基于ESO算法的深孔機床多工況拓撲優化*

陰書玉 薄瑞峰 閆帥印 沈興全

(①中北大學機械與動力工程學院，山西 太原030051;②山西省深孔加工工程技術研究中心，山西 太原030051)

床身是深孔機床的重要基礎件，其自身質量和靜動態性能對機床的加工精度和整機態性能均有較大影響。Z8016小直徑深孔鉆床床身的原始結構設計借鑒以往的設計經驗，未充分考慮結構、材料的最優布局及床身的輕量化問題，導致結構粗大笨重，從而直接影響到機床的靜動態特性及加工性能(深孔加工的直線度)。隨著機床向高速化和精密化的發展，傳統的經驗類比設計方法已遠遠不能滿足高性能和輕量化的設計要求。如何在滿足動靜態性能要求的前提下實現其輕量化設計，有著重要的研究意義和應用價值。拓撲優化技術提供了一種很好的解決方案。

國內游小紅等人［1］利用ANSYS軟件對T2120深孔鉆鏜床床身進行拓撲優化，優化后床身低階固有頻率有明顯提高，并達到了減輕其質量的目的。郭媛美等人［2］利用尺寸優化及拓撲優化對外圓磨床床身結構進行設計，在保證機構具有足夠強度和剛度的基礎上，實現了磨床床身設計重量的大幅度下降。但是，以上采用的都是基于變密度法的單工況拓撲優化。相對而言，漸進結構優化(ESO)不僅僅可解決各類結構的尺寸優化，還可同時實現形狀和拓撲優化，無論應力，位移/剛度優化，或振動頻率，都可遵循ESO的統一原則和簡單步驟進行［3-4］。漸進法在優化過程中，單元只會出現刪除或者保留兩種情況，并不會產生類似于變密度法的中間密度這種情況，可以有效提高優化質量，并且容易利用現有的有限元分析軟件實現，具有很好的通用性。

因此，本文首先利用ANSYS的APDL語言進行二次開發，開發了基于應變能準則的多工況結構漸進優化算法，并將其應用于床身的拓撲優化，得到了其最優的材料分布，最終顯著減輕了質量，實現了床身的輕量化設計。

1 基于ESO算法的優化數學模型

ESO算法的優化準則為:逐步去掉結構中的低效材料(單元)，使所獲得的拓撲結構具有更好的承載性能。本文以多工況下允許的最大應變能為約束條件，重量最小化為目標函數，其數學模型表示為:

式中:目標函數F(X)表示結構總重量的最小化;設計變量xi表示第i個單元在模型中是保留還是刪除，即取1或0兩個值;wi為第i個單元的質量;C*表示允許的總體應變能的最大值，即結構總體剛度的最小值;n為單元個數。

結構柔度或者整體應變能的最小化等價于結構整體剛度最大化。

2 基于單元應變能密度的ESO法

2.1 單元應變能密度的公式推導

對于靜力結構問題分析而言，相關的有限元公式如下:

式中:［K］是總剛度矩陣，{δ}是節點的位移矢量，{P}是節點的載荷矢量。結構的總應變能定義為:

從一個由n個有限單元構成的結構中刪除第i個單元，總體剛度矩陣變化量為:

式中:［K*］是刪除第i個單元后結構的總剛度矩陣，［Ki］是被刪除的第i個單元的剛度矩陣。假設刪除第i個單元不影響載荷矢量{P}。忽略高階項的影響，從方程(2)得位移變化量為:

由式(3)、(4)、(5)可得:

式(6)為由于刪除第i個單元而引起的應變能的變化量，也就是單元應變能Ce，即

則單元應變能密度(靈敏度)為:

式中:vi為有限元單元的體積。

2.2 多載荷工況下的單元靈敏度公式

由式(8)可知多載荷下對應各個工況單元的靈敏度可表示為:

式中:{δik}是第k個工況單元的位移向量。

根據文獻［5］，可運用折衷規劃法和功效函數法對多工況下單元靈敏度公式進行分析處理，即表示為:

