斯澤古定理的歷史研究
2014-07-18 12:07:49王全來
純粹數學與應用數學 2014年1期
王全來
(天津師范大學算機與信息工程學院,天津300387)
斯澤古定理的歷史研究
王全來
(天津師范大學算機與信息工程學院,天津300387)
探討冪級數在收斂圓上的行為表現是函數解析開拓的一個重要問題,“具有有限多個不同系數的冪級數”是其研究的重要一類,斯澤古定理即是該類級數研究的一個重要成果.文章基于原始文獻,利用歷史分析和比較的方法,探討了斯澤古定理提出的思想背景,法都猜想是其重要的思想來源,詳細分析了該定理的形成過程及進一步的發展,對深入理解斯澤古定理的發展歷史具有重要作用.
詹逖生;解析開拓;法都猜想;斯澤古定理
探討冪級數在其收斂圓周上的行為表現是函數解析開拓理論研究中的一個重要課題.具有有限多個不同系數的冪級數的斯澤古定理即是其研究的重要成果之一.關于該定理盡管散見于一些數學理論著作中[1-2],但缺乏從歷史角度對該定理的歷史做出深入分析.除此之外,國內外也尚未見到關于該定理歷史的研究文獻.鑒于此,本文基于原始文獻,依據歷史分析和比較的方法從數學史的角度對具有有限多個不同系數的冪級數的斯澤古定理的歷史進行研究,以補現有文獻之不足.文章首先分析了該定理提出的歷史背景,法都猜想是其重要的思想來源;其次深入分析了該定理的歷史發展過程.詹逖生、波利亞、卡爾松和斯澤古等人先后以同樣的論文題目《具有有限多個不同系數的冪級數》發表了自己的研究成果.文章對他們的思想方法進行了探討.最后探討該定理的進一步發展.
1 斯澤古定理提出的思想背景
三角級數是級數理論研究中的一個重要內容,傅里葉為其做出了重要貢獻.他在其著作《熱的解析理論》中指出,任意有界的在上定義的函數可以展開形如:的三角級數,其中
但是,傅里葉對于函數、積分的概念十分模糊,更沒有收斂的觀念.文獻[3]第一次給出給定函數的傅里葉級數收斂并且收斂到本身的充分條件,從而給傅里葉分析奠定了嚴格基礎.文獻[4]進一步發展了傅里葉級數理論,并刻畫了可用三角級數表示的函數特征.
A0+A1+···+An+···,其中An=ancosnx+bnsinnx級數發散,則總能改變某些An的符號得到一個新級數,在任何區間內存在發散點.利用在區間的點列對此進行證明,并指出泰勒級數以收斂圓為割線,其中他在該文最后猜想,“對于一個泰勒級數的某些系數乘上,總可以得到一個新級數使其以收斂圓為割線,至少當系數滿足此頁的條件(即上面的條件)時.并且在所有情況下均可發生這種情況.”但可惜的是,法都沒有給出證明.正是這一猜想開創了“具有有限多個不同系數的冪級數”理論研究的先河.應當指出,“在所有情況下均可發生這種情況”,從概率角度看,其概率為1.這正是文獻[6]的注記中用概率語言強調的“泰勒級數一般以收斂圓為割線”的命題.該命題直到1929年由文獻[7]從概率角度給出明確證明.
文獻[8]沿著黎曼的思路對法都定理進行了證明.文獻[9]又通過構造輔助函數的方法也進行證明,此法比上法簡單.盡管如此,并沒有對法都猜想進行證明.
關于法都猜想,首先意識到的是胡爾維茨和波利亞.他們在文獻[10]中,對法都猜想進行了證明.波利亞采用聚點法對法都猜想進行證明,而胡爾維茨則給出了另外一種證明方法.他的證明方法如下.設級數P(x)=a0+a1x+a2x2+···+anxn+···收斂半徑為1.構造新的級數:
Q(x)=an1xn1+an2xn2+···+anχxnχ+···,
系數anχ全部非0,且滿足條件中只出現一次.令
Pε(x)=P0(x)+ε1P1(x)+ε2P2(x)+···+εχPχ(x)+···,
其中ε1,ε2,···,εχ,···只取兩個值1和?1.他猜想級數Pε(x)中至少存在一個,其單位圓為自然邊界,并用反證法證明了該結論.正是這篇文章深深影響了詹逖生,并由此開始了“具有有限多個不同系數的冪級數”的理論研究.
2 斯澤古定理的歷史發展過程
文獻[11]對法都猜想繼續研究,其主要貢獻是研究只有有限多個不同系數的冪級數,并把上述提到的冪級數作為特例.詹逖生對斯澤古定理的形成做出了奠基性工作.
