單的模代數(shù)及其穩(wěn)定化子

王彩虹,趙利輝

(1.河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河南焦作454000; 2.河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南洛陽(yáng)471023)

單的模代數(shù)及其穩(wěn)定化子

王彩虹1,趙利輝2

(1.河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河南焦作454000; 2.河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南洛陽(yáng)471023)

研究了有限維Hopf代數(shù)H與其單的模代數(shù)A的smash積的結(jié)構(gòu).通過(guò)給出A的反代數(shù)與其極小左理想的穩(wěn)定化子的結(jié)構(gòu),證明了H與A的smash積與某個(gè)代數(shù)上的全矩陣代數(shù)是代數(shù)同構(gòu)的,推廣了以往的結(jié)果.

Hopf代數(shù);smash積;單的模代數(shù);全矩陣代數(shù)

1 引言

穩(wěn)定化子是研究代數(shù)結(jié)構(gòu)的有效工具,許多文章都通過(guò)研究穩(wěn)定化子得到了重要結(jié)果[13].本文將通過(guò)穩(wěn)定化子研究Hopf代數(shù)與其模代數(shù)的smash積的結(jié)構(gòu).關(guān)于在哪些條件下smash積同構(gòu)于某個(gè)代數(shù)上的全矩陣代數(shù)的問(wèn)題,許多學(xué)者都有所研究,并得到了一系列的結(jié)果.

設(shè)k是一個(gè)域,G是有限群,X是可遷的有限G-集合,則群代數(shù)kG是一個(gè)有限維的Hopf代數(shù),X上所有函數(shù)k(X)=Hom(X,k)構(gòu)成一個(gè)交換代數(shù).G在X上的作用在k(X)上誘導(dǎo)了一個(gè)kG-模代數(shù)結(jié)構(gòu).Harrison在文獻(xiàn)[1]中證明了smash積k(X)#kG同構(gòu)于kN上的全矩陣代數(shù),其中N是某個(gè)x∈X的穩(wěn)定化子.

如果H是域k上的n-維Hopf代數(shù)(n<∞),那么[5-6]:

如果H是一個(gè)有限維Hopf代數(shù),A是H?的右余理想Frobenius子代數(shù),則有代數(shù)同構(gòu)K#H?～=A?End(K)和A#H～=K?End(A),其中K=(H?/A+H?)??H(見(jiàn)文獻(xiàn)[7]).

在特征為0的域上,如果H是一個(gè)半單的Hopf代數(shù),A是一個(gè)可遷的H-模代數(shù),并且有一個(gè)1-維理想kλ,那么smash積A#H代數(shù)同構(gòu)于N上的全矩陣代數(shù),其中

是H的右余理想子代數(shù),并且N是可分代數(shù)[8].

容易看出,在以上結(jié)論中,Hopf代數(shù)H在模代數(shù)A上的作用都是可遷的,并且A都有一個(gè)1-維理想,這里可遷的概念是在文獻(xiàn)[9]里定義的:

定義1.1設(shè)H是一個(gè)Hopf代數(shù),A是H-模代數(shù).H在A上的作用稱(chēng)為可遷的,如果此作用滿足以下條件:

1.AH={a∈A|h·a=ε(h)a,?h∈H}=k1A;

2.A只有平凡的H-理想.

本文主要研究當(dāng)Hopf代數(shù)H及其單的模代數(shù)A都是有限維時(shí),穩(wěn)定化子和smash積A#H的結(jié)構(gòu).我們證明了在上述條件下smash積A#H代數(shù)同構(gòu)于某個(gè)代數(shù)上的全矩陣代數(shù).

2 預(yù)備知識(shí)

在本文中,k表示特征為0的代數(shù)閉域,所有的代數(shù)、Hopf代數(shù)、模等都是以k作為基域.如無(wú)特別指出,所有的模都指左模.

下面給出Hopf作用的穩(wěn)定化子的概念[10].設(shè)H是一個(gè)有限維的Hopf代數(shù),A是H-模代數(shù),M是A-模,則有兩個(gè)自然的嵌入映射

其中H(H)=H#H?是文獻(xiàn)[11]的4.1節(jié)中定義的Heisenberg double.設(shè){hk}是H的k-基,是其對(duì)偶基,則有下面的H-模代數(shù)同態(tài):

其中La(m)=a·m,?a∈A,m∈M.定義

由文獻(xiàn)[10],A′是一個(gè)右H?-模代數(shù).k-空間M有一個(gè)A′-模結(jié)構(gòu):

上面定義的A′-模記作M′,并將(A′,M′)稱(chēng)為(A,M)的穩(wěn)定化子,在不引起混淆的情況下,本文也將A′稱(chēng)為A的穩(wěn)定化子.

H-模代數(shù)A稱(chēng)為H-單的,如果A只有平凡的H-理想.因此,一個(gè)模代數(shù)是可遷的當(dāng)且僅當(dāng)它是H-單的,并且其不變量是平凡的.

2 主要結(jié)果

本節(jié)中,H表示一個(gè)有限維的Hopf代數(shù),A表示有限維的單H-模代數(shù),則A=Mn(k)是一個(gè)全矩陣代數(shù),其基為矩陣單位{eij|1≤i,j≤n}.易見(jiàn)Aop是Hcop-模代數(shù).將Aop中的乘法記為b?a=ab.

