汽車單葉片真空泵設計中的最優(yōu)橢圓曲線

林 希，李小光

(1．西安航空學院 理學院，陜西 西安 710077；2.西安航空學院 黨委(學院)辦公室，陜西 西安 710077)

1 前言

單一片真空泵由于結(jié)構(gòu)簡單生產(chǎn)成本低被廣泛地應用在現(xiàn)代汽車剎車助力系統(tǒng)中。圖1為單葉片真空泵的基本結(jié)構(gòu)。葉片兩端通常為圓柱面。當轉(zhuǎn)子被驅(qū)動旋轉(zhuǎn)時，葉片將隨轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)并同時作徑向滑動，葉片兩端柱面理論上必須保持和泵體內(nèi)腔面相切以形成線接觸密封。因此，單葉片真空泵泵體內(nèi)腔曲面的投影是一條特殊設計的封閉曲線。工程計術(shù)人員在設計單葉片真空泵時，其主要任務之一就是尋找一條滿足上述要求的曲線。在設計時，通常是先確定葉片密封柱面中心的軌跡，實際泵體內(nèi)腔形線則是葉片端面圓的包絡線。葉片密封柱面中心的軌跡一般由一段參考曲線和一段生成曲線組成。當轉(zhuǎn)子逆時針旋轉(zhuǎn)時，葉片密封柱面中心點A將沿著參考曲線運動到點B的位置，點B的軌跡形成生成曲線。顯然點A和點B是封閉曲線的兩個連接點。為了保證真空泵平穩(wěn)運行，封閉曲線在點A和點B處至少是一階連續(xù)的。參考文獻[1]已顯示圓弧或橢圓曲線均可用作設計中的參考曲線。然而，一般的橢圓曲線僅能保證在連接點處是一階連續(xù)的。亦就是說，葉片的徑向滑動速度是連續(xù)的但徑向滑動的加速度則不一定是連續(xù)的。由于加速度的不連續(xù)會引起力的沖擊而導致振動和噪聲。因此，理想的情況是找到一條參考曲線使得參考曲線和生成曲線在連接點處不僅是一階連續(xù)的而且是二階連續(xù)的。本文將在橢圓曲線族中尋找一條最優(yōu)參考曲線使得參考曲線和生成曲線在連接點處是二階連續(xù)的。

2 葉片徑向滑動速度和加速度

如圖1所示，假定在設計中，葉片密封柱面中心距L，密封柱面半徑r和轉(zhuǎn)子半徑R 是給定的(設計輸入?yún)?shù))。由于葉片被假定是剛性的，點A和點B的徑向滑動速度和加速度是相同的。因此本文僅給出點A的運動軌跡方程。在圖1所示的坐標系中，當葉片圓弧密封面的中心點A沿參考曲線運動時， 它的極徑可以用下式表示：

ρA(θ)=g(θ) 0θπ

(1)

式中g(shù)(θ)是給定的參考曲線，θ為極角。當點A在生成曲線上運行時，它的極徑為：

圖1 真空泵幾何結(jié)構(gòu)

(2)

方程(1)和(2)實際上就是參考曲線和生成曲線的極坐標表示。

葉片徑向滑動速度V和加速度a可以被表示為：

(3)

(4)

式中t是時間變量，ω=dθ/dt是轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)角速度并在設計中被假定為常數(shù)。

顯然，葉片徑向滑動速度和加速度連續(xù)的條件變?yōu)閰⒖记€和生成曲線極徑對極角的一階導數(shù)和二階導數(shù)在連接點處分別相等。對(1)和(2)求導，葉片徑向滑動速度連續(xù)的條件可表示為：

(5)

加速度連續(xù)的條件為：

(6)

當參考曲線g(θ)為一般橢圓曲線時，參考文獻[1]已顯示條件(5)是滿足的。本文將用條件(6)來尋找最佳橢圓曲線。

3 橢圓參考曲線參數(shù)的確定

當橢圓被選作為單葉片真空泵設計中的參考曲線時，橢圓的中心通常被放置在y軸上以得到關(guān)于y軸對稱的封閉曲線。因此，橢圓的直角坐標方程為:

(7)

式中a，b，e為待定參數(shù)。如果用橢圓的半軸比率k=a/b作為一個參數(shù)，方程(7)可被表示為：

x2+k2(y+e)2=k2b2

(8)

由于在y軸方向的橢圓半軸長度b=e+R-r且當y=0時，x=L/2。這些條件代入方程(8)，橢圓偏心距e可以用葉片長度L，轉(zhuǎn)子半徑R,葉片端面圓弧半徑r和橢圓半軸比率k表示為：

(9)

橢圓的偏心距e將決定真空泵的排量。 橢圓半軸比率k為可選任意參數(shù)。對于給定的參數(shù)L，R，r，本文下面將推導出一個最優(yōu)的k值。

參考曲線橢圓(8)的極坐標表示為：

(10)

式中

(11)

(12)

同樣地，對(10)表示的g(θ)求二階導數(shù)并代入連接點的極角值可以得到：

(13)

代(13)進入加速度連續(xù)條件(5)可得如下方程：

k2e2-(k2-1)(R-r)(2e+R-r)=0

(14)

將(9)表示的e代入方程(14)可解得最優(yōu)橢圓的k值為：

(15)

設計時，對于給定的參數(shù)L，R，r，用(15)計算出最優(yōu)k值。將最優(yōu)k值和給定參數(shù)代入(9)式可得參考橢圓曲線的最優(yōu)偏心距e。用所得的最優(yōu)偏心距，參考曲線橢圓在y軸方向的半軸長度b可以被計算。參考文獻[1]已給出了計算泵腔封閉曲線的基本公式。

4 結(jié)語

當橢圓曲線被選作單葉片真空泵設計中的參考曲線時，一般可以保證葉片徑向滑動的速度是連續(xù)的。但是，葉片徑向滑動的加速度卻不一定是連續(xù)的。為了減小振動和噪聲，設計人員總是希望能夠找到可產(chǎn)生二階連續(xù)的泵腔曲線的參考曲線。本文給出了滿足這一要求的橢圓參考曲線。供單葉片真空泵的設計人員在選擇參考曲線時參考。

[1] 林希.汽車單葉片真空泵設計中的數(shù)學理論[J]. 西安航空學院學報，2013 (1)： 79-81.

[2] 何璧生.旋片式真空泵的結(jié)構(gòu)原理和設計計算(上篇)[J]. 通用機械，2003(5)： 31-35.

[3] 何璧生.旋片式真空泵的結(jié)構(gòu)原理和設計計算(下篇)[J]. 通用機械，2003(6)： 22-25.

[4] 楊乃恒.真空獲得設備[M].北京:冶金工業(yè)出版社, 2001.

[5] 張波.FUZZY-PID復合控制[J]. 自動化與儀器儀表，2001 (3) ：21-23.