高等數學中幾個概念的引入

左占飛 黃怡民

（1.重慶三峽學院數學與統計學院，重慶萬州 404100）

（2.重慶三峽學院化學與環境工程學院，重慶萬州 404100）

1 前 言

高等數學是高等院校理工和經濟類等專業的基礎必修課，如何讓學生盡快理解其相關的概念，并將其應用到自己的專業中，是提高高等數學教學質量的一個重要環節.現行的教材大多沒有經過教學法的加工，僅從經典教程出發，經過改編，形成一個包含符號演算、邏輯推理、與現實乃至應用毫不相干的內容體系，如果在教學中不經任何加工，照本宣科，就容易導致學生在學習數學時感到枯燥，對數學知識的前因后果沒有感性認識，更看不到數學的應用在哪里，從而使學生失去了對數學學習的興趣.為更好地讓理工和經濟類的學生掌握這門課程，我們應該把握“數學為本，專業為用”的原則，盡可能地結合實例模型進行教學.本文通過高等數學中幾個概念的引入過程，來探討如何將抽象的數學概念形象化和實用化.

2 幾個數學概念的引入

2.1 極限概念的引入

極限概念是高等數學課程中一個非常重要的概念，它是研究函數性質的重要方法，也是后面微分學和積分學的基本推理工具.因此，極限概念的學習應該是高等數學教學中的一個重點，也是學生在學習過程中的一個難點，因為教材中的極限概念，一般都是采用形式化的語言來敘述，非常抽象，初次接觸的學生往往感覺非常吃力進而產生畏難情緒，長此以往，勢必會影響整個數學課程的學習效果，乃至影響到整個大學階段的學習質量.因此，在教學過程中，如何引入極限慨念，讓抽象的概念生活化就顯得尤為重要.在長期數學公共課程的教學實踐中，我們發現對于理工和經濟類專業開設的高等數學，運用極限實例模型來引入極限慨念，學生反映效果不錯，下面就用幾個實例模型來闡述極限慨念的引入.

當把兩個學生的思路用板書展示后，全班學生都鼓掌表示證明方法很巧妙，課堂的氣氛變得很熱烈，大家都被數學中的運算魅力所折服，但還是有部分同學對上述的結果表示難以置信，雖然9在增多，但和1還是有差距，不會相等.當然主要的原因就是大家還沒有學習極限的定義，此時需趁熱打鐵，從上述的例子引出數列極限的問題.首先上面兩個問題的共同思路都是把循環小數的問題轉化成了分數是大家熟知的結論，然后通過乘法的性質得到了相應的結論.但是我們也看出循環小數稍微復雜一些，再轉化成分數就會變得很困難，這也是為什么大家不能很快得到的原因.而且循環小數有無數個，我們能不能想到更一般的思路，把所有的循環小數轉化成分數呢？我們換一種方法重新考慮上述例題：

提示上面是一個等比數列的和，不過有無限項，可以先求前n項，學生容易求得前n項和再讓n→∞，大部分學生都猜測到也可得到初看起來學生覺得這種方法不如上面的方法簡單，但是通過布置例題，例如把轉化為分數（還可以舉一些更復雜的例子

學生很快就會發現上面方法的普遍性，并且也體會到了極限（上面的公比是0.01，所以0.01n→0）的妙用，從而為順利引進極限奠定了基礎.當然體現極限思想的實例還有很多[1]，如：莊子之錘、芝諾悖論、劉輝割圓術，大家可以根據自己的情況，通過軟件的繪圖功能和多媒體進行輔助教學，把抽象的概念通俗化、實用化，中間再講一些有關數學家的趣聞軼事，往往會達到很好的效果[2][3][4].

引入數列極限概念后，對于非數學專業的學生，重點應該是如何計算常見函數的極限，其中兩個重要極限（離散和連續的情形）的計算應該是一個重點.不過現行的高等數學教材，對于兩個重要極限的處理，往往都是運用夾逼準則推導出極限，然后就直接開始用重要極限來做題，學生雖然能照著葫蘆畫瓢進行機械的計算，但總覺得這些例題只是一些技巧，并沒有很大的實際用途，因此我們在引入這部分內容時，還是要用生活化的例子來闡述，才能讓學生覺得我們的數學概念不是無源之水.

運用劉輝割圓術的思想，不妨假設上面圓的半徑是R，三角形OAB是內接正n邊形的一個三角形，所以因為用到的都是初等幾何的知識，所以大部分同學運用三角形求積公式很快得到則正n邊形的面積為要想得到圓的面積，必須讓內接正n邊形的邊數逐漸增多，即n→∞，所以同學們很快就會發現要想求出面積，他們不得不面對一個新所以的極限而且這個極限屬于待定式型，用前面學習的方法求不出來，但可猜測到(因為圓的面積是πR2)，這樣讓學生帶著問題再來看類型的重要極限就會變得非常有趣和自然.