上述對單元靈敏度公式的處理方法不僅能夠使優化后的結構有效地減輕載荷“病態”現象，而且能夠利用變化的權系數對優化過程進行動態調節。

2.3 多工況下的ESO優化算法步驟

對于各向同性線彈性材料靜力結構優化而言，應變能優化準則的表達式可表示為:

式中:αi是單元應變能密度(靈敏度);αmax是最大的單元應變能密度;RRi為刪除率。

ESO算法原理簡單，即通過將無效或低效的材料一步步去掉，使結構逐漸趨于優化。具體對于本文而言，ESO算法的思想是通過逐步刪除單元應變能貢獻最小的單元，使剩余結構的整體剛度逐步趨于最優化。

在ANSYS平臺上實現ESO優化算法的流程圖如圖1所示。

3 床身的拓撲優化

3.1 床身有限元模型的建立

Z8016深孔鉆床床身為焊接件，床身長5 000 mm，寬416 mm，高870 mm，筋板厚度20 mm，前后壁厚27 mm，其內部筋板結構由7組V型結構的筋板組成。Z8016深孔機床如圖2所示。

床身的材料為HT150，彈性模量為1.5×105MPa，泊松比為0.27，密度為7×10-6kg/mm3。采用Pro/E軟件建立原床身三維實體模型，并將其導入ANSYS中進行計算分析。ANSYS采用智能網格劃分技術對三維實體模型進行網格劃分，單元類型采用soild92，得到148 943節點和75 504個單元。

將床身的上面導軌部分和主軸箱支撐部分設為非設計區域，其他部分定為設計區域。ANSYS中設計區域劃分的單元定為1號單元，非設計區域劃分的單元定為相同材料屬性的2號單元［6］。床身的有限元模型如圖3所示。

3.2 床身的工況條件

床身的工況條件對于其結構拓撲優化設計的結果起著重要的作用。深孔鉆床在切削加工時，主軸電動機功率、進給箱(尾座)相對于床身的位置、切削參數等主要因素影響切削工況。因此，綜合上述的主要因素來確定床身的合理工況如下所述:

(1)極限工況 為確保床身具有良好的靜動性能，選取深孔鉆床重鉆削時相應的極限工況為設計工況。

(2)進給箱位置的加權工況 進給箱相對床身位置的不同會導致床身的受力情況也有所不同。分別選取進給箱運行至床身的最小極限位置、中間位置和最大極限位置，并概率統計鉆床的實際工作狀態，通過引入加權系數來校正進給箱不同位置對床身載荷受力的影響。

綜上所述，床身的典型設計工況為:鉆床在重鉆削條件下即主軸電動機滿載功率時的切削力作為外部載荷;進給箱位于床身的最小極限位置、中間位置和最大極限位置作為3個典型工況。

3.3 床身的載荷和約束條件

床身3個典型工況的約束條件相同。即床身底部通過12個地腳螺栓跟地面連接，故在床身底部連接螺栓處定義全約束，各個方向的自由度為0。施加面約束后如圖3所示。

床身所受載荷主要由兩部分組成:重力和扭矩。即主軸箱、中心架、授油器、進給箱等的重力，以及由切削力轉化而成的扭矩。將位于床身導軌上主要部件的重力等效為面載荷進行施加，由主要部件相應位置的平軌和V型軌上各平均承受總重力的一半［7］;切削加工時，床身所受的扭矩同樣等效為面載荷施加在支撐主軸箱和進給箱的導軌面上，施加載荷后如圖4所示。

3.4 床身的ESO方法優化結果

選取基于應變能準則的單元初始刪除率為RR0=1%，進化率為ER=1%［8］，通過上述基于ESO法的多工況結構拓撲優化最終獲得良好的拓撲優化圖樣，即刪除率為RR=25%的結構穩定狀態，如圖5所示。