引理3.1設(shè)I=k{el1,···,eln}是Aop的任一極小左理想,(A′,I′)是(Aop,I)的穩(wěn)定化子,則A′=CA#H(A),其中CA#H(A)是A在A#H中的中心化子.

證明注意到End(I)有一組基定義映射

這個(gè)映射顯然是代數(shù)同構(gòu),所以可將Aop和End(I)看作同一個(gè)代數(shù),這樣就有∑

即

上式等價(jià)于對(duì)任意的g∈H,

即對(duì)任意的a∈A,

亦即

故A′=CA#H(A).

定理3.1如果dimA′=dimH,則smash積A#H～=Mn(k)?A′.

證明定義映射

由于對(duì)任意的x,x′∈A′和eij,ers∈Mn(k),

所以φ是代數(shù)同態(tài).

下面證明φ是單射.如果

由引理3.1,對(duì)任意的1≤k,u,v≤n,

所以φ是代數(shù)同構(gòu).

例3.1設(shè)A=M2(k),Hopf代數(shù)H是群代數(shù)定義H在A上的作用為:

g·e11=e22,g·e22=e11,g·e21=e12,g·e12=e21.

定理3.2設(shè)I是Aop的任一左理想,(A′,I′)是(Aop,I)的穩(wěn)定化子,則A#H～=而且,如果H是半單的,則有A′也半單.

證明由于A是單的H-模代數(shù),Aop是單的Hcop-模代數(shù).顯然I是不可約的Aop-模,由文獻(xiàn)[9]的推論2.8知:

dim(A)dim(A′)=(dim(I))2dim(H).

因此,dim(A′)=dim(H).再由定理3.1,所證的代數(shù)同構(gòu)成立.如果H還是是半單的,則由文獻(xiàn)[10]的定理5.2,A′也半單.

例3.2令G=〈x,y|x2=y3=1,xy=y?1x〉是非交換的6-階群,Hopf代數(shù)H=kG.定義H在A=M2(k)上的作用為:

易證此作用下,A成為H-模代數(shù).顯然H是半單的,取H的積分則

因此AH=k1A,從而A是可遷的H-模代數(shù).取不可約的左Aop-模I=經(jīng)計(jì)算可得:

[1]Mombelli M.Dynamical twists in Hopf algebras[J].Int.Math.Res.Not.,2007,(1):1-25.

[2]李旭東.N(2,2,0)代數(shù)的穩(wěn)定化子與同余分解[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2011,27(1):123-128.

[3]Skryabin S.Coring stabilizers for a Hopf algebra coaction[J].J.Algebra,2011,338:71-91.

[4]Harrison D K.K0of Hopf algebras and enlarged group algebras[J].Comm.Algebra,1984,12(2):149-198.

[5]Blattner R J,Montgomery S.A duality theorem for Hopf module algebras[J].J.Algebra,1985,95:153-172.

[6]Van Den Bergh M.A Duality Theorem for Hopf Algebras[M]//Vesselin Drensky,Antonio Giambruno, Sudarshan K.Sehgal.Methods in Ring Theory.New York:Marcel Dekker Inc,1984:517-522.

[7]Koppinen M.Coideal subalgebras in Hopf algebras:freeness,integrals,smash products[J].Comm.Algebra, 1993,21(2):427-444.

[8]Wang C,Zhu S.On smash products of transitive module algebras[J].Chin.Ann.Math.,2010,31B(4):541-554.

[9]Zhu Y.The dimension of irreducible modules for transitive module algebras[J].Comm.Algebra,2001,29(7): 2877-2886.

[10]Yan M,Zhu Y.Stabilizer for Hopf algebra actions[J].Comm.Algebra,1998,26(12):3885-3898.

[11]Montgomery S.Hopf Algebras and Their Actions on Rings[M].Providence,Rhode Island:American Mathematical Society,1993.

On simple module algebra and its stabilizer

Wang Caihong1,Zhao Lihui2

(1.School of Mathematics and Information Science,Henan Polytechnic University,Jiaozuo454000,China; 2.School of Mathematics and Statistics,Henan University of Science and Technology, Luoyang471023,China)

In this paper,the structure of the smash product of a fi nite-dimensional Hopf algebra H and its simple module algebra A is studied.By giving the structure of the stabilizer of the opposite algebra of A and its minimal left ideal,it is proved that,the smash product of H and A is algebraically isomorphic to a full matrix algebra over some algebra.The work generalizes the previous conclusions.

Hopf algebra,smash product,simple module algebra,full matrix algebra

O153.3

A

1008-5513(2014)01-0027-05

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.01.005

2013-12-05.

國(guó)家自然科學(xué)基金(11101128,11301155);河南省教育廳自然科學(xué)基金(12B110008);河南省高等學(xué)校青年骨干教師資助計(jì)劃項(xiàng)目(2012GGJS-061).

王彩虹(1979-),博士,講師,研究方向：環(huán)與代數(shù).

2010 MSC:16S40,16T05