2.2 導數概念的引入

關于導數的引進方法，現行的教材一般采取了變速運動的瞬時速度問題和曲線切線的斜率的求法，這兩個例子雖然在歷史上和導數的產生關系非常密切，但是對于剛剛接觸微積分的新生來看，理論背景顯得很重要.為了容易理解概念，我們還是用實際的例子，利用學生的好奇心，激發他們的學習興趣.例如，可以在網上找一些簡短的視頻，內容是跳水夢之隊比賽的精彩瞬間，引發學生討論，數學課上為什么會出現體育的場景？場景創設完畢后，就要在這個場景中找出數學的問題，提示如果不考慮空氣的阻力，運動員的跳水運動符合高中物理中的哪個運動規律，大部分同學都會想到物體的自由落體運動，然后老師就馬上讓同學把這個運動的數學表達式寫出來其中s，g，t分別表示位移，加速度和時間.然后老師又繼續提問，那么運動員的速度隨著時間又有什么變化呢？比如運動員在入水的一瞬間，速度是多少？有少數同學（物理基礎不錯的）會說v=gt，老師又繼續追問這個公式是怎么推導出來的呢？能否用公式v=s/t來計算呢？（學生說不能）此時學生會發現平時的計算公式只是一個平均速度，但現實生活中還有很多瞬時速度的問題，還沒有解決，老師再讓學生多舉一些例子，然后就把這些瞬時的變化率問題歸結成我們今天要講的導數.這樣的一個講解過程在理工專業學生中效果比較好，既通俗又實用.

但是上述方法對于經濟類專業的學生可能效果就沒這么明顯，因為他們對一些物理學的知識并不是很擅長，所以應盡可能地結合經濟實例進行教學，因此可以選取下面的例子來引入[7].給同學們設定角色，是某輛長途汽車的售票員，制定的票價為60元.現在車上已經有38位乘客，突然在開車之前趕來一名乘客，可能是由于倉促，這名乘客帶的錢不夠，他想以40元的價格上車，作為售票員的你答應嗎？這里只是從盈利的角度來考慮問題，不涉及到其它情況.假設車輛單程所需的固定成本為1 000元，而且會給每位乘客食物和飲料，成本為每人10元.

解決這個問題，需要讓學生充分發揮獨立解決問題的能力，給出答案.學生的答案肯定會有所不同，有的認為60元票價他只給40元，會虧20元，所以不能讓他上車；有的還會去計算到目前為止每位乘客的平均成本，然后來衡量40元是否夠這個平均成本……梳理完學生的答案后，教師就要引導學生進入更為準確的思路：這次交易中增加最后一位乘客，使得營運的總成本只是增加10元，但卻使得營運的總收益增加40元，因此增加的收益大于增加的成本，所以應該讓這位乘客上車.許多同學會有一種頓悟的感覺，也再一次讓學生認識到數學知識的應用其實就在我們身邊，需要大家多去思考和觀察.然后教師再趁熱打鐵，提出上述問題其實就是經濟學中的邊際分析過程，指經濟函數自變量在某個值的基礎上再改變一個單位時，因變量的變化率，從而引出導數的概念.

2.3 定積分概念的引入

定積分是高等數學的一個重要概念，也是絕大多數理工類和經濟類學生覺得最難理解的概念之一.現行的教材，不管是高等數學還是經濟數學在講解定積分時，都采用了求曲邊梯形的面積或物理學中變速直線運動物體在一段時間走過的距離兩個例子，然后運用數學分析中經典的方法：分割、近似代替、做和、求極限四個步驟給出定積分的精確定義.這樣的教學過程不僅給出了定積分直觀的幾何、物理模型，也從理論層面歸納出了定積分的精確定義，體現了從實踐上升到理論的科學發展過程，對數學專業的學生是很好的引入方法.但這種方法對于非數學專業的同學來說，理論性太強，比較抽象.在公共基礎課的教學中，我們應根據不同的授課對象，采取不同的引入方式.

對于理工類的學生，物理學的基礎還是可以，所以完全可以采取物體的自由落體運動問題，不過要把問題反過來設計，首先知道了瞬時速度v=gt，怎么算出在一段時間內走過的距離，能否直接采用s=vt？如果不行，應該怎么計算？

對于經濟類的學生，應結合經濟實例進行數學教學，將定積分的知識、方法應用于經濟問題中，而不是只進行一些抽象公式的推導.因此可選取一些經濟學中常見的函數，比如設某種商品的價格函數為P=18-Q/6（問學生為什么是減函數），其中p為價格，Q為銷售量，求銷售量從16個單位增加到20個單位時的收益為多少？問學生能否用銷售量直接乘以價格來算收益？如果不行，應該怎么辦？

上面例題講解的過程盡量采取開放式的教學[8]，通過不斷地提出問題、分析問題、解決問題，使學生帶著問題學習，在分析和解決問題的過程中學習新知識，從而激發學生的學習興趣，順利的引入我們的新概念.

3 結 語

通過實例模型來引入數學中的抽象概念[1]，既摘掉了數學概念抽象冰冷的面紗，又增加了學生學習的興趣，讓學生從實例中學到了新知識，認識到數學在日常生活中的應用，從而為非數學專業后續內容的教學實施提供了很好的借鑒.

[1]吳明海.極限實例模型與未定式極限[J].理科考試研究，2013（4）：6-7.

[2]左占飛.大學數學教學中應加強數學史的教育[J].三峽高教研究，2010（6）.

[3]左占飛.數學軟件在高等數學教學應用中的一些體會[J].電腦知識與技術，2012（8）：7311-7313.

[4]左占飛.Mathematica軟件在高等數學教學中的應用[J].考試周刊，2012（62）：75-76.

[5]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2006.

[6]吳傳生.經濟數學—微積分[M].北京：高等教育出版社，2003.

[7]高婷婷，張明會.數學分析中幾類基本概念及其否定概念的邏輯結構[J].重慶三峽學院學報，2013（3）：23-28.

[8]鄭飛，李逢玲.開放教育中《經濟數學基礎》課程的教學探討[J].教育教學論壇，2012（38）：111-112.