廣義預(yù)測控制在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用研究

王麗飛，劉洪娥，于佐軍（中國石油大學(xué)，山東 青島 266555）

1 引言

廣義預(yù)測控制是Clarke等人在1987年針對工業(yè)過程的特點，在保持最小方差自校正控制的在線辨識、最小方差控制的基礎(chǔ)上，吸取了DMC和MAC中的滾動優(yōu)化策略，提出的一種新型的計算機控制。廣義預(yù)測控制具有諸多優(yōu)點：首先，它是基于參數(shù)模型的，而其他的預(yù)測控制算法大部分是基于非參數(shù)模型的。其次，它保留了自適應(yīng)控制的優(yōu)點，而且較自適應(yīng)控制有更好的魯棒性。最后，由于采用多步預(yù)測、滾動優(yōu)化和反饋校正等策略，其控制效果更適應(yīng)工業(yè)過程控制的要求[1～3]。由于這些優(yōu)點，廣義預(yù)測控制一出現(xiàn)就受到了控制界和工業(yè)界的廣泛關(guān)注，其理論研究不斷深入，并在很多工業(yè)過程中得到應(yīng)用，取得了較好的控制效果[4]。

但是，目前廣義預(yù)測控制的研究對象大部分是線性離散時間系統(tǒng)，對非線性系統(tǒng)廣義預(yù)測控制的研究，由于難于構(gòu)造被控對象的多步預(yù)報模型因而導(dǎo)致廣義預(yù)測控制律求解困難。目前非線性系統(tǒng)的廣義預(yù)測控制一般都是用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法來獲得被控對象的多步預(yù)測值，這種方法需要首先訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其模型不能進行在線辨識[5～7]。本文針對一類比較具有普遍意義的非線性系統(tǒng)，首先將其轉(zhuǎn)化為時變參數(shù)的線性系統(tǒng)，然后使用具有遺忘因子的最小二乘法或是多項式逼近法在線辨識模型參數(shù)，進行廣義預(yù)測控制。并以二容液位系統(tǒng)為模型，進行了仿真研究，取得了較好的控制效果。

2 非線性系統(tǒng)的廣義預(yù)測控制

2.1 非線性系統(tǒng)模型及其等效時變線性系統(tǒng)

非線性系統(tǒng)被控對象的輸入輸出模型可以描述如下：

其中 u、 y分別表示系統(tǒng)的輸入、輸出，m、n分別表示輸入輸出階次，ε(t)表示噪聲干擾， f(?)是未知的關(guān)于y(t ?1),y(t?n),u(t?1),u(t?m)的非線性函數(shù)，并且滿足下列條件：

（1） 0)0,0,0( =f

（2） f (?)關(guān)于y(t ?1),y(t?n),u(t?1),u(t?m)連續(xù)可導(dǎo)，且各偏導(dǎo)數(shù)有界。

條件（1）要求系統(tǒng)的平衡點為零點，若不滿足此條件，可通過坐標變化使之滿足此條件，條件（2）代表了一類非線性系統(tǒng)，也是許多實際非線性系統(tǒng)過程所滿足的。這兩個條件并不是很苛刻，對這類非線性系統(tǒng)的研究也具有實際意義。可以證明[8～9]，滿足以上兩個條件的非線性系統(tǒng)可以等價地表示為如下的時變線性系統(tǒng)：

并且 ai（i = 1,2,n ）、bj（ j = 1,2,n） 是有界的。這一時變線性系統(tǒng)相當于將非線性系統(tǒng)等價為一個由無數(shù)線性系統(tǒng)組成的線性模型的集合，每一時刻對應(yīng)集合中的某個線性模型。

根據(jù)以上論述，我們就可以在廣義預(yù)測控制的每一步，先辨識非線性系統(tǒng)的線性化模型，然后再進一步求解廣義預(yù)測控制律。

2.2 模型參數(shù)的辨識

式（2）是由一個非線性系統(tǒng)等價而來的參數(shù)未知的時變線性系統(tǒng)，當非線性系統(tǒng)不是處在穩(wěn)定工作點時，其等價的時變線性系統(tǒng)的參數(shù)是不斷變化的，因此，要對系統(tǒng)進行控制，就必須先辨識系統(tǒng)模型的參數(shù)（在系統(tǒng)的階次已知的情況下），要辨識的模型如下：

令：

則式(3)可表示為：

對于以上時變系統(tǒng)模型的辨識，如果參數(shù)屬于慢時變的，可以采用改進的線性定常系統(tǒng)的辨識方法，本文采用具有遺忘因子的最小二乘法，其計算公式如下：

其中， 0 <μ ≤1是遺忘因子，一般可取 0 . 95<μ ≤1， l (k )為權(quán)因子， p ( k )為正定的協(xié)方差陣。θ 與p的初值可用一次完成的最小二乘法得到，或直接選為

如果時變參數(shù)變化較慢，采用上述具有遺忘因子的最小二乘法就能獲得較好的效果，但在參數(shù)變化較快的情況下，參數(shù)的辨識應(yīng)該依據(jù)對應(yīng)時刻的觀察數(shù)據(jù)，不能過多地使用過去時刻的觀測數(shù)據(jù)，因此很難滿足時變參數(shù)辨識時對觀察數(shù)據(jù)充分豐富的要求，使用上述算法就存在較大的誤差，為了解決該問題，比較常用的是多項式逼近法。所謂多項式逼近方法，就是將時變序列展開成多項式基函數(shù)的線性組合形式，通過辨識這些線性組合的定常系數(shù)來實現(xiàn)時變參數(shù)的辨識。

對于式(3)中 )(tθ 的任意一個元素，在任意一個時間間隔 ],[21ttt ∈ 上，存在多項式：

通過引入如下一個變量代換[10～11]

