖4所示，其中x1為齒面寬度，x2齒輪模數(shù)，x3小齒輪齒數(shù)，x4、x5為軸承間距，x6、x7為軸的直徑，目標是滿足齒輪的彎曲應(yīng)力和接觸應(yīng)力以及軸的位移和應(yīng)力等約束條件下使得減速箱的質(zhì)量最輕。其優(yōu)化數(shù)學(xué)模型表述如下［17］：

以上各式中，設(shè)計變量取值范圍為：2.6≤x1≤3.6，0.7≤x2≤0.8，17≤x3≤28，7.3≤x4，x5≤8.3，2.9≤x6≤3.9，5≤x7≤5.5單位：cm。

按照多學(xué)科協(xié)同優(yōu)化設(shè)計思想，將齒輪箱優(yōu)化設(shè)計問題分解為一個系統(tǒng)級和三個學(xué)科級，系統(tǒng)級設(shè)計變量為z1，z2，z3，學(xué)科1的設(shè)計變量為x1，x2，x3，x4，x6，學(xué)科2的設(shè)計變量為x1，x2，x3，x5，x7，學(xué)科3的設(shè)計變量為x1，x2，x3。

圖4 齒輪減速箱

松弛CO算法的優(yōu)化模型如下：

1）系統(tǒng)級優(yōu)化模型：

2）子學(xué)科1的優(yōu)化模型：

3）子學(xué)科2的優(yōu)化模型：

4）子學(xué)科3的優(yōu)化模型：

采用NCO算法對系統(tǒng)級表述形式進行改進，改進后的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型如下：

1）系統(tǒng)級優(yōu)化模型：

2）子學(xué)科1的優(yōu)化模型：

3）子學(xué)科2的優(yōu)化模型：

4）子學(xué)科3的優(yōu)化模型：

表2列出了NASA給出的四個不同起始點，其中A、B、C為可行域內(nèi)的點，D為可行域外的點。

兩種方法系統(tǒng)級和子系統(tǒng)級都采用序列二次規(guī)劃法（NLPQL）。其中松弛協(xié)同優(yōu)化算法結(jié)果來自文獻［18］。齒輪箱優(yōu)化問題中齒面寬度x1量級為100，按照允許誤差要求，取ε1＝10－4；小齒輪模數(shù)x2量級10－1，工程設(shè)計中要求精度高，在NCO中設(shè)定ε2＝10－5，小齒輪齒數(shù)x3量級為101，精度要求相對偏低，故可取ε2＝10－3。減速齒輪箱為優(yōu)化結(jié)果見表3。

表2 初始設(shè)計點

表3 齒輪箱優(yōu)化結(jié)果比較

文獻［19］給出該問題的最優(yōu)解為（3.50，0.7，17，7.3，7.71，3.35，5.29），目 標 函 數(shù)f＊為2994kg。

圖5 起始點A處NCO算法系統(tǒng)級目標函數(shù)迭代圖

圖6 起始點C處NCO算法系統(tǒng)級目標函數(shù)迭代圖

由表3可以看出，對于齒輪箱優(yōu)化問題，起始點A處松弛CO無法收斂。而NCO算法迭代39次收斂至最優(yōu)解。圖5給出了起始點A處的系統(tǒng)級目標函數(shù)迭代圖。

在起始點B、C、D處，傳統(tǒng)CO和NCO都能收斂至最優(yōu)解。但當(dāng)起始點位于最優(yōu)點附近的C點或者可行域外的D點時傳統(tǒng)CO算法系統(tǒng)級收斂緩慢，NCO的收斂速率為松弛CO的1.5倍，且NCO算法的魯棒性優(yōu)于松弛CO。圖6給出了起始點在C點處的系統(tǒng)級目標函數(shù)迭代圖。

4 結(jié)語

本文在分析了傳統(tǒng)協(xié)同優(yōu)化求解多學(xué)科問題易出現(xiàn)缺陷原因的同時，通過對系統(tǒng)級一致性約束表述形式進行改變，提出了一種改進的協(xié)同優(yōu)化算法。NCO在繼承傳統(tǒng)協(xié)同優(yōu)化算法高度學(xué)科自治性、并行優(yōu)化設(shè)計思想的基礎(chǔ)上，對解決復(fù)雜的系統(tǒng)工程問題主要具有如下優(yōu)勢：

1）系統(tǒng)級一致性約束形式改為由各個變量與系統(tǒng)級共享變量間差異最大的單項表達式來控制，降低了系統(tǒng)級約束的維數(shù)，提高了系統(tǒng)優(yōu)化效率。

2）系統(tǒng)級一致性等式約束變?yōu)椴坏仁郊s束，松弛變量根據(jù)不同設(shè)計變量精度要求和量級大小選取，有效保證了可行域解的存在，同時更符合工程實際要求。

3）以1－范數(shù)形式替代系統(tǒng)級約束2－范數(shù)形式，保障了Kuhn－Tucker穩(wěn)態(tài)條件，使數(shù)值型優(yōu)化算法得以實施。

兩個經(jīng)典多學(xué)科測試算例初步驗證了NCO的有效性和魯棒性。NCO還需要在大型復(fù)雜系統(tǒng)工程設(shè)計中進行應(yīng)用、檢驗及進一步完善。

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