一種變步長NLMS-OCF算法的研究

李 茹，張 駿，智永鋒

（西北工業大學 自動化學院，陜西 西安 710072）

一種變步長NLMS-OCF算法的研究

李 茹，張 駿，智永鋒

（西北工業大學 自動化學院，陜西 西安 710072）

為了提高自適應濾波器的性能，提出了一種變步長的NLMS-OCF算法，直接將投影誤差范數通過指數函數的映射得到平滑因子，進而對步長進行控制。仿真結果表明，相對于傳統的NLMS-OCF算法，改進的算法獲得了更好的收斂速度和穩態誤差。

自適應濾波器；NLMS-OCF算法；變步長；收斂速度；穩態誤差

歸一化最小均方(Normalized Least Mean Square,NLMS)算法由于其低運算量和易于實現而得到了廣泛的應用。然而，對于高度自相關的輸入信號，此算法的收斂速度表現出了明顯的下降。仿射投影算法（Affine Projection Algorithm,APA）通過重復的利用過去的輸入信號很好地解決了上述問題[1-2]。但是步長的選擇會影響算法收斂速度和失調量之間的關系，傳統的NLMS和APA算法利用定步長很難找到快收斂和低失調之間的平衡點，因此需要使用變步長來進行調整。文獻[3]通過最小化每次迭代的均方偏差獲得NLMS算法的最優步長。文獻[4]提出了一種變步長的APA（Variable Step-size Affine Projection Algorithm, VS-APA）算法，該算法獲得了比較高的估計精度，但是收斂速度相對緩慢。文獻[5]提出了一種基于時變平滑因子的VS-APA（Variable Step-size Affine Projection Algorithm With Variable Smoothing Factor,VS-APA-VSF）算法，該算法利用投影誤差向量的范數作為判斷優化距離的準則，但是它需要根據投影誤差范數的變化趨勢確定“觸發點”，增加了實現的復雜性。文獻[6]提出了一種基于指數型平滑因子的VS-APA（Variable Step-size Affine Projection Algorithm With Exponential Smoothing Factors,VS-APA-EXP）算法，該算法將投影誤差范數通過指數函數的映射直接得到平滑因子，實現更為簡單。因此，為了提高NLMS-OCF[7]算法的性能，需要對步長進行控制，本文通過對NLMS-OCF算法迭代步長的研究，提出了一種變步長的NLMS-OCF(Variable Step-size Normalized Least Mean Square Algorithm With Orthogonal Correction Factors, VS-NLMSOCF)算法。

在本文中，將采取下列符號記法：||. ||表示歐幾里得向量范數，(.)T表示一個矩陣或者一個向量的轉置。標量是用小寫字母或者大寫字母表示，所有的向量都是列向量并用小寫黑體字母表示，矩陣是用粗體大寫字母表示。

1 NLMS-OCF算法

圖1 自適應系統辨識Fig. 1 Adaptive filter in the system identification mode

對于k=1,2,...M，重復步驟(6)-(9)

從步驟（3）和（8）中可以看出，NLMS-OCF算法是采用定步長的，利用定步長很難在收斂速度和失調之間進行均衡，為了解決這個問題，在下一節中，提出了VS-NLMSOCF算法。

2 VS-NLMS-OCF算法

文獻[4]中提出的VS-APA算法采用變步長策略，可變步長為：

其中μmax∈(0,2)，C是一個正數，可被近似為1/SNR，SNR為信噪比，pk是投影誤差向量的估計，當||pk||2的值越大時，μk越接近于μmax，反之μk越接近于 0，即μk介于 0 與μmax之間。

當延遲因子設置為1時，APA和NLMS-OCF算法的權值更新是相同的[7]，因此，這種變步長策略同樣適用于NLMSOCF算法，但是VS-APA算法采用固定的平滑因子，很難在收斂速度和失調之間進行均衡，本文通過對NLMS-OCF算法的研究，提出了一種變步長的NLMS-OCF算法，即用投影權值誤差向量的范數通過指數函數的映射得到恰當的平滑因子，該算法實現簡單，平滑因子α和||pk||2的關系如下：

其中，αk表示第k次迭代的α值，exp(.)代表指數函數。αk介于0和1之間，當||pk||2越大，αk越接近于0，反之，αk越接近于1。因此，這種指數更新策略滿足算法對平滑因子的要求。

因此，將基于指數型平滑因子的變步長思想應用到NLMS-OCF算法中，其中（3）式可改為：

（8）式可改為：

相應地，（10）式可改為：

3 仿真結果

本部分，在MATLAB中分別將NLMS-OCF算法和VSNLMS-OCF算法進行了仿真比較，分析了兩者的仿真結果。這兩種算法的仿真結果的均方誤差學習曲線是通過對100個相互獨立的學習曲線求平均值而得到的。其中，維數N=32，μmax=1，p0=IN×1。

示例1：考慮表達式為xn=-0.95xn-1-0.6xn-2+zn的高度相關的輸入信號模型，其中zn為均值等于0的高斯白噪聲信號，正交校正因子M=2。從圖2中可以看出，相比較于NLMSOCF算法（步長分別設置為0.1、0.5、1），VS-NLMS-OCF算法表現出了比較好的收斂速度和穩態誤差。從圖3中可以看出，常數C值的變化（當C分別設置為0.000 1、0.000 5、0.000 01）對VS-NLMS-OCF算法的收斂速度影響不是很大，其中，C的變化為一個數量級。

圖2 均方誤差學習曲線比較Fig. 2 Leaning curve of mean square error

圖3 均方誤差學習曲線比較Fig. 3 Leaning curve of mean square error

圖4 均方誤差學習曲線比較Fig. 4 Leaning curve of mean square error

示例2：考慮表達式為xn=-0.95xn-1-0.6xn-2-0.3xn-3+zn的高度相關的輸入信號模型，其中zn為均值等于0的高斯白噪聲信號，正交校正因子M=3。從圖4中可以看出，相比較于NLMS-OCF算法，建立的算法獲得了較好的收斂速度和穩態性能。

4 結 論

針對NLMS-OCF算法中的定步長問題，文中提出了變步長的NLMS-OCF算法，用投影權值誤差向量的范數通過指數函數的映射得到平滑因子，其與定步長的NLMS-OCF算法相比，改進的算法具有更快的收斂速度和更小的穩態誤差，提高了自適應濾波器的濾波性能。

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Research on a variable step-size Normalized Least Mean Square algorithm with orthogonal correction factors

LI Ru, ZHANG Jun, ZHI Yong-feng
（Department of Automatic Control,Northwestern Polytechnical University,Xi'an710072,China）

To improve the performance of the adaptive filters, this paper presents a variable step-size normalized least mean square algorithm with orthogonal correction factors, which uses an exponential function to obtain proper smoothing factors from the projected error norm. Simulation results show that the proposed algorithm is superior in terms of convergence rate and estimation error compared with traditional NLMS-OCF algorithm.

adaptive filters; NLMS-OCF algorithm;variable step-size; convergence rate;estimation error

TN713

A

1674-6236(2014)07-0132-03

2013-08-01稿件編號201308020

國家自然科學基金資助項目(61201321)

李 茹(1987—)，女，河北石家莊人，碩士研究生。研究方向：數字通信與信號處理。