2n階J-自伴算子的豫解算子及其譜分析

錢志祥

（肇慶科技職業技術學院基礎教學部，廣東肇慶526100）

2n階J-自伴算子的豫解算子及其譜分析

錢志祥

（肇慶科技職業技術學院基礎教學部，廣東肇慶526100）

基于具有可積復系數函數的2n階線性微分方程解的漸近式，討論了復系數2n階微分方程平方可積解的個數與其最小算子的虧指數，再利用2n階J-自伴算子的豫解算子的性質，研究2n階J-自伴算子的譜，得出了一個與實系數情形類似的重要結論。

微分算子；J_自共軛算子；豫解算子；譜分析

引言

J-自共軛微分算子譜理論的研究，始于對耗散算子和具有復勢能薛定諤算子的研究，復勢能算子在量子力學中具有重要的應用，因此，復系數算子的譜理論近些年來備受人們的關注。因為J-自共軛微分算子是非自伴的，所以其譜理論的研究有一定的難度，目前，對J-自共軛算子的譜理論的研究所采用的方法也十分有限，盡管許多數學家在這方面已經做了大量的工作，取得了豐富的成果，但是其譜理論還很不完善。本文通過討論具有可積復系數的2n階微分方程平方可積解的個數與其最小算子的虧指數，再利用2n階J-自共軛微分算子的豫解算子的性質，研究了2n階J-自共軛算子的譜，得到了這一類算子譜的分布。

考慮階J-對稱微分表達式：

其系數滿足下列條件：是定義在（0，∞）上的復值函數，而且pk，1（x），pk，2（x）∈L2（0，∞）k=1，2，…，n。

定義1［1］定義算子TM：TMy=l（y），D（TM）=｛y∈L2（a，b），y（k）在（a，b）上絕對連續，0≤k≤n-1，l（y）∈L2（a，b）｝稱TM為由微分算式l（y）生成的最大算子。定義算子T′0：T′0y=l（y），D（T′0）=｛y∈D（TM），y在（a，b）內具有緊支柱｝，T′0的閉包記為T0，稱算子T0為由微分算式l（y）生成的最小算子。

引理1［2］設函數在區間［0，∞）上可積，且則方程

有2n個線性無關的解，yk（k=1，2，3……，2n）當x→∞時，它們的漸近性為：

yk=eμkξ［1+o（1）］k=1，2，……，2n

其中，μk為（-1）nλ的所有不同的2n次方根，其實部各不相同，而t；而且由（2）式生成的最小算子T0是J-對稱算子，其虧指數等于n。

引理2［3_5］設算子T的虧指數為d（T）=m＜∞，D（T）?D?D（JT*J），D是T的某個J自伴延拓的定義域的充要條件是：存在｛x123m使得：

（1）｛x1，x2，x3…，xm｝模D（T）線性無關；

（2）［xj，xk］=0，j，k=1，2，3，…，m；

定義2［6］用σ（T），ρ（T）分別表示算子T的譜集和正則集，則集合Cσ（T）=ρ（T），其中C表示復平面，X表示全空間。σ（T）可以分解成互不相交的集合σp（T），σc（T）和σr（T）的并集，其定義如下：

它們分別稱為算子T的點譜、連續譜和剩余譜。

引理3［7］若算子T是一個J-自伴微分算子，則算子T的剩余譜是空集σr（T）=φ，此時算子T的譜可分為離散譜和本質譜σ（T）=σd（T）∪σe（T）。

1 主要結論

引理4若（1）式的系數滿足（Ⅰ）（Ⅱ），則由

在其J-自伴定義域D內生成的算子T是一個J-自共軛算子。當λ∈［0，∞）時，方程（3）在L2［0，∞）中的線性無關解的個數為n-1小于其最小算子T0的虧指數n。當λ∈C-［0，∞）時，方程（3）在L2［0，∞）中的線性無關的解的個數為n恰好等于其最小算子T0的虧指數n。

證明根據引理1知，由（3）式生成的最小算子T0是J-對稱算子，其虧指數等于n，且對?λ∈C，方程有2n個線性無關的解yk（k=1，2，3……，2n）；當x→∞時，它們的漸近性如下：yk=eμkξ［1+o（1）］k=1，2，……，2n其中μk為（-1）nλ的所有不同的2n次方根，其實部各不相同，而ξ=t，根據引理2知由（1）式在定義域D（T）中生成的算子是J-自共軛算子T，令則μk=，從而當x→∞時，yk=esξωk