他在該文分五部分對此問題進行討論.在第一部分給出極點定理,設函數展成的冪級數只具有有限多個不同的系數,且在收斂圓上只有一個極點,則f(x)是具有單重極點的有理函數.系數組(am,···,am?k)的性質在該定理的證明中起到了關鍵作用.在第二部分給出本性奇點定理,設由級數表示的函數f(x)只具有有限多個不同的系數,有一個奇點η,且在整個平面內單值,則η是一個單位根,且f(x)以η為單重極點.Wigert定理為其證明的重要依據.為了證明主定理和冪級數系數的符號變化定理,他在第三部分把系數組(am,···,am?k)的討論推廣到數組(a1,···,am)性質的討論,并給出3個相應的輔助定理.
輔助定理2.1在實數系a1
輔助定理2.2設由有限多個數x的正冪和負冪構成的數組,當由x的k1,k2,···,km次冪構成的數組中,所得結果或者是單位根,或者至少出現兩次,則x是單位根.
輔助定理2.3設存在一任意數組[z1,z2,···,zn],在輔助定理2.2假設下,zv是單位根.
他關于數組(a1,···,am)性質討論對其后斯澤古研究該問題有重要影響.
詹逖生在該文的第四部分給出了主定理,也是本文要說明的論點.設只有有限多個不同的系數,用其表示的函數f(x)在單位圓上只有有限多個奇點,且f(x)在一個稍大的圓內是單值的,則f(x)是具有全部單重極點的有理函數,極點即為單位根.他給出的證明如下.由前面定理和輔助定理知,f(x)是在圓|x|=1上只具有單位根的奇點.設m為正素數,則對于一切奇點是一個素的m階單位根,則m個函數中的每一個具有有限多個不同系數,且在單位圓上只有奇點1,而在稍大的圓內單值.
故對于f(x),可有形式多項式+多項式1?xm.
詹逖生的主定理后經其他數學家的努力,使該定理條件和結論更加豐富完善,證明方法更為多樣化.
詹逖生在該文第五部分給出了冪級數系數的符號變化定理,并依據上面給出的3個輔助定理進行了證明.設級數通過系數的符號變化得到,且由這兩個級數表示的函數在收斂圓上只具有孤立奇點,且在一個稍大的圓內單值,則一個函數在收斂圓上的每個奇點等于另一個函數在收斂圓上奇點與單位根相乘.詹逖生在該文文末指出,在收斂圓上給定的奇點,即在給定的前提條件下,其系數存在一個周期性的符號變化,則其在收斂圓上的奇點可以由此定理推導出.這個結論對其后的波利亞研究該問題有重要影響.
詹逖生和波利亞在數學上有很深的交流,他把這篇論文的設計以通信方式告知了波利亞,因此其思想首先影響到了波利亞.波利亞繼續研究該問題,并以另外一種方法得到了詹逖生的主定理.
波利亞在文獻[12]中指出,他將以新的方法對詹逖生的論文結果給出依據.在注腳處,他指出,“詹逖生把他的結果以友好的書面方式告知了我,可惜由于交通困難,我既不能了解其證明的細節,也不能查看他的論文的確定文本.我以不完全的方法引用其文還請見諒”.波利亞在該文中得到如下結果.設無窮多項序列:
(1)b0,b1,b2,···,bn,···只有有限多個互不相同;
進一步假設兩個冪級數:
(2)a0+a1z+a2z2+···+anzn+···,
(3)a0b0+a1b1z+a2b2z2+···+anbnzn+···,
在單位圓|z|<1內收斂,在圓周|z|=1上只有有限多個孤立奇點,在每個鄰域內表示的函數單值,則在圓周|z|=1,(3)的奇點一定可由(2)的奇點與單位根相乘得到.在上述假設下,再補充則序列(1)從某項開始是周期的.當序列(1)從某項開始是周期的,則冪級數b0+b1z+···+bnzn+···是一個只具有簡單極點的有理函數,極點即為單位根(E. Landau在1903年解決了“當一個具有有限多個不同系數的冪級數表示一個有理函數時,則從某項開始系數列是周期”的問題).
他采用Wigert定理,阿達瑪奇點乘積定理和有理數逼近任意數的方法對上述定理進行了證明.
波利亞在該文最后指出,當冪級數b0+b1z+···+bnzn+···只有有限多個互不相同的系數,且系數不具有周期性,則b0+b1z+···+bnzn+···不滿足代數方程,且也不滿足線性微分方程的Fuchs類.他利用Wigert定理和反證法證明了該結論.
詹逖生和波利亞的論文出版促使卡爾松關注該問題(應當指出的是,卡爾松已經在1917年《論對于整系數的插值函數和整值函數》中涉及到了斯澤古定理,但當時只是把該定理作為輔助定理使用).在前人基礎上,卡爾松在文獻[13]中繼續研究該問題,并得到了如下一些定理.
