“外接球問題”解法小議

周曉瑞

摘 要：多面體的外接球是一個使得該多面體的所有頂點都在其上的球面，每個多面體至多有一個外接球，也就是說，如果某個多面體有外接球，那么它的外接球是唯一的.由于這個唯一性使得外接球問題成為歷年高考的熱點，也成了學生眼中的難點，為了讓學生能快速、準確地解決這類問題，歸納總結幾種常用的解答方法：性質法；構造法：根據多面體的特征常構造長方體、正方體、直棱柱等；逐個擊

破法.

關鍵詞：外接球；性質法；構造法；長方體；正方體；直棱柱；逐個擊破法

.

分析：正四面體的各條棱均相等，且相對的棱異面垂直，而正方體的所有面對角線均相等，且相對的兩個面內的異面對角線還互相垂直，故我們可以采用構造正方體的方法求解.

3.構造直棱柱

∴三棱錐D-ABC的外接球就是直三棱柱ABC-FDE的外接球.

設△ABC、△DEF的外接圓圓心分別為O1、O2，連接O1O2，則直三棱柱ABC-FDE的外接球球心就是線段O1O2的中點O，連接OC、O1C

規律小結：

在下列情形之下，常用構造法解決外接球問題：

（1）三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直時，常構造長方體，特別地，當三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直且相等時，可直接構造正方體.

（2）三棱錐的對棱相等時，常構造長方體，特別地，當三棱錐的各條棱相等，即為正四面體時，可直接構造正方體.

（3）三棱錐的四個面均是直角三角形時，可構造長方體.

（4）三棱錐只有一條側棱與底面垂直時，可構造直棱柱.

方法三：逐個擊破法

根據幾何體的外接球的定義知，外接球的球心到幾何體的各頂點的距離均相等，即只要確定了球心所處的準確位置，半徑也就迎刃而解了.所以在有些題目中，我們可以采取“先找到滿足到部分點距離相等的點集A，再找到滿足到剩余點距離相等的點集B，而后取A和B的交集”的辦法，就可以找到球心，即各個擊破，逐步滿足.

規律小結：

當幾何體的各個表面中有部分或全部是可以確定外接圓圓心或半徑的平面幾何圖形（如正三角形、直角三角形等）時，均可采用“逐個擊破法”求解.

（作者單位 山西省保德中學）

編輯 謝尾合endprint

摘 要：多面體的外接球是一個使得該多面體的所有頂點都在其上的球面，每個多面體至多有一個外接球，也就是說，如果某個多面體有外接球，那么它的外接球是唯一的.由于這個唯一性使得外接球問題成為歷年高考的熱點，也成了學生眼中的難點，為了讓學生能快速、準確地解決這類問題，歸納總結幾種常用的解答方法：性質法；構造法：根據多面體的特征常構造長方體、正方體、直棱柱等；逐個擊

破法.

關鍵詞：外接球；性質法；構造法；長方體；正方體；直棱柱；逐個擊破法

.

分析：正四面體的各條棱均相等，且相對的棱異面垂直，而正方體的所有面對角線均相等，且相對的兩個面內的異面對角線還互相垂直，故我們可以采用構造正方體的方法求解.

3.構造直棱柱

∴三棱錐D-ABC的外接球就是直三棱柱ABC-FDE的外接球.

設△ABC、△DEF的外接圓圓心分別為O1、O2，連接O1O2，則直三棱柱ABC-FDE的外接球球心就是線段O1O2的中點O，連接OC、O1C

規律小結：

在下列情形之下，常用構造法解決外接球問題：

（1）三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直時，常構造長方體，特別地，當三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直且相等時，可直接構造正方體.

（2）三棱錐的對棱相等時，常構造長方體，特別地，當三棱錐的各條棱相等，即為正四面體時，可直接構造正方體.

（3）三棱錐的四個面均是直角三角形時，可構造長方體.

（4）三棱錐只有一條側棱與底面垂直時，可構造直棱柱.

方法三：逐個擊破法

根據幾何體的外接球的定義知，外接球的球心到幾何體的各頂點的距離均相等，即只要確定了球心所處的準確位置，半徑也就迎刃而解了.所以在有些題目中，我們可以采取“先找到滿足到部分點距離相等的點集A，再找到滿足到剩余點距離相等的點集B，而后取A和B的交集”的辦法，就可以找到球心，即各個擊破，逐步滿足.

規律小結：

當幾何體的各個表面中有部分或全部是可以確定外接圓圓心或半徑的平面幾何圖形（如正三角形、直角三角形等）時，均可采用“逐個擊破法”求解.

（作者單位 山西省保德中學）

編輯 謝尾合endprint

摘 要：多面體的外接球是一個使得該多面體的所有頂點都在其上的球面，每個多面體至多有一個外接球，也就是說，如果某個多面體有外接球，那么它的外接球是唯一的.由于這個唯一性使得外接球問題成為歷年高考的熱點，也成了學生眼中的難點，為了讓學生能快速、準確地解決這類問題，歸納總結幾種常用的解答方法：性質法；構造法：根據多面體的特征常構造長方體、正方體、直棱柱等；逐個擊

破法.

關鍵詞：外接球；性質法；構造法；長方體；正方體；直棱柱；逐個擊破法

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分析：正四面體的各條棱均相等，且相對的棱異面垂直，而正方體的所有面對角線均相等，且相對的兩個面內的異面對角線還互相垂直，故我們可以采用構造正方體的方法求解.

3.構造直棱柱

∴三棱錐D-ABC的外接球就是直三棱柱ABC-FDE的外接球.

設△ABC、△DEF的外接圓圓心分別為O1、O2，連接O1O2，則直三棱柱ABC-FDE的外接球球心就是線段O1O2的中點O，連接OC、O1C

規律小結：

在下列情形之下，常用構造法解決外接球問題：

（1）三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直時，常構造長方體，特別地，當三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直且相等時，可直接構造正方體.

（2）三棱錐的對棱相等時，常構造長方體，特別地，當三棱錐的各條棱相等，即為正四面體時，可直接構造正方體.

（3）三棱錐的四個面均是直角三角形時，可構造長方體.

（4）三棱錐只有一條側棱與底面垂直時，可構造直棱柱.

方法三：逐個擊破法

根據幾何體的外接球的定義知，外接球的球心到幾何體的各頂點的距離均相等，即只要確定了球心所處的準確位置，半徑也就迎刃而解了.所以在有些題目中，我們可以采取“先找到滿足到部分點距離相等的點集A，再找到滿足到剩余點距離相等的點集B，而后取A和B的交集”的辦法，就可以找到球心，即各個擊破，逐步滿足.

規律小結：

當幾何體的各個表面中有部分或全部是可以確定外接圓圓心或半徑的平面幾何圖形（如正三角形、直角三角形等）時，均可采用“逐個擊破法”求解.

（作者單位 山西省保德中學）

編輯 謝尾合endprint