［1+o（1）］k=1，2，……，2n。

（1）當λ∈［0，∞）時

當Reλ＞0，而argλ=0時，μk=seiθk（k=0，…，2n，因為argλ= 0，所以，當n為奇數時，

當n為偶數時，

根據這2n個角θk（k=0，1，……，2n-1）在平面直角坐標系中的分布，按μk的實部進行排序，

設ρi=Reμi，當1≤i≤n-1時，ρi=Reμi＜0，yi= eμiξ［1+o（1）］∈L2［0，∞），當n≤i≤2n時，ρi=Reμi≥0，yi=eμiξ［1+o（1）］?L2［0，∞），故此情形下方程（3）在L2［0，∞）中的線性無關解的個數為n-1小于算子T0的虧指數n

（2）當λ∈C-［0，∞）時

當n為奇數時，根據這2n個角θk在平面直角坐標系中的分布，按μk的實部進行排序，

Reμ1≤……≤Reμn＜0≤Reμn+1≤……，≤Reμ2n設ρi=Reμi，當1≤i≤n時，ρi=Reμi＜0，yi=eμiξ［1+o（1）］∈L2［0，∞），當n+1≤i≤2n時，ρi= Reμi＞0，yi=eμiξ［1+o（1）］?L2［0，∞），故此情形下方程（3）在L2［0，∞）中的線性無關解的個數恰好等于算子T0的虧指數n。

當n為奇數時

根據這2n個角θk（k=0，1，……，2n-1）在平面直角坐標系中的分布，對μk的實部進行排序，

Reμ1≤……≤Reμn＜0≤Reμn+1≤……≤Reμ2n設ρi=Reμi，當1≤i≤n時，ρi=Reμi＜0，yi=eμiξ［1+o（1）］∈L2［0，∞），當n+1≤i≤2n時，ρi= Reμi＞0，yi=eμiξ［1+o（1）］?L2［0，∞），故此情形下方程（3）在L2［0，∞）中的線性無關解的個數恰好等于算子T0的虧指數n。

Reμ1≤……≤Reμn＜0≤Reμn+1≤……≤Reμ2n設ρi=Reμi，當1≤i≤n時，ρi=Reμi＜0，yi=eμiξ［1+o（1）］∈L2［0，∞），當n+1≤i≤2n時，ρi= Reμi＞0，yi=eμiξ［1+o（1）］?L2［0，∞），故此情形下方程（3）在L［0，∞）中的線性無關解的個數恰好等于算子T0的虧指數n。

④當Reλ＜0，而argλ=π時，μk=seiθk，其中θk=，經過簡單分析知這2n個角θk（k=0，1，……，2n-1）在平面直角坐標系中的分布，對μk的實部進行排序，

Reμ1≤……≤Reμn＜0≤Reμn+1≤……≤Reμ2n設ρi=Reμi，當1≤i≤n時，ρi=Reμi＜0，yi=eμiξ［1+o（1）］∈L2［0，∞），當n+1≤i≤2n時，ρi= Reμi＞0，yi=eμiξ［1+o（1）］?L2［0，∞），故此情形下方程（3）在L2［0，∞）中的線性無關解的個數恰好等于算子T0的虧指數n。

當n為奇數時，

根據這2n個角θk（k=0，1，……，2n-1）在平面直角坐標系中的分布，對μk的實部進行排序，

Reμ1≤……≤Reμn＜0≤Reμn+1≤……≤Reμ2n設ρi=Reμi，當1≤i≤n時，ρi=Reμi＜0，yi=eμiξ［1+o（1）］∈L2［0，∞），當n+1≤i≤2n時，ρi= Reμi＞0，yi=eμiξ［1+o（1）］?L2［0，∞），故此情形下方程（3）在L2［0，∞）中的線性無關解的個數恰好等于算子T0的虧指數n。

當n為奇數時，

根據這2n個角θk（k=0，1，……，2n-1）在平面直角坐標系中的分布，對μk的實部進行排序，

Reμ1≤……≤Reμn＜0≤Reμn+1≤……≤Reμ2n設ρi=Reμi，當1≤i≤n時，ρi=Reμi＜0，yi=eμiξ｝∈L2［0，∞），當n+1≤i≤2n時，ρi=Reμi＞0，yi= eμiξ［1+o（1）］?L2［0，∞），故此情形下方程（3）在L2［0，∞）中的線性無關解的個數恰好等于算子T0的虧指數n。