則式(3)可以寫成：

)(tξ 為系統(tǒng)的噪聲與多項式的截斷項所造成的未建模動態(tài)誤差之和。

對(10)進行辨識時，先進行正則化處理：

即：

對上式中的參數(shù)采用如下帶有死區(qū)的最小二乘算法進行辨識：

死區(qū)切換函數(shù)定義為：

其中，α1=1+trace(P(0))， t rP (0)表示矩陣 P (t)在時刻等于 t =0時的跡，α2為小于1的任選正常數(shù)。

2.3 非線性系統(tǒng)工作點變化時的廣義預(yù)測控制

在實際的過程中，大部分的非線性系統(tǒng)都是工作在某一穩(wěn)定工作點上，因此，系統(tǒng)穩(wěn)定運行時，可以將系統(tǒng)作為一個時不變線性系統(tǒng)進行控制，而當系統(tǒng)的工作點變化的時候，就需要采用上面所論述的原理，將非線性系統(tǒng)等價為時變的線性系統(tǒng)，在線辨識模型參數(shù)，并進行廣義預(yù)測控制，使系統(tǒng)由一個工作點快速平穩(wěn)地達到另外一個工作點。

非線性系統(tǒng)工作點變化時的廣義預(yù)測控制的步驟：

（1）如果非線性系統(tǒng)工作在同一工作點，轉(zhuǎn)到3，否則執(zhí)行2；

（2）用具有遺忘因子的遞推最小二乘法（參數(shù)變化緩慢）或多項式逼近時變參數(shù)的方法估計模型參數(shù) )(tai， )(tbj；

（3）求解Diophantine方程，計算jE、jF、jG、jH；

（4）計算矩陣G和G ( G + λ I )?1；

（5）求解控制量 )(tu ；

（6）返回到1，繼續(xù)執(zhí)行；

此處需要說明的是，如果用具有遺忘因子的遞推最小二乘法辨識參數(shù)，那么它與線性系統(tǒng)廣義預(yù)測控制中的具有遺忘因子的遞推最小二乘法雖然都是用來估計系統(tǒng)的參數(shù)，但意義并不相同，前者求的是非線性系統(tǒng)在不同工作點附近的線性化的模型參數(shù)，目的是使線性化后的模型能盡可能逼近非線性模型，參數(shù)變化比較大；后者求的是線性系統(tǒng)的模型參數(shù)，它的作用是使辨識值不斷地接近線性系統(tǒng)模型參數(shù)的真實值，參數(shù)變化不大。此外，如果非線性系統(tǒng)是由一個工作點運行到令一個工作點時，辨識的初始值應(yīng)該設(shè)為起始工作點線性化后的模型參數(shù)。

3 廣義預(yù)測控制在二容液位系統(tǒng)中的應(yīng)用

3.1 二容液位控制系統(tǒng)的建模

二容液位系統(tǒng)如圖1所示：

圖1 二容液位圖

在圖1中，上面的容器稱為容器1，下面的容器稱為容器2。容器1的水流輸入量Q0是由水泵M決定的，水泵的正常工作區(qū)間為0-3 m3/h，即水泵能夠提供的最大水流為 1 /1200m3/s。容器1的水流輸出量Q1與容器1的液位高度的開方成正比，即 Q1 = k 1h1，同理，容器2的水流輸出量Q2與容器2的液位高度的開方成正比，即，則根據(jù)物料平衡方程：

容器內(nèi)儲液量的變化率 = 單位時間內(nèi)液體流入量 - 單位時間內(nèi)液體流出量

可以得到容器1的液位：

容器2的液位：

其中的A1，A2分別為容器1、容器2的橫截面積。

3.2 二容液位系統(tǒng)的仿真

在二容液位系統(tǒng)的仿真研究中，以容器1的水流輸入量作為輸入控制量，以容器2的液位高度作為輸出控制量，系統(tǒng)用CARMA表示，即

采用具有遺忘因子的最小二乘法辨識模型的參數(shù)。系統(tǒng)的仿真輸出采用四階龍格—庫塔法得到，其公式如下：

其中：

f( t,y)為系統(tǒng)的模型。

3.3 仿真結(jié)果

系統(tǒng)在幅值為7.8881e-004的階越響應(yīng)下的響應(yīng)曲線如圖2所示：

圖2 階躍響應(yīng)曲線

初始液位為0，液位設(shè)定值為0.35m，采用具有遺忘因子的最小二乘法辨識系統(tǒng)模型，其仿真結(jié)果如圖3所示：

圖3 具有遺忘因子的最小二乘法辨識系統(tǒng)模型的輸出曲線

采用多項式逼近法辨識模型參數(shù)時，其仿真結(jié)果如圖4所示：

由圖3和圖4可以看出，由于參數(shù)變化比較緩慢，無論是采用多項式逼近法辨識模型還是采用具有遺忘因子的最小二乘法辨識模型，輸出曲線相差不大，都能實現(xiàn)非線性系統(tǒng)工作點的切換。

圖4 多項式逼近法辨識模型的輸出曲線

4 結(jié)語

本文針對一類比較具有普遍意義的非線性系統(tǒng)，首先將其轉(zhuǎn)化為時變參數(shù)的線性系統(tǒng)，然后使用具有遺忘因子的最小二乘法或是多項式逼近法在線辨識模型參數(shù)，進行廣義預(yù)測控制，給出了兩種辨識時變參數(shù)的方法，并以二容液位系統(tǒng)為模型，進行了仿真研究。結(jié)果表明，使用具有遺忘因子的最小二乘法或是多項式逼近法在線辨識模型參數(shù)，輸出曲線相差不大，都能實現(xiàn)非線性系統(tǒng)工作點的切換。

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