從圖5所示可以看出，床身的材料主要集中分布在受力的導軌和工作臺支撐部分的下側以及進給箱(尾座)經常工作的床身區域部位。

為了更加形象地展示拓撲優化中床身的變化情況，因此繪出了床身的進化歷程曲線，如圖6所示。

從圖6a可以看出:在刪除率達到17%后體積減小的速度變緩慢;刪除率從25%到27%的過程中，體積比基本不變，即也說明了拓撲形狀不再發生變化;當刪除率到達28%時，計算終止;最后拓撲結構體積為原體積的46%左右。

圖6b中D表示3種工況中最大與最小應變能密度比值的平均值。從圖6b中可以看出:lg(D)的值隨著刪除率的增加而逐漸降低到1.8，即最大與最小應變能密度比值逐漸減小到優化解時的101.8。這充分說明了最大與最小應變能密度的差距顯著減小，床身取得了良好的優化效果。

4 床身的重構設計

根據拓撲優化結果即圖5以及制造工藝，對原床身有以下改進措施:(1)在床身兩側壁上開孔［9］。(2)筋板上圓孔的直徑由原來的100 mm變為200 mm。(3)下底板厚度由原來的25 mm變為18 mm并在其上開4個圓形孔，圓孔直徑為350 mm。(4)合理地分配筋板數目，即減少床身前端部分的筋板數，增加支撐主軸箱部位的筋板數。經過反復的分析與驗證確定新床身的結構如圖7。

利用有限元法分別對原床身結構和優化后的結構進行靜力學分析以及模態分析，優化前后床身的性能對比如表1所示。

表1 優化前后床身靜動態性能和重量的比較

由表1所示:優化后床身的低階固有頻率有所提高，且遠離工作頻率，不會發生共振現象;最大變形量、最大等效應力都有所減小;最重要的是床身整體質量減小了14.47%。

5 結語

(1)借助ESO算法實現，利用APDL語言對ANSYS單元生死功能進行二次開發，實現了多工況下基于應變能準則的漸進結構優化算法。

(2)運用上述基于ESO法的多剛度拓撲優化算法，對深孔鉆床床身進行了多工況下的結構拓撲優化設計，獲得了良好的拓撲結構。在保證滿足工作要求的前提下，其靜、動態性能均有所提高，質量顯著下降，節約了制造成本，實現了床身輕量化設計。

(3)本文的優化結果對床身的進一步尺寸優化和設計提供了參考模型，同時，該設計方法對機床其它部件的改進有一定的參考意義，有利于降低深孔機床的設計成本，具有較好的工程應用價值。

［1］游小紅，薄瑞峰.深孔鉆鏜床床身的有限元分析及拓撲優化［J］.組合機床與自動化加工技術，2013(1):96-98.

［2］郭媛美，郭春星，陳葉林.外圓磨床床身結構的拓撲優化設計［J］.精密制造與自動化，2010(1):39-41.

［3］Chu D Nha.，Xie Y M，Hira A，et al.Evolutionary structural optimization for problems with stiffness constraints［J］.Finite Elements in Analysis and Design，1996，21(4):239-51.

［4］Zuo Zhi Hao，Xie Yi Min，Huang Xiaodong.Evolutionary topology optimization of structures with multiple displacement and frequency constraints［J］.Advances in Structural Engineering，2012，15(2):359-372.

［5］羅震，陳立平，張云清，等.多工況下連續體結構的多剛度拓撲優化設計和二重敏度過濾技術［J］.固體力學學報，2005，26(1):29-36.

［6］張朝暉.ANSYS12.0結構分析工程應用實例解析［M］.3版.北京:機械工業出版社，2010.

［7］段朋云，丁曉紅.機床T型床身結構的筋板布置型式研究［J］.機械設計，2013，30(5):71-74.

［8］范文杰，徐進永，張子達.基于雙向漸進結構優化法的裝載機動臂拓撲優化［J］.農業機械學報，2006(11):30-33.

［9］倪曉宇，易紅，湯文成.機床床身結構的有限元分析與優化［J］.制造技術與機床，2005(2):47-50.