根據①～⑥的討論可知：當λ∈C-［0，∞）時，方程（3）在L2［0，∞）中恰有n個線性獨立的解。

綜合（1）、（2），于是引理4得證。

引理5［S］設y1（x），y2（x），y3（x）…y2n（x）是齊次方程（l-λI）y=0的基本解系，f（x）可測且在［0，∞）上局部可積，那么非齊次方程（l-λI）y=f的通解形式為：

其中，a1，a2，a3…，a2n是任意常數，而函數

其中，W（y1，y2，…，y2n）表示函數y1（x），y2（x），y3（x），…，y2n（x）的朗基行列式。

證明過程見文獻［S］中引理4。

定理1［S_9］2n階J-自伴微分算子T在一端奇異情況下的豫解算子（T-λI）-1是一個積分算子。其形式為：

其中

d為最小算子T0的虧指數。

證明過程見文獻［S］定理2。

定理2若（1）式的系數滿足（Ⅰ）（Ⅱ），定義域滿足引理2，則由

J-自共軛擴張所生成的算子T是一個J-自共軛算子。如果對于復數λ，方程（4）在L2［0，∞）中的線性無關解的個數小于其最小算子T0的虧指數，則這個值λ屬于算了T0的連續譜；如果對于復數λ，方程（4）在L2［0，∞）中的線性無關解的個數等于算子T0的虧指數，則這個值λ屬于算了T0的離散譜。

證明由引理1和引理2知算子T是一個J-自共軛算子，且其最小算子T0虧指數為n。由定理1知（4）式的豫解算子為，其中，

n為最小算子T0的虧指數，它是以G（x，ξ，λ）為核的積分算子，對區間［0，∞）中的一切x，任意固定的ξ，當x＞ξ時，核G（x，ξ，λ）為L2［0，∞）中的y1（x），y2（x），y3（x），…，yn（x）的線性組合，即λ）［hk（ξ）+k（ξ）］，由引理4知當λ∈［0，∞）時，方程（4）在L2［0，∞）中的線性無關解的個數只為n-1，小于算子T0的虧指數n，所以y1（x），y2（x），y3（x），…，yn（x）中只有n-1個屬于L2［0，∞），有yk（x）?=∞，所以在這種情況下，其豫解算子是無界的，由定義2知這時λ的值屬于算了T0的連續譜。當λ∈C-［0，∞）時，方程（4）在L2［0，∞）中的線性無關的解的個數為n，等于算子T0的虧指數n，這時y1（x），y2（x），…，yn（x）∈L2［0，∞），故

所以在這種情況下，其豫解算子是有界的，結合引理3這時λ的值應屬于算了T0的離散譜。

推論1［10］若（1）式的系數是區間（a，b）上可測的實函數，且在它的每一個有限閉子區間［α，β］中可積的，對于復數λ，方程l（y）=λy在L2（a，b）中的線性無關解的個數小于算子L0的虧指數，則這個值λ屬于算子L0的譜的核，因此，如果這個值λ不是算子L0的特征值，則它屬于L0的所有自共軛擴張譜的連續部分。如果端點a或端點b中之一是正則的，那么，后者總是成立的。

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Resolvent Operator and Spectrum Analysis of the 2n_order J_self_adjoint Operator

QIAN Zhixiang
（DePartment of Basic Education，Zhaoqing Science and Technology Polytechnic，Zhaoqing 526100，China）

Based on the asymPtotic exPression of the solution of 2n order linear differential equation who has integrable Plural coefficients functions，the number of square integrable solutions and the deficiency index of theminimum oPerator of2n order differential equation with comPlex coefficients are discussed.Then，the ProPerties of the resolvent oPerators are used to study the sPectrum of the 2n_order J-self_adjoint differential oPerator.An imPortant conclusion that the ProPerty is similar to that of the real coefficients J-symmetric differential oPerator is obtained.

differential oPerator；J-self_adjoint differential oPerator；resolvent oPerator；sPectrum analysis

O175.3

A

1673_1549(2014)02_0091_05

10.11863/j.suse.2014.02.20

2013_11_29

廣東省高層次人才培養項目（9251064101000015）

錢志祥（1974_），男，安徽巢湖人，講師，碩士，主要從事沒微分算子理論方面的研究，（E_mail）qzx20062006@126.com