定理A設f(x)是具有收斂半徑大于等于1的冪級數,在弧的每個點處(包括端點)正則,ε(n)表示隨趨于0的收斂函數,當對任意的n,前n項系數中的n(1?ε(n))個只取有限個不同的值,則一定有f(x)其中c是一個常數,g(x)是收斂半徑大于1的冪級數.
定理B是收斂半徑大于1的冪級數,在單位圓|x|=1上只有有限多個奇點,當對任意的n,前n項系數中的n(1?ε(n))個只取有限個不同的值,則一定有其中P(x)是一個多項式,m是一個整數,g(x)是收斂半徑大于1的冪級數.
定理C序列a0,a1,···,an,···只含有限多個不同的值,序列從某項起是周期的,充要條件是冪級數f(x)只有有限多個奇點在單位圓上,且
詹逖生的主定理對應于定理B的特殊情況ε(n)=0.其中f(x)在圓|x|
對該問題認識最深刻,所得結果最為漂亮的是斯澤古,故多數數學學者和數學著作把該結果稱為斯澤古定理.他在文獻[14]中指出,冪級數f(z)=a0+a1z+a2z2+···+anzn+···只具有有限多個不同的系數,則它或者表示一個有理函數,或者在收斂圓之外不可解析開拓.在第一種情況下,系數an從某項開始是周期的,且其中P(z)表示一個多項式.又可表述為,設在冪級數中不同的系數數是有限的.假設解析函數u(r,x)能夠穿過單位圓邊界的某個弧解析開拓,則除了某個點外,系數an是一個周期序列的項.
輔助定理3.1對于充分小的δ,當z在曲線Γ(δ)上時,可得到一個不依賴于δ的多項式:
任意小.
輔助定理3.2若解析函數f(z)的冪級數展開為f(z)=a0+a1z+···+anzn+···,其系數有界,在曲線Γ(δ)內和上正則,當zΓ(δ)上時,則
Sn?1(z)為前n?1項和,M是獨立于z和n的常數.其中,Γ(δ)是下列區域的邊界曲線.
(1)圓弧.|z|=R,φ1≤arcz≤φ2;|z|=1?δ,φ2≤arcz≤φ1+2π.
(2)帶型域.1?δ≤|z|≤R,φ1=arcz;1?δ≤|z|≤R,φ2=arcz.其中R>1, 0≤φ1<φ2<2π,δ為任意小的正常數.
他基于兩個輔助定理和通過對全部系數群(an,an+1,···,an+q?1),n=0,1,2,···性質的研究,得到了an+v?μ=an,n=μ,μ+1,···,并最終得到
“具有有限多個不同系數的冪級數”在詹逖生、波利亞、卡爾松、斯澤古等人的研究下得到了一個漂亮的定理,并由其后的數學家繼續推廣.
3 斯澤古定理的進一步發展
在斯澤古之后,數學家們繼續研究該問題,并從各個角度對他的漂亮定理進行推廣.文獻[15]指出函數解析可以轉化為函數是有界的.設f(z)其中系數an只取有限多個不同的值.若f(z)在單位圓的某個區域內有界,則f(z)為一個有理函數.利用整函數的模理論、傅里葉積分理論和利普希茲一致收斂定理證明了該定理.文獻[16]指出函數解析可以轉化為函數是調和的.若調和函數
的復系數ak只取有限個不同的值,且滿足增長條件:
則序列{ak}除了腳標的一個有限集外是一個周期序列.利用勒貝格測度理論,Fourier-Stieltjes系數定理及泊松積分證明了該定理.文獻[17]證明了如下定理,包含了上述的一些推廣.如果
只有有限多個不同的系數,并且對于圓的某個弧(α,β),滿足
本文基于原始文獻梳理了“具有有限多個不同系數的冪級數”的斯澤古定理的歷史,剖析了以上學者對該定理的研究思想和方法,由此可以看到數學理論的完善與數學思想方法的進步緊密相關.
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The research on the history of the theorem of Szeg¨o
Wang Quanlai
(The College of Computer and Information Engineering,Tianjin Normal University,Tianjin300387,China)
The behavior of power series on the boundary of the disc of convergence is very important to be discussed in holomorphic extension.The power series with only fi nitely many distinct coefficients is signi fi cant for this situation.The theorem of Szeg¨o is important result for power series.This paper discusses the history of this theorem on the basis of historical analysis and literature reviewing.It analyzes it′s background,the procedure and the development.Fatou′s conjecture is its thought origin.
Robert Jentzsch,holomorphic extension,Fatou′s conjecture,Szeg¨o′s theorem
O173.1
A
1008-5513(2014)01-0014-07
10.3969/j.issn.1008-5513.2014.01.003
2008-02-10.
國家自然科學基金(11001199).
王全來(1974-),博士,副教授,研究方向：近現代數學史.
2010 MSC